中考数学真题专项汇编解析—圆与正多边形

中考数学真题专项汇编解析—圆与正多边形
一．选择题
1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，⊙BOC＝130°，点A在BAC上，则⊙BAC的度数为（）
A．55°B．65°C．75°D．130°
【答案】B
【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解：⊙BOC＝130°，点A在
BAC上，
1
65,
2
BAC BOC故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在O中，弦,
AB CD相交于点P，若48,80
A APD
∠=︒∠=︒，则B的大小为（）
A．32︒B．42︒C．52︒D．62︒
【答案】A
【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得32C ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案． 【详解】C A APD ∠+∠=∠，48,80A APD ∠=︒∠=︒，
32C ∴∠=︒32B C ∴∠=∠=︒故选：A ．
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
3
πB ．23
πC ．43
π-D ．43
π【答案】B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC 作OD ⊙AB 于点D ，
⊙⊙AOB =2×
36012
︒
=60°， ⊙⊙OAB 是等边三角形，
⊙⊙AOD =⊙BOD =30°，OA =OB =AB =2，AD =BD =1
2
AB =1，
⊙OD
⊙阴影部分的面积为
260212
236023
ππ⋅⨯-⨯B ． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
4．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，9cm AD =，20cm AB =，24cm BC =．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，
则此圆的半径是（ ）
A ．
110
cm 13
B ．8cm
C ．
D ．10cm
【答案】B
【分析】如图所示，延长BA 交CD 延长线于E ，当这个圆为⊙BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长BA 交CD 延长线于E ，当这个圆为⊙BCE 的内切圆时，此圆的面积最大， ⊙AD BC ∥，⊙BAD =90°， ⊙⊙EAD ⊙⊙EBC ，⊙B =90°， ⊙
EA AD EB BC
=，即
9
2024EA EA =+， ⊙12cm EA =， ⊙EB =32cm ，
⊙
40cm EC ，
设这个圆的圆心为O ，与EB ，BC ，EC 分别相切于F ，G ，H ， ⊙OF =OG =OH ，
⊙=EBC EOB COB EOC S S S S ++△△△△，
⊙1
1112
2
2
2
EB BC EB OF BC OG EC OH ⋅=⋅+⋅+⋅， ⊙()2432=243240OF ⨯++⋅， ⊙8cm OF =，
⊙此圆的半径为8cm ， 故选B ．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，连接OB ，OD ，
BD ，若110C ∠=︒，则OBD ∠=（ ）
A ．15︒
B ．20︒
C ．25︒
D ．30
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，根据圆周角定理可得BOD ∠，再根据OB OD =计算即可．
【详解】⊙四边形ABCD 内接于O ， ⊙18070A BCD ∠︒-∠︒== ，
由圆周角定理得，2140BOD A ∠=∠=︒ ， ⊙OB OD =
⊙180202
BOD
OBD ODB ︒-∠∠=∠==︒ 故选：B ．
【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（2022·四川德阳·中考真题）如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：⊙BAD CAD ∠=∠；⊙若
60BAC ∠=︒，则120∠=︒BEC ；⊙若点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒；⊙BD DE =．其
中一定正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【分析】根据点E 是ABC 的内心，可得BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；连接BE ，CE ，可得⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），从而得到⊙CBE +⊙BCE =60°，进而得到⊙BEC =120°，故⊙正确； BAD CAD ∠=∠，得出BD CD =，再由点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；根据点E 是ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得()1
2
BED BAC ABC ∠=∠+∠，再由圆周角定理可得()12
DBE BAC ABC ∠=∠+∠，从而得到⊙DBE =⊙BED ，故⊙正确；即可求解．
【详解】解：⊙点E 是ABC 的内心，
⊙BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；如图，连接BE ，CE ，
⊙点E 是ABC 的内心，⊙⊙ABC =2⊙CBE ，⊙ACB =2⊙BCE ， ⊙⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ）， ⊙⊙BAC =60°，⊙⊙ABC +⊙ACB =120°，
⊙⊙CBE +⊙BCE =60°，⊙⊙BEC =120°，故⊙正确； ⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，⊙BD CD =,
