2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第1章 解直角三角形》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第1章解直角三角形》单元测试卷一．选择题1．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．﹣C．D．±2．2cos60°的值等于（）A．B．1C．D．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．6．锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°7．某次台风来袭时，﹣棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（）米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）A．9B．10C．11D．128．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4B．4C．2D．69．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（）A．B．C．D．10．如图，商用手扶梯AB的坡比为1：，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为（）A．6米B．6米C．12米D．12米二．填空题11．比较大小：tan30°cos30°（用“＞”或“＜”填空）12．已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为．13．在Rt△ABC中，∠C是直角，sin A＝，则cos B＝．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为米（结果保留根号）．16．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A 点有一条彩带相连，已知CD＝3米，AB＝10米，则旗杆BC的高度为米．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝2，则∠A的大小为（精确到0.1°）．18．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．19．在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD 相交于点E，则∠AED的正切值是．20．设α是锐角，如果tanα＝3，那么cotα＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．24．为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量（如图①），其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱CD的长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DG，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求横梁一端点E在支柱DC的延长线上，此时测量得镶接点B与点E的距离为0.35m．根据以上测量数据，求点A到地面DG的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．25．计算：﹣tan260°26．为了测量建筑物的高度AB，兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CD，测得屋顶B 的仰角为45°，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端B的仰角为61°，求房屋的高度AB．（参考数据sin61°≈0.67，tan61°≈1.80，结果保留整数）参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵sinαcosα＝，∴2sinα•cosα＝，∴sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα＝1﹣，即（sinα﹣cosα）2＝，∵0°＜α＜45°，∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，∴sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝﹣．故选：B．2．解：2cos60°＝2×＝1．故选：B．3．解：由tan∠A＝，得tan∠A＝．故选：D．4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．5．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴tan A•tan B＝1，∵tan B＝＝，故选：D．6．解：∵，且，∴45°＜α＜60°．故选：B．7．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，∵∠ADC＝60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°＝＝＝，∴DE＝2，∵sin60°＝＝＝，∴AE＝2，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝CE＝2，∴sin45°＝＝＝，∴AC＝2，∴AB＝2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．答：这棵大树AB原来的高度是10米．故选：B．8．解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，∴PC＝PA＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．9．解：过点P作PE⊥x轴于E．∵P（a，3），∴OE＝a，PE＝3，∵tan∠POE＝＝，∴OE＝4，∴OP＝＝＝5，∴cosα＝＝．故选：B．10．解：∵商用手扶梯AB的坡比1：，设AC＝x米，则BC＝x米，∴AB＝＝＝2x＝12，解得：x＝6，∴AC＝6米，故选：A．二．填空题11．解：∵tan30°＝，cos30°，＜，∴tan30°＜cos30°，故答案为：＜．12．解：∵tan60°＝，∴α+15°＝60°，解得：α＝45°，∴tanα＝1，故答案为：1．13．解：在Rt△ABC中，∵∠C是直角，∴cos B＝又∵sin A＝＝，∴cos B＝．故答案为：14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△PAC中，＝tan∠PAC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：根据题意可知：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，∴BD＝AD•tan60°＝9，∴BC＝CD+BD＝3+9＝12（米）．答；该建筑物的高度BC为12米．故答案为：12．16．解：∵斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，CD＝3米，∴AD＝6米，∵AB＝10米，AD＝6米，∴BD＝＝8（米），∴BC＝8﹣3＝5（米），∴旗杆BC的高度为5米．故答案为：5．17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝2，∵cos A＝＝＝0.917，∴∠A＝23.4°，故答案为：23.4°．18．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．19．解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故答案为：．20．解：∵tanα•cotα＝1，tanα＝3，∴cotα＝，故答案为．三．解答题21．解：如图，∵a＝2，sin，∴c＝＝＝6，则b＝＝＝4．22．解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．23．（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝cos∠DAC，∴＝，∴BD＝AC；（2）解：设AC＝BD＝x，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，∵sin C＝，∴cos C＝，tan C＝，∴＝，＝，即＝，解得：x＝，∴CD＝12﹣x＝，∴AD＝CD＝×＝8，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．24．解：如图②连接EC．根据题意可知：∠EBC＝45°，∠ECB＝30°．过点E作EP⊥BC．∴EP＝BE×sin45°≈0.25m．∴CE＝2EP＝0.5m；过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，∴AM＝AE×sin15°．∴AF＝AM+CE+DC＝AE×sin15°+2BE×sin45°+2.1≈0.39+0.50+2.1＝2.99≈3.0（m）．所以点A到地面的距离是3.0m．25．解：原式＝﹣（）2＝﹣2．26．解：由题意得，四边形DCEF，四边形MAEF都是矩形，所以，AM＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝15米，设BM＝x米，在Rt△BMF中，tan∠BFM＝tan61°＝≈1.80，∴FM＝，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝tan45°＝＝1，∴DM＝BM＝x，∵DM＝DF+FM，∴x＝15+，解得，x＝33.75，∴AB＝AM+BM＝1.5+33.75≈35（米），答：房屋的高度AB约为35米．。