(赵先举收集整理)黑龙江省哈三中2012届高三第三次模拟考试_数学理_答案

2012年四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
二、填空题：
13. 1 14. π34 15. 10 16. 2
π 三、解答题：
17. (Ⅰ)()()12
12
---=-n n S S n S n n n ……………………………………… 2分
n S n
n S n n n n -+=--111 )2(1≥=--n n b b n n ………………………………………… 6分
(Ⅱ) 11=b , n b b n n =--1, 121-=---n b b n n , , 212=-b b 累加得
2
2n n b n += ……………………………………… 10分
22n S n =∴ ,()22
121≥-=-=-n n S S a n n n …………………… 11分 经检验211=
a 符合212-=n a n ,2
1
2-=∴n a n …………… 12分 18. (Ⅰ) ξ可能的取值为8,7,6,5,4,3,2
()499
217171313===C C C C P ξ ()4912231
7
171213=⨯==C C C C P ξ ()4910241717111317171212=⨯+==C C C C C C C C P ξ ()49102251
7
171113
17171
112=⨯+⨯==C C C C C C C C P ξ
()495261717111117171112=+⨯==C C C C C C C C P ξ ()49
2
271
717===C C P ξ ()49
1
181
717==
=C C P ξ …………………………… 6分 (Ⅱ) η可能的取值为,7,6,5,4,3,2 ………………………… 7分
()7
1
22723=
==C C P ξ
()72
32
71213=
==C C C P ξ
()214
42
72
213=+==C C C P ξ
()2155271213=+==C C C P ξ ()21262
71
2===C C P ξ ()21
1
7==ξP
…………………………… 11分 ()4=ξE …………………………… 12分 19. (Ⅰ)设AC 交BD 于O ,连接OE
ABCD PD 平面⊥ ,AC PD ⊥∴,AC BD ⊥
PBD AC 平面⊥∴,又
AEC AC 平面⊆,PBD ACE 平面平面⊥∴………………………… 6分 (Ⅱ)(方法一) PBD AO ⊥∴
4
π
=
∠∴AEO ,设22==AB PD ,则1=OE
即
1=EB
PE
………………………… 12分
(方法二)
以DA 为x 轴, DC 为y 轴, DP 为z 角坐标系,如图
平面BDE 法向量为()0,1,1-=,
设22==
AB PD ,()
λλλ22,2,2-E
)2,2,2(-=PB
，令PB PE λ=，
则(
)
λλλ22,2,22--=
AE ,
22=
,
得2
1
=
λ 或1=λ（舍），1=BE PE ，……………… 12分
20. (Ⅰ) 化简得： (
)
(
)
2
2
22
121λλ-=+-y x
①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线
②0=λ时方程为22
2
=+y x 轨迹为圆
③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()
112222
2=-+λ
y x 轨迹为椭圆
④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为
()
11
2222
2=--λy x 轨迹为双曲线. ……………………………… 6分
(Ⅱ)P ∴=
,22
λ 点轨迹方程为12
22=+y x .
21::x x S S OBF OBE =∆∆
由已知得
1>-∆∆∆OBE
OBF OBE S S S ,则
1121>-x x x ,12121
<<∴x x .
设直线EF 直线方程为2+=kx y ，联立方程可得：(
)068212
2
=+++kx x
k
2
3
,02>
∴>∆k , 21,x x 同号∴2121x x x x =∴
2
21221216
,218k
x x k k x x +=+-
=+ ………………………… 8分
设
m x x =21
,则()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+=+=+29,463321222212
21k k m m x x x x
1027232<<k ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈26,1030310303,2
6k ．．…………………… 12分 21. (Ⅰ)当1=a 时，x x x x g ln 3)(2
+-=，01
32)(2>+-='x
x x x g
1>x 或21<
x 。

函数)(x f 的单调增区间为),1(),2
1
,0(+∞……………… 3分 (Ⅱ) x a x a x x g ln )12()(2
++-=，
0)
)(12()12(2)12(2)(2=--=++-=++-='x
a x x x a x a x x a a x x g
当1≤a ，[])(,0)(,,1x g x g e x ≥'∈单调增。

a x g 2)(m in -=
当e a <<1，)(,0)(),,1(x g x g a x <'∈单调减. )(,0)(),,(x g x g e a x >'∈单调增。

a a a a a g x g ln )()(2m in +--==
当e a ≥，[])(,0)(,,1x g x g e x ≤'∈单调减，a e a e e g x g ++-==)12()()(2
m in
⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥++-<<+--≤-=e a a e a e e a a a a a a a x g ,)12(1,ln 1,2)(22………………………………………… 8分
（Ⅲ）令)1(4
1ln )(2
--
=x x x h ， [)+∞∈,2x , 022)(2<-=
'x x x h 04
3
2ln )2()(<-=≤∴h x h 即)1(4
1ln 2
-<x x )1
111(2)1)(1(4ln 1+--=+->∴
x x x x x
k k f k ln )(=-，>++==-∑∑
==n k
k f k n
k n
k ln 1
3ln 12ln 1ln 1)(122 )11111214121311(2+--+--+-+-n n n n =+--+>)11
1211(2n n
)2()
1(2
32≥+--n n n n n ……………………………………… 12分
22. （Ⅰ）证明：AB 为直径，,2
π
=
∠∴ACB
2
π
=
∠+∠ABC CAB ，
2
π
=
∠+∠∴∠=∠CAB PAC ABC PAC
AB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线……
分
（Ⅱ）m EB m AE k ED k CE 3,2,,5,6==== k m ED CE EB AE 5=
⇒⋅=⋅
AEC ∆ ∽DEB ∆54638=⇒=⇒BD k
m
BD
CEB ∆ ∽AED ∆55
2,2)3(80
25642522222==⇒=--=⇒
k m m k m m AD BC ,10=∴AB 54=BD 在直角三角形ADB 中5
5
21054sin ===∠AB BD BAD B A D
B C E ∠=∠ 5
5
2s i n =∠∴B C E …………………… 10分 23. （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）…………………………………… 4分
（Ⅱ）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）代入122=+y x ，得 02)sin 3cos 3(2=+++t t αα ，3
6
)6sin(0>+⇒>∆πα
(]
3,2)6
sin(32)sin 3cos 3(1111212121∈+=+=+=+=+παααt t t t t t PN PM …………10分
24.（Ⅰ）}{10|<<=x x M ，,,M b a ∈
∴10,10<<<<b a
b
a a
b b a b a ab +>+∴>--=--+10)1)(1(1……………………………………… 4分
（Ⅱ）b
h ab
b a h a
h 2,,2≥
+≥
≥
824)(4)(4223
=⨯≥+>+≥ab
ab ab b a ab b a h
()+∞∈,2h ………………………………………… 10分。