⊙点G 为BC 的中点，⊙线段AD 经过圆心O ，⊙90BGD ∠=︒成立，故⊙正确； ⊙点E 是ABC 的内心，⊙11,2
2
BAD CAD BAC ABE CBE ABC ∠=∠=∠∠=∠=∠， ⊙⊙BED =⊙BAD +⊙ABE ，⊙()12
BED BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙CBD =⊙CAD ，⊙⊙DBE =⊙CBE +⊙CBD =⊙CBE +⊙CAD ，
⊙()1
2
DBE BAC ABC ∠=∠+∠，⊙⊙DBE =⊙BED ，⊙BD DE =，故⊙正确； ⊙正确的有4个．故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
7．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，等边ABC 的顶点A 在⊙O 上，边AB 、
AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、∠的度数为（）
EF，则DFE
A．115︒B．118︒C．120︒D．125︒
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得60
∠=︒，再根据圆内接四边形的对角互补
A
即可求得答案．
【详解】解：ABC是等边三角形，
∴∠=︒-∠=︒，故选C．
DFE A
∴∠=︒，180120
A
60
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）
A
．2mm B．
C．D．4mm
【答案】D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证⊙COD为等边三角形，从而
CD=OC=OD=1
2
AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，⊙ABCDEF为正六边形，
⊙⊙COD= 360
6
=60°，CO=DO，AO=DO=1
2
AD=4mm，
⊙⊙COD为等边三角形，⊙CD=CO=DO=4mm，
即正六边形ABCDEF的边长为4mm，故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
9．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边⊙ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（）
A ．3
2
B C D ．52
【答案】C
【分析】作直径AD ，连接CD ，如图，利用等边三角形的性质得到⊙B =60°，关键圆周角定理得到⊙ACD =90°，⊙D =⊙B =60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD ，连接CD ，如图，
⊙⊙ABC 为等边三角形，⊙⊙B =60°， ⊙AD 为直径，⊙⊙ACD =90°，
⊙⊙D =⊙B =60°，则⊙DAC =30°，⊙CD =12
AD ， ⊙AD 2=CD 2+AC 2
，即AD 2=(12
AD )2+32，⊙AD ⊙OA =OB =1
2
AD C ．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
10．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA ，PB 分别相切于点A ，B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O ，若
∠=°，则APB
OAB
28
∠的度数为（）
A．28︒B．50︒C．56︒D．62︒
【答案】C
【分析】连OB，由AO=OB得，⊙OAB=⊙OBA=28°，⊙AOB=180°-2⊙OAB=124°；因为P A、PB分别相切于点A、B，则⊙OAP=⊙OBP=90°，利用四边形内角和即可求出⊙APB．
【详解】连接OB，
⊙OA=OB，
⊙⊙OAB=⊙OBA=28°，
⊙⊙AOB=124°，
⊙P A、PB切⊙O于A、B，
⊙OA⊙P A，OP⊙AB，
⊙⊙OAP+⊙OBP=180°，
⊙⊙APB+⊙AOB=180°；
⊙⊙APB=56°．故选：C
【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
11．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N 分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足⊙MPN＝45°的⊙PMN中，边PM的长的最大值是（）
B．6C．D．
A．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O
为圆心，⊙MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
MN，以O 【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=1
2
为圆心，OM为半径作圆，如图，
MN，所以OQ=MQ=NQ，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=1
2
⊙⊙OMQ=⊙ONQ=45°，
⊙⊙MON=90°，
所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P M'经过圆心O，
所以此时P M'最大，等于圆O的直径，
⊙BM＝4，BN＝2，
⊙
MN==
⊙MQ=OQ
⊙OM
=
⊙
'==C．
P M OM
2
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．12．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（）
A ．175π3cm 2
B ．175π2cm 2
C ．175πcm 2
D ．350πcm 2
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AC =25cm ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：在Rt AOC △中，25AC =cm ，
