高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例_距离问题学案5

1。

2 应用举例
第1课时解三角形的实际应用举例—-距离问题
必备知识·自主学习
1.基线
（1）定义和选取原则.
(2）本质:解三角形必须知道三角形的一条边长，这恰是基线的意义所在。

（3)作用：基线的选择决定了测量方案的设计.
2。

方位角和方向角
（1）方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角.如图（1)目标A的方位角为135°.
(2）方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角。

如图(2),北偏东30°，南偏东45°。

方位角与方向角有什么共同点?
提示：方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系。

1.辨析记忆（对的打“√”,错的打“×").
(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同。

(）（2)东偏北45°的方向就是东北方向。

（) (3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. （)（4)如图所示，为了测量隧道AB的长度,可测量数据a,b，γ进行计算. （)
提示:(1）√.
（2)√.由方向角的定义可知。

（3）√.可由正弦定理解三角形求解.
（4）√。

由余弦定理可求出AB。

2。

某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()
A。

北偏西35° B.北偏东55°
C.南偏西35°D。

南偏西55°
【解析】选D。

根据题意和方向角的概念画出草图,
如图所示α=55°，则β=α=55°。

所以B在A的南偏西55°。

3。

（教材二次开发:习题改编）如图所示，已知两座灯塔A和B 与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（)
A.a km
B. a km
C. a km D。

2a km
【解析】选B。

由题意得∠ACB=120°，
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB=a。

关键能力·合作学习
类型一用正弦定理或余弦定理求距离(数学建模）
角度1用正弦定理求距离
【典例】如图所示,在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C,
测得∠CAB=
30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则BC为m.
【思路导引】在△ABC中,知两角和一边,可以用正弦定理解三角形,求BC的长。

【解析】由题意知,∠ACB=180°-30°—75°=75°,由正弦定理得，BC=·
sin ∠CAB=·sin 30°=×=60（—)。

答案：60(—)
角度2用余弦定理求距离
【典例】如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里。

当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里?
【思路导引】连接A1B2,先解△A1A2B2,再解△A1B2B1。

【解析】如图连接A1B2,
A2B2=10,A1A2=×30=10，
△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°—60°=45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1=A1+A1—2A1B1·A1B2cos 45°
=202+(10)2—2×20×10×=200，B1B2=10。

因此乙船的速度的大小为×60=30（海里/时)。

答:乙船每小时航行30海里.
1.用正弦定理求距离问题的策略
(1）找基线。

根据题意找出哪些线段的长度可以求出，这样的线段在哪些三角形中.
(2）测基线长及视角。

注意根据平面几何知识推出有关角的大小。

(3)用正弦定理求解两点间的距离.
特别提醒:求距离问题要注意的两点:
（1)基线的选取要准确恰当.
（2)选定或创建的三角形要确定.
2。

用余弦定理求距离问题的策略
(1)总体思路。

实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解.
（2）方程思想的应用。

设出未知量,从几个三角形中用余弦定理列出方程（组),解方程（组)得出所要求的解。

1。

如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行,为了确定货轮的位置，货轮在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行h 到达C点，观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是（）
A。

10 km B。

10km C.15 km D。

15km
【解析】选B。

在△ABC中,BC=40×=20（km),∠ABC=140°-110°
=30°，∠ACB
=(180°-140°)+65°=105°，所以A=180°—(30°+105°）
=45°.
由正弦定理,得AC===10(km）。

2。

某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C 正西方向，则两灯塔A，B间的距离为(）A。

500 m B。

600 m C.700 m D。

800 m
【解析】选C.根据题意画出图形如图.
在△ABC中,BC=500,AC=300，∠ACB=120°，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°
=3002+5002-2×300×500×=490 000,
所以AB=700 m。

【补偿训练】
一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向。

若货轮的速度为30n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时,求A，D两处的距离。

【解析】
如图所示，在△ABC中，∠CAB=45°，
∠ABC=90°+30°=120°，所以∠ACB=180°-45°-120°=15°，AB=30×0。

5=15（n mile），则由正弦定理,得=,即=
,
又因为sin 15°=，sin 120°=，
所以AC==×15（n mile）。

在△ACD中,因为∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形，所以AD=AC=15（3+）（n mile).
答:A，D两处的距离为15（3+) n mile.
类型二综合应用正弦定理和余弦定理求距离（数学建模）【典例】（2020·唐山高二检测)如图，为了测量河对岸A，B两点的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A，B；找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C。

并测量得到以下数据，∠DCA=105°,∠ADC=30°，∠BCE=90°,∠ACB=∠CEB=60°，DC=200米,CE=100米。

求A，B两点的距离.
【解析】由题意可知，在△ACD中，∠DAC=45°，
由正弦定理得=,
所以AC==200米，
在Rt△BCE中，BC=100×=300米，在△ABC中，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2—2AC×BC×cos 60°
=2002+3002—2×200×300×=70 000,
所以AB=100米。

正弦定理与余弦定理交汇求距离的两个关键点
(1）画示意图，弄清题目条件。

根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的,哪些元素是未知的.
(2）选准入手点。

找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三角形”，并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理求解。

某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A 的距离缩短了10千米.则汽车到达M汽车站还需行驶千米。

