高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)
一、解答题
1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；
(2)设()2x
g x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求
实数a 的取值范围.
2．已知函数1
()2ln f x x x x
=+-． (1)求函数的单调区间和极值；
(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；
(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．
4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x
g x x x x x x =-++-，)2
e ,x -∈+∞⎡⎣．
(1)试讨论函数()f x 的单调性；
(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．
5．已知函数()2()2e =+-x
f x x a ．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；
(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．
7．已知函数()()e ln 1x
f x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．
(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．
8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
f
x 是()f x 的导函数，()f x ''是f
x 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处
的曲率
()
()(
)
3
22
1f x K f x ''=
'+⎡⎤⎣⎦
.
(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；
(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623
f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；
(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．
10．设函数()22
3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．
【参考答案】
一、解答题
1．(1)答案见解析 (2)3
1a e ≤-
【解析】 【分析】
（1）由()()11
0ax f x a x x
x
+=+=
>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)
()(]110ax f x a x x x
+'=+
=>，
①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a
=-，
在区间10,a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭上()0f x '>，在区间1,a
∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
上()0f x '<，
所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，单调递减区间为1
,a
∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
；
(2)
由题目知，只需要()()max max f x g x <即可
又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可
()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，
由变量分离可知2ln x
a x
-<，[]1,100x ∈， 令()2ln x
h x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()2
3ln x
h x x
-+'=
，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3
,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()3
3
min 1h x h e e -==
，所以
31
a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)
1()2ln (0)f x x x x x =+
->，则()()22
21111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>
由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，
在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)
不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2
1
01x <
<
令1
()()2ln (0)h x f x a x x a x x
=-=+-->，则()()120h x h x ==
()()22
21111()2x x h x x x x +-'=-
-=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得222
1
2ln a x x x =+- 则2222222222
21
1ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=
⎪⎝⎝⎭⎭ 令21
t x =
，则22
2
112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()2
2211210t t t
t m t -'=+-=> 即()1
2ln (01)t m t t t t
--<=<为增函数，
又()11100m =--=，则()12ln 0m t t t
t --<=在(0,1)上恒成立.
则22
2212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭
， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，21
01x <<
则2
11
x x >，故121x x <
3．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】
（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2
()2f x x x
'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()
21()--'=
x a x g x x
，分0a ≤，
012a <
<，12a =，122
a
<<讨论求解. (1)
解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，
所以2
()2f x x x
'=-，令()0f x '=，得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点；
(2)
当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，
则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x
， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，
当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20
g a g a ⎧=+<⎪
⎨
=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；
当()()110
22ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩
，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图
象有1个公共点； 当012a <
<，即02a <<时，02a
x <<或1x >时，()0g x '>，12
a x <<时，()0g x '<，
所以当2
a
x =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>恒成立，
所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12
a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，
所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <
<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12a
x <<时，()0g x '<，
所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2
a
x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛
⎫=-+++> ⎪⎝⎭
a a a g a a 恒成立，
所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.
综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当1a =-或 2
ln 2
a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当2
1ln 2
-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.
4．(1)答案见解析； (2)12
a =. 【解析】 【分析】
（1）由题可得()11
ax f x a x
x
+'=+=
，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得
()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()000011
1ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，利用导数可得
00
1
e x x =
，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)
()11ax f x a x x
+'=
+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：
由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x x
g x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，
则()g x '是一个单调递增的函数，
当2
e x -=时，()()2
242e
e e e e 30g ----'=+-<，
当1x =时，()12e 10g '=->，
故()2
e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且
所以0x t =，0
2
0000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有
()020
00e 1ln x x
x x +=-，()00000
1111e ln x
x x x x +=
+， ∴()0
00111ln e
e
1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭
令()()2
1ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，
所以函数在()2
e ,-+∞上单调递增，
故()0
00111ln e
e
1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭的解满足001e x
x =；
又()2
ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，
所以00ln 20x ax +=，
由0
1
e x
x =知，0020x ax -+=，
故12
a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】
【分析】
（1）求得()'
f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.
（2）由(0,),()x f x
a ∈+∞≥-
恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)
()'2(22)e x f x x x a =++-
①当1a
≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，
(11
x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，
综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，
在(11--上单调递减.
(2)
2
e (2)(e 1)x
x
x a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)
e 1
x x x a +≤-，
2e (2)()e 1
x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，
()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，
故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，
33344
43393338()e 2e 4(e )042162223
h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03
(,1)4x ∈使得0()0h x =，即0
20002e 22x
x x x =++，
当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()(
)00202
00
0e 222e 1
x x x a g x x
x +≤=
=++-，03(,1)4x ∈，故03
4()()(1)54g g x g <<<=，
由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】
求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．
（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当
e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．
(1)
当1a =时，()(1)x
f x e x -=++，1()1x x
x
e f x e e --+'=-+=，
令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，
则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)
()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，
则1()x
g x e a x
'=-+，
令1()x
h x e a x =-+，则22
1
()x x e h x x -'=，
由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，
(1)e 1g a '=+-，
①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，
∴1
1()e e x
g x a x a x x '=+->+-，e e
e 0e e a a g a a a
⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭
，
又∵e 1e e
a >=，
∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x '=，
当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，
∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，
又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，
()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，
∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，
∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0e
a
a x >
>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.
7．(1)1,e
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()e x a f x x
'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得
()e 0x a
f x x
'=+
≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；
（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x
--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令
()()()ln 1,0a
h x a x x x
=--
+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)
解：()e x
a f x x
'=+，
因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，
所以()e 0x
a f x x
'=+≤在(,0)-∞上恒成立，
即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，
令()()e ,0x
g x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x x
g x x x '=--=-+，
当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11e
g x g =-=，
所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
；
(2)
解：由()()f x f x '≤得()ln 1a
a x x
-+≤，
即()ln 10a a x x
--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0a
h x a x x x
=--+<，
()()()22
1,0a x a a h x x x x x +'=
+=<，
当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；
当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；
当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】
（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；
（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)
由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()
()()
()
13
332
22
2
2
11
1125
11f K f ''=
=
=
+'+⎡⎤⎣⎦
，
由()g x '=，()3
21
4g x x -''=-，则()
()()
23332
2
2
2
2
1
1245
11112g K g ''==
=
⎡⎤
'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦
+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
，
所以12K K <； (2)
由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则
()
32
2
sin 1cos x
K x =
+，
()()
222
3
3
2
2
sin sin 1cos 2sin x
x
K x x =
=
+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故2
3
2t
K t -=
， 设()32t p t t -=，则()()326
43226
t t t t p t t t
----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，
所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.
9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163
f x =- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得()20f '=，进而得1
2
a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；
（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)
解：（1）()2
26f x x ax '=+-，
因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12
a =． 检验得12
a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.
所以()2
6f x x x '=+-，
令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)
解：令()2
60f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，
由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()3
2
11384446423
2
3
f -=⨯-+⨯--⨯-+=
， ()()()()32
1131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，
()321116
222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，
()32115333632322
f =⨯+⨯-⨯+=-，
所以()max 312f x =
，()min 163
f x =-． 10．(1)在10,a ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，在1,a
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增 (2)1,e
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)
函数()f x 的定义域为()0+∞，
， ()()()222
231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x
+-+-=+-==
由于0a >且()0x ∈+∞，
，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1
x a
=， 当10x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递增． (2)
要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知
min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫
==+-+=-=+> ⎪⎝⎭
，
解得1
e >a ，即a 的取值范围为1(,)e
+∞。