⊙它侧面展开图的面积是127251752
ππ⨯⨯⨯=cm 2．故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 13．（2022·陕西·中考真题）如图，ABC 内接于⊙,46O C ∠=︒，连接OA ，则OAB ∠=（ ）
A ．44︒
B ．45︒
C ．54︒
D ．67︒
【答案】A
【分析】连接OB ，由2⊙C =⊙AOB ，求出⊙AOB ，再根据OA =OB 即可求出⊙OAB ．
【详解】连接OB ，如图，
⊙⊙C =46°，
⊙⊙AOB =2⊙C =92°，
⊙⊙OAB +⊙OBA =180°-92°=88°，
⊙OA =OB ，
⊙⊙OAB =⊙OBA ，
⊙⊙OAB =⊙OBA =1
2×88°=44°，故选：A ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出⊙AOB =2⊙C =92°是解答本题的关键．
14．（2022·浙江宁波·中考真题）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）
A ．236πcm
B ．224πcm
C ．216πcm
D ．212πcm 【答案】B
【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S rl π=侧；
【详解】4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ，故选B ．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 15．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转
弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（AB ）的长度为（ ）
A ．20m π
B ．30m π
C ．40m π
D ．50m π
【答案】C 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB ）的长度．
【详解】解：⊙半径OA =90m ，圆心角⊙AOB =80°，
∴这段弯路（AB ）的长度为：809040(m)180
ππ⨯=，故选C 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式.180n r l π=
16．（2022·浙江温州·中考真题）如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）
A ．95︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．130︒
【答案】B 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得⊙BAC =50°，再根据圆周角定理得到⊙BOC =2⊙BAC ，进而可以得到答案．
【详解】解：⊙OD⊙AB，OE⊙AC，
⊙⊙ADO=90°，⊙AEO=90°，
⊙⊙DOE=130°，
⊙⊙BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
⊙⊙BOC=2⊙BAC=100°，故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点I为的ABC内心，连接AI并延长交ABC 的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当2
IC=，
AI CD
=，6 ID=时，IE的长为（）
5
A．5B．4.5C．4D．3.5
【答案】C
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是⊙ACM 的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
⊙I是⊙ABC的内心，
⊙⊙IAC=⊙IAB，⊙ICA=⊙ICB，
⊙⊙DIC=⊙IAC+⊙ICA，⊙DCI=⊙BCD+⊙ICB，
⊙⊙DIC=⊙DCI，
⊙DI=DC=DM，
⊙⊙ICM=90°，
⊙CM，
⊙AI=2CD=10，
⊙AI=IM，
⊙AE=EC，
⊙IE是⊙ACM的中位线，
CM=4，故选：C．
⊙IE=1
2
【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
18．（2022·浙江丽水·中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改
为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，
高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A ．5πm 3
B ．8πm 3
C ．10πm 3
D ．5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC ，再利用矩形的性质证得COD ∆是等边三角形，得到60COD ∠=︒，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接AD ，BC ，交于O 点，
⊙90BDC ∠=︒ ，
⊙BC 是直径，
⊙4BC ===， ⊙四边形ABDC 是矩形，
⊙1
22OC OD BC ===，
⊙2
CD=，
⊙OC OD CD
==，
⊙COD
∆是等边三角形，
⊙60
COD
∠=︒，
⊙门洞的圆弧所对的圆心角为36060300
︒-︒=︒，
⊙改建后门洞的圆弧长是
11
300300410
22
1801803
BC
ππ
π
︒⨯︒⨯⨯
==
︒︒
(m)，
故选：C
【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
19．（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）
A
B
C．3D
．
【答案】C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
⊙⊙O 的周长等于6π， ⊙⊙O 的半径为：3， ⊙⊙BOC 6
1
=⨯360°＝60°， ⊙OB ＝OC ，
⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙BC ＝OB ＝3，
⊙它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（2022·四川凉山·中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角⊙BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A ．12
π米2 B ．14
π米2
C ．18
π米2
D ．
116
π米2
【答案】C
【分析】连接BC ，先根据圆周角定理可得BC 是O 的直径，从而可得1BC =米，
再解直角三角形可得AB AC =
【详解】解：如图，连接BC ，
90BAC ∠=︒，BC ∴是O 的直径，1BC ∴=米，
又AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
sin AB AC BC ABC ∴==⋅∠，
则扇形部件的面积为
2
90123608
ππ
⨯=（米2），故选：C ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键． 二．填空题
21．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB =6，点M 在边AF 上，且AM =2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】【分析】如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊙AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCO DEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM
DOH
MOF
CHO
S
S
S
S
,OM OH = 可得直线MH 平分正六边形
的面积，O 为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊙AF 于P ，
由正六边形是轴对称图形可得：,ABCO DEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM
DOH
MOF
CHO
S
S
S
S
,OM OH =
⊙直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：AOF 为等边三角形，60,AFO 而6,AB =
6,3,AB
AF OF OA AP FP
22
6333,OP
2,AM
则1,MP
2
2
133
27,OM
247.MH
OM
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也
是中心对称图形”是解本题的关键．
22．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，用一个半径为6 cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm ．（结果保留π）
【答案】4π
【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，重物的高度为
1206
4180
ππ⨯⨯=（cm ）． 故答案为：4π．
【点睛】本题考查了弧长公式：180
n R
l π⋅⋅=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．
23．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则⊙B =_________度；
BC
AD
的值等于_________．
【答案】36
【分析】由等腰三角形的性质得出⊙DAE=⊙DEA，证出⊙BEC=⊙BCE，由折叠的性质得出⊙ECO=⊙BCO，设⊙ECO=⊙OCB=⊙B=x，证出⊙BCE=⊙ECO+⊙BCO=2x，⊙CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明⊙CEO⊙⊙BEC，由相似三角
形的性质得出CE BE
EO CE
=，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=
a，证明⊙BCE⊙⊙DAE，由相似三角形的性质得出BC EC
AD AE
=，则可得出答案．【详解】解：⊙AD=DE，
⊙⊙DAE=⊙DEA，
⊙⊙DEA=⊙BEC，⊙DAE=⊙BCE，
⊙⊙BEC=⊙BCE，
⊙将该圆形纸片沿直线CO对折，
⊙⊙ECO=⊙BCO，
又⊙OB=OC，
⊙⊙OCB=⊙B，
设⊙ECO=⊙OCB=⊙B=x，
⊙⊙BCE=⊙ECO+⊙BCO=2x，
⊙⊙CEB=2x，
⊙⊙BEC+⊙BCE+⊙B=180°，
⊙x+2x+2x=180°，
⊙x=36°，
⊙⊙B=36°；
⊙⊙ECO=⊙B，⊙CEO=⊙CEB，⊙⊙CEO⊙⊙BEC，
⊙CE BE
EO CE
=，
⊙CE2=EO•BE，
设EO=x，EC=OC=OB=a，
⊙a2=x（x+a），
解得，x
a（负值舍去），
⊙OE
a，
⊙AE=OA-OE=a
a
，
⊙⊙AED=⊙BEC，⊙DAE=⊙BCE，
⊙⊙BCE⊙⊙DAE，⊙BC EC
AD AE
=，
⊙
BC
AD
==
36
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形
的判定与性质是解题的关键．
24．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，⊙AOB＝120°，OC⊙AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若⊙APD是AD所对的圆周角，则⊙APD 的度数是______．
【答案】30°##30度
【分析】根据垂径定理得出⊙AOB=⊙BOD，进而求出⊙AOD=60°，再根据圆周角⊙AOD=30°．
定理可得⊙APD=1
2
【详解】⊙OC⊙AB，OD为直径，
⊙BD AD
，
⊙⊙AOB=⊙BOD，
⊙⊙AOB=120°，
⊙⊙AOD=60°，
⊙AOD=30°，
⊙⊙APD=1
2
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