【解析】由题设，画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处.
在△ABC中，AC=31,BC=20,AB=21，
由余弦定理，得cos C==，
则sin2C=1—cos2C=，sin C=,
所以sin ∠MAC=sin（120°—C）
=sin 120°cos C-cos 120°sin C=.
在△MAC中，由正弦定理，
得MC==×=35。

从而有MB=MC—BC=15.
故汽车到达M汽车站还需行驶15千米.
答案：15
【补偿训练】
1.如图，A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为
30海里每小时，该救援船到达D点至少需要小时。

【解析】由题意知AB=5(3+），∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,
所以∠ADB=105°,所以sin 105°=sin 45°cos 60°+sin 60°cos 45°=×+×=。

在△ABD中，由正弦定理得=，
所以BD===5（3+)×==10.
又∠DBC=180°—60°-60°=60°,BC=20，在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2—2×BD×BCcos 60°=300+1 200—2×10×20
×=900.所以CD=30（海里），则至少需要的时间t==1（小时）。

答案：1
2.一条河自西向东流淌,某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C，D，则分别在西偏北75°和西偏北30°方向，求目标C,D之间的距离.
【解析】由题意得,在△ABD中，
因为∠DAB=60°,∠DBA=30°，所以∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
因为AB=300，所有BD=300·sin 60°=150。

在△ABC中，因为∠CAB=45°，∠ABC=75°,
所以∠ACB=60°。

由正弦定理得=，
所以BC=×=100.
在△BCD中，因为BC=100，BD=150,∠CBD=45°,
由余弦定理得
CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos ∠CBD=37 500，
所以CD=50.
答:目标C，D之间的距离为50米。

类型三函数与方程思想在距离问题中的应用（数学建模）【典例】已知海岛B在海岛A北偏东45°，且与A相距20海里,物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动,同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动.
(1）求经过多长时间,物体甲在物体乙的正东方向；
(2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲乙两物体的最短距离.
【思路导引】（1）画出物体甲在物体乙的正东方向时的示意图，由正弦定理可解得；
（2）由余弦定理及配方法可求得最小值。

【解析】（1)设经过t（0<t〈10)小时,物体甲移动到E的位置，物体乙移动到F的位置，如图所示:
物体甲与海岛A的距离为AE=(20-2t)海里，物体乙与海岛A距离为AF=4t海里,
当甲在乙正东方时，∠AFE=75°，∠AEF=45°,
在△AEF中，由正弦定理得=,即=,则t=20-10.
答:经过(20—10）小时，物体甲在物体乙的正东方向.
(2)由(1）题设，AE=20-2t,AF=4t，
由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos ∠EAF=(20-2t)2+(4t)2-2×（20-2t)×4t×=28+,
由0〈t<10，得当t=时EF min=海里。

答：甲乙两物体之间的距离最短为海里.
函数与方程思想在距离问题中的应用
（1）函数思想的应用。

将三角形中边角之间的关系问题借助正弦定理和余弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质，加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大（小）值问题。

（2）方程思想的应用。

正弦定理和余弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量（必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中，直接求相关量较难时，通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.
一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB=4dm，AD=17 dm，∠BAD=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球?
【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD 上，连接BC，如图所示,
设BC=x dm,由题意知CD=2x dm,AC=AD—CD=（17-2x）dm。

在△ABC中，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,
即x2=(4）2+(17—2x）2-8（17—2x)cos 45°,
解得x1=5,x2=。

所以AC=17-2x=7或AC=-（舍去)。

所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球.
【补偿训练】
甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向,距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,用多少小时能最快追上乙船?
【解析】
如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇.
在△ABC中，AC=28t,BC=20t，AB=9，∠ABC=180°-45°—15°=120°。

由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC，
即(28t）2=92+（20t）2—2×9×20t×,128t2—60t-27=0,
所以t=或t=—（舍去).
答:甲船用小时能最快追上乙船。

课堂检测·素养达标
1.为了测量B，C之间的距离，在河岸A,C处测量，如图：
测得下面四组数据，较合理的是() A。

c与αB。

c与b
C.b，c与βD。

b,α与γ
【解析】选D。

因为A,C在河岸的同一侧,所以可以测量AC的长度和∠BAC，∠BCA的大小，并用正弦定理求BC.
2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4米,A=
30°,则其跨度AB的长为(）
A.12米
B.8米C。

3米D。

4米
【解析】选D。

△ABC为等腰三角形，A=30°,AC=4，
所以B=30°,C=120°，BC=4，
所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=42+42—2×4×4×=48,所以AB=4.
3.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km,船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为km,则A，B两船的距离为。

【解析】如图,可知∠ACB=85°+（90°-25°)=150°，AC=2,BC=，
所以AB2=AC2+BC2—2AC·BC·cos 150°=13,
所以AB=.
答案：km
4。

（教材二次开发:例题改编）如图,A，B两点在河的同侧,且A，B两点均不可到达,为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，同时在C，D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ。

在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,应用余弦定理计算出AB。

若测得CD=km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°，∠ACB=45°,求
A,B两点间的距离。

【解析】因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
∠ACD=60°,所以∠DAC=60°，所以AC=DC=.在△BCD中，∠DBC=45°，由正弦定理，得BC=·sin ∠BDC=·sin 30°=。

在△ABC中,由余弦定理，得
AB2=AC2+BC2-2AC×BCcos 45°
=+—2×××=.所以AB=km.
所以A，B两点间的距离为km.。