25．（2022·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展
开图的圆心角度数是_____． 【答案】120︒
【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ，30210180
n =⨯⨯π
π，进行解答即可得．
【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
30210180
n =⨯⨯π
π 120n =︒ 故答案为：120︒． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
26．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在⊙ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当⊙ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．
【答案】3
2或65
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可． 【详解】解：连接OA ，
⊙当D 点与O 点重合时，⊙CAD 为90°，设圆的半径=r ，⊙OA =r ，OC =4-r ，
⊙AC=4，在Rt⊙AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=3
2
，即
AD=AO=3
2
；
⊙当⊙ADC=90°时，过点A作AD⊙BC于点D，
⊙1
2AO•AC=1
2
OC•AD，⊙AD=AO AC
OC
，⊙AO=
3
2
，AC=2，OC=4-r=
5
2
，⊙AD=
6
5
，
综上所述，AD的长为3
2
或
6
5
，故答案为：
3
2
或
6
5
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
27．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【答案】26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，⊙BC=10厘米，令圆O的半
径为OB =r ，则OC =r -2，
在Rt⊙BOC 中OC 2+BC 2=OB 2，⊙（r -2）2+102=r 2，解得r =26．故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
28．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为120︒，半径为32
，则它的弧长为___________． 【答案】π
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长． 【详解】解：⊙扇形的圆心角为120°，半径为32
，
⊙它的弧长为：3
1202,180
ππ⨯=
故答案为：π
【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式.180
n r
l π=
29．（2022·新疆·中考真题）如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若
30B ∠=︒．则AC 的长为_____（结果用含有π的式子表示）
【答案】23
π
【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到60AOC ∠=︒，再利用弧长公式求解即可．
【详解】2AOC B ∠=∠，30B ∠=︒，60AOC ∴∠=︒， ⊙O 的半径为2，60221803AC ππ⨯∴==，故答案为：23
π． 【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即180
n r l π=
，熟练掌握知识点是解题的关键． 30
．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在Rt ABC △中，
90C ∠=︒，6AC =，BC =半径为1的O 在Rt ABC △内平移（O 可以与该三角形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为________．
【答案】1
【分析】设直线AO 交O 于M 点（M 在O 点右边），当O 与AB 、BC 相切时，AM 即为点A 到O 上的点的最大距离．
【详解】设直线AO 交O 于M 点（M 在O 点右边），则点A 到O 上的点的距离
的最大值为AM 的长度
当O 与AB 、BC 相切时，AM 最长
设切点分别为D 、F ，连接OB ，如图
⊙
90C ∠=︒，6AC =，BC =
⊙tan AC B
BC
==AB ⊙60B ∠=︒
⊙O 与AB 、BC 相切 ⊙1302
OBD B ∠=∠=︒
⊙O 的半径为1
⊙1OD OM == ⊙
BD
⊙AD AB DB =-=
⊙
OA ⊙
1AM OA OM =+=
⊙
点A 到O 上的点的距离的最大值为1．
【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点A 到O 上的点的最大距离的图形．
31．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在廓形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知120AOB ∠=︒，6OA =，则EF 的
度数为_______；折痕CD的长为_______．
【答案】60°##60度
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
⊙将CD沿弦CD折叠
⊙点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
⊙将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
⊙ME⊙OA，MF⊙OB
⊙90
∠=∠=︒
MEO MFO
⊙120
∠=︒
AOB
⊙四边形MEOF中36060
∠=︒-∠-∠-∠=︒
EMF AOB MEO MFO
即EF 的度数为60°；
⊙90MEO MFO ∠=∠=︒，ME MF =
⊙MEO MFO ≅（HL ） ⊙1302
EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒
⊙6cos cos30ME OM EMO =
==∠︒⊙
MN =⊙MO ⊙DC
⊙12
DN CD == ⊙
CD =
故答案为：60°；【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
三．解答题
32．（2022·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作⊙O ，交AB 边于点D ，在CD 上取一点E ，使BE CD =，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F ．
(1)求证：A ACF ∠=∠；(2)若8AC =，4
cos 5
ACF ∠=，求BF 及DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF =5，4225
DE = 【分析】（1）根据Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，得到⊙A +⊙B =⊙ACF +⊙BCF =90°，根据BE CD =，得到⊙B =⊙BCF ，推出⊙A =⊙ACF ；
（2）根据⊙B =⊙BCF ，⊙A =⊙ACF ，得到AF =CF ，BF =CF ，推出AF =BF =1
2 AB ，根据4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，得到AB =10，得到BF =5，根据
6BC ，得到3sin 5
BC A AB ==，连接CD ，根据BC 是⊙O 的直径，得到⊙BDC =90°，推出⊙B +⊙BCD =90°，推出⊙A =⊙BCD ，得到3sin 5BD BCD BC ∠=
=，推出185BD =，得到75
DF BF BD =-=，根据⊙FDE =⊙BCE ，⊙B =⊙BCE ，得到⊙FDE =⊙B ，推出DE ⊙BC ，得到⊙FDE ⊙⊙FBC ，推出
DE DF BC BF =，得到4225DE =． (1)解：⊙Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，
⊙⊙A +⊙B =⊙ACF +⊙BCF =90°，
⊙BE CD =，
⊙⊙B =⊙BCF ，
⊙⊙A =⊙ACF ；
(2)⊙⊙B =⊙BCF ，⊙A =⊙ACF
⊙AF =CF ，BF =CF ，
⊙AF =BF =1
2 AB ， ⊙4cos cos 5AC ACF A AB ∠==
=，AC =8， ⊙AB =10，
⊙BF =5，
⊙6BC ， ⊙3sin 5
BC A AB ==， 连接CD ，⊙BC 是⊙O 的直径，
⊙⊙BDC =90°，
⊙⊙B +⊙BCD =90°，
⊙⊙A =⊙BCD ， ⊙3sin 5
BD BCD BC ∠=
=， ⊙185BD =， ⊙75DF BF BD =-=，
⊙⊙FDE =⊙BCE ，⊙B =⊙BCE ，
⊙⊙FDE =⊙B ，
⊙DE ⊙BC ，
⊙⊙FDE ⊙⊙FBC ， ⊙DE DF BC BF
=， ⊙4225DE =
．
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决
问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
33．（2022·山东滨州·中考真题）如图，已知AC为O的直径，直线P A与O相切于点A，直线PD经过O上的点B且CBD CAB
∠=∠，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是O的切线；(2)2
=⋅
AM OM PM
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接OB，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明；（2）根据直线P A与O相切于点A，得到90
∠=︒，根据余角的性质得到
OAP
OAM APM
∠=∠，继而证明OAM APM，根据相似三角形的性质即可得到结论．(1)连接OB，
OA OB OC
==，
OAB OBA OBC OCB
∴∠=∠∠=∠，
,
AC为O的直径，
∴∠=∠+∠，
ABC OBA OBC
∠=∠，
CBD CAB
∴∠=∠，
OBA CBD
CBD OBC OBD
∴∠+∠=︒=∠，
90
∴PD是O的切线；
(2)直线P A与O相切于点A，
∴∠=︒，
OAP
90
⊙PD是O的切线，
∴∠=∠=∠=︒，
AMO AMP OAP
90
∴∠+∠=∠+∠=︒，
OAM PAM PAM APM
90
∴∠=∠，
OAM APM
∴，
OAM APM
AM OM
∴=，
PM AM
∴2
=⋅．
AM OM PM
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
34．（2022·四川泸州·中考真题）如图，点C在以AB为直径的O上，CD平分ACB
∠
交O于点D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点F．
(1)求证：
FD AB
∥；(2)若
AC=BC=，求FD的长．
【答案】(1)见解析(2)15 8
【分析】（1）连接OD，由CD平分⊙ACB，可知AD BD
=，得⊙AOD=⊙BOD=90°，由DF是切线可知⊙ODF=90°=⊙AOD，可证结论；
（2）过C作CM⊙AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明⊙DOF⊙⊙MCO，
得CM OM
OD FD
，代入可求．
(1)证明：连接OD，如图，
⊙CD平分⊙ACB，
⊙AD BD
=，
⊙⊙AOD=⊙BOD=90°，
⊙DF是⊙O的切线，
⊙⊙ODF=90°
⊙⊙ODF=⊙BOD，
⊙DF⊙AB．
(2)解：过C作CM⊙AB于M，如图，
⊙AB 是直径，
⊙⊙ACB =90°，
⊙AB 2222(25)(5)5BC ． ⊙1
122AB CM AC BC ， 即11525522CM ， ⊙CM =2， ⊙2222(5)21BM BC CM ， ⊙OM =OB -BM =
135122
， ⊙DF ⊙AB ， ⊙⊙OFD =⊙COM ，
又⊙⊙ODF =⊙CMO =90°， ⊙⊙DOF ⊙⊙MCO ， ⊙CM OM OD FD
， 即32252FD ， ⊙FD =158
． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，
相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．
35．（2022·四川南充·中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是O 上一点，点D 是O 外一点，BCD BAC ∠=∠，连接OD 交BC 于点E ．
(1)求证：CD 是O 的切线．(2)若4,sin 5
CE OA BAC =∠=，求tan CEO ∠的值．
【答案】(1)见解析；(2)3
【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到⊙ACB =90°，根据OA =OC 推出⊙BCD =⊙ACO ，即可得到⊙BCD +⊙OCB =90°，由此得到结论；
（2）过点O 作OF ⊙BC 于F ，设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，BE =1.5x ，勾股定理求出AC ，根据OF ⊙AC ，得到1BF OB CF OA ==，证得OF 为⊙ABC 的中位线，求出OF 及EF ，即可求出tan CEO ∠的值．
(1)证明：连接OC ，
⊙AB 为O 的直径，
⊙⊙ACB =90°，
⊙⊙ACO +⊙OCB =90°，
⊙OA =OC ，
⊙⊙A =⊙ACO ,
⊙BCD BAC ∠=∠，
⊙⊙BCD =⊙ACO ，
⊙⊙BCD +⊙OCB =90°，
⊙OC ⊙CD ，
⊙CD 是O 的切线．
(2)解：过点O 作OF ⊙BC 于F ， ⊙4,sin 5
CE OA BAC =∠=，
⊙设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，
⊙BE =BC -CE =1.5x ，
⊙⊙C =90°，
⊙AC 3x =，
⊙OA =OB ，OF ⊙AC ， ⊙1BF OB CF OA ==， ⊙CF =BF =2x ，EF =CE -CF =0.5x ，
⊙OF 为⊙ABC 的中位线，
⊙OF =1 1.52
AC x =，
⊙tan CEO ∠= 1.530.5OF x EF x ==．
【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 36．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，AB 为O 的弦，OC OA ⊥交AB 于点P ，交过点B 的直线于点C ，且CB CP =．
(1)试判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若sin 8A OA ==，求CB 的长．
【答案】(1)相切，证明见详解
(2)6
【分析】（1）连接OB ，根据等腰三角形的性质得出A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，从而求出90AOC OBC ∠=∠=︒，再根据切线的判定得出结论；
（2）分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，ON AB ⊥交AB 于N ，根据sin 8A OA ==求出OP ，AP 的长，利用垂径定理求出AB 的长，进而求出BP 的长，然后在等腰三角形CPB 中求解CB 即可．
(1)证明：连接OB ，如图所示：
CP CB OA OB ==，，
∴A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，
APO CPB ∠=∠，
APO CBP ∴∠=∠，
OC OA ⊥，即90AOP ︒=∠，
90A APO OBA CBP OBC ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠，
OB BC ∴⊥， OB 为半径，经过点O ，
∴直线BC 与O 的位置关系是相切．
(2)分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，ON AB ⊥交AB 于N ，如图所示：
AM BM ∴=，
CP CB AO CO =⊥，，
A APO PCN CPN ∴∠+∠=∠+∠，PN BN =，PCN BCN ∠=∠
A PCN BCN ∴∠=∠=∠
sin A =，8OA =，
sin OM OP A OA AP ∴===
4OM AM OP AP ∴====，
2AB AM ∴==，
111
()222PN BN PB AB AP ∴===-=⨯=
sin sin BN A BCN CB ∴=∠=
=，
6CB ∴===． 【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．
37．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、M 均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图⊙的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB 、CD ，相交于点P 并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E ，构建两个直角三角形，分别是⊙ABC 和⊙CDE ． 在Rt ⊙ABC 中，1
tan 2BAC ∠=
在Rt ⊙CDE 中， ，
所以tan tan BAC DCE ∠∠=．
所以⊙BAC =⊙DCE ．
因为⊙ACP + ⊙DCE =⊙ACB =90°，
所以⊙ACP +⊙BAC =90°，
所以⊙APC =90°，
即AB ⊙CD ．
(1)【拓展应用】如图⊙是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM 上找出一点P ，使PM =AM ，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图⊙是以格点O 为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB 上找出一点P ．使2AM =AP ·AB ，写出作法，不用证明．。