抽象代数复习题与答案

《抽象代数》试题及答案 本科
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题3分)
1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2
x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）
A. 2
21x x ++
B. 2
3x + C. 2
45x x ++ D. 2
3x x ++
2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）
A. 单射
B. 满射
C. 双射
D. 可逆映射
3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个
B. 2个
C. 4个
D. 无限个
5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。

A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8
a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9
7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )
A. 111
)
(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶
C. G 的单位元不唯一
D. G 中消去律不成立
8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群
9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )
A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}
B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}
C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}
D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}
10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）
A. 单射
B. 满射
C. 双射
D. 可逆映射
11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。

A. R 的零元惟一
B. 若0x a +=，则x a =-
C. 对a R ∈，a 的负元不惟一
D. 若a b a c +=+，则b c =
14. 设G 是群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素32
a 的阶为( B )
A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9
15．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )
A. ||||a G
B. |b| = ∞
C. G 的单位元不唯一
D. 方程ax b =在G 中无解
16. 设G 是交换群，则以下结论正确．．
的是( B ) A. G 的商群不是交换群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是循环群 D. G 的任何子群都是循环群
17. 设A={1，-1, i ，-i}，B = {1, -1}, ϕ: A →B, 2
a a , ∀a ∈A ，则ϕ是从A 到B 的( A )。

A. 满射而非单射
B. 单射而非满射
C. 一一映射
D. 既非单射也非满射
18.设A=R （实数域）， B=+R （正实数集）， γ:a→a
10， a ∈A ，则γ 是从A 到B 的( C )。

A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
19.设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集的同态满射的是( C )。

A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x
20. 数域P 上的n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )
A. 构成一个交换群
B. 构成一个循环群
C. 构成一个群
D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22 . 剩余类加群Z 8的子群有( B )。

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 23. 下列含有零因子的环是 （ B ）
A. 高斯整数环Z[i]
B.数域P 上的n 阶全矩阵环
C. 偶数环 2Z
D. 剩余类环5Z 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）
A. R 中的每个元素都可逆
B. R 的子环一定是理想
C. R 一定含有单位元
D. R 的理想一定是子环 25．设群G 是6阶循环群，则群G 的子群个数为（ A ） A ． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的满射的个数为 ( D )。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
27. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A 的分类的是 ( C )
A. 1P = { {a, b},{a, c}}
B. 2P = {{a},{b, c},{b,a}}
C. 3P = {{a},{b,c}}
D. 4P = {{a,b},{b,c},{c}}
28. 设R = 00a a b Z b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。

A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环
C. 无单位元的非交换环
D. 有单位元的非交换环
29. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3的子群的个数是( D )。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
30. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。

A. 0
B. 1
C. i
D. i -
31.. 设G 是运算写作乘法的群，则下列关于群G 的子群的结论正确的是 ( B )。

A. 任意两个子群的乘积还是子群
B. 任意两个子群的交还是子群
C. 任意两个子群的并还是子群
D. 任意子群一定是正规子群
32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。

A. 1
B. 2
C. 6
D. 7
33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的映射有( D )。

A. 1 B. 6 C. 18 D. 27
34. 设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。

那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ D ）
A.0和x -；
B.1和0；
C.k 和k x 2-；
D.k -和)2(k x +-}
35. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素，且xac acx bxc a x ==-,1
2，那么=x （ A ）
A.11--a bc ；
B.11--a c ；
C.11--bc a ；
D.ca b 1
-。

36. 下列正确的命题是（ A ）
A.欧氏环一定是唯一分解环；
B.主理想环必是欧氏环；
C.唯一分解环必是主理想环；
D.唯一分解环必是欧氏环。

37．设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果=|H |6，那么G 的阶=G （ B ） A.6； B.24； C.10； D.12。

38. 设G 是有限群，则以下结论正确．．的是（ A ） A. G 的子群的阶整除G 的阶 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群
39．设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ） A.f 的同态核是1G 的正规子群； B.2G 的正规子群的原象是1G 的正规子群； C.1G 的子群的象是2G 的子群； D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群。

40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）
A. 半群可以有无穷多个右单位元
B. 半群一定有一个右单位元
C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元
D. 半群一定至少有一个左单位元
二、填空题(每空3分)
1. 设A 是m 元集，B 是n 元集，那么A 到B 的映射共有 （ m
n ）个.
2. n 次对称群n S 的阶是（ n ！ ）.
3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.
4.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有（ )1p -个.
5.除环的理想共有（ 2 ）个.
6.剩余类环6Z 的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是（ ［4］ ）.
7.在 i+3, 2
π, e-3中，（ 3i + ）是有理数域Q 上的代数元.
8. 2在有理数域Q 上的极小多项式是（ 2x 2
- ）.
9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则A ⨯B=（)}.3,b (),3,a (),2,b (),2,a (),1,b ,1
,a {(（）） 10. 设R 是交换环，则主理想)(a =（ Z}.m R,r |ma {ra Ra ∈∈+=） 11．设),3154(=π 则).1345(1
=-π
12 . 设F 是9阶有限域，则F 的特征是（ 3 ）.
13．设)2154(),351(21==ππ是两个循环置换，则=12ππ（（1342）） 14 . 设F 是125阶有限整环，则F 的特征是 （ 5 ）.
15. 设集合A 含有3个元素，则A A ⨯的元素共有（ 9 ）个.
16. 设群G 的阶是 2n,子群H 是G 的正规子群，其阶是n, 则G 关于H 的商群所含元素的个数是（ 2 ）. 17.设a 、b 是群G 的两个元，则 1)
ab (-
=（ 1
1a b --）.
18. 环10Z 的可逆元是（ ]9[],7[],3[],1[）.
19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）. 20．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]a)(1
=-a f f。

21.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n
=，那么m 与n 存在整除关系为（n m 整除）。

22．设)31425(=π是一个5-循环置换，那么)).52413((1
=-π。

23．有限群G 的阶是素数p ，则G 是（ 循环 ）群。

24．若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 （}R y ,x |ay
x {i i i
i
i ∈∑有限和
）。

25．群),(12⊕Z 的子群有（ 6 ）个。

26．由凯莱定理，任一个抽象群G 都同一个（ 群G 的变换群 ）同构。

27．设A 、B 分别是m 、n 个元组成的集合，则||B A ⨯=（ m n ）。

28．设A ={a,b,c }，则可定义A 的（ 5 ）个不同的等价关系。

A 的分类
M ={{a,c },{b }}确定的等价关系是R )}a ,c (),c ,a (),c ,c (),b ,b (),a ,a ({(=）。

29. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有（ 2 ）个。

30. 非零复数乘群C *中由-i 生成的子群是（ 1}1,,i ,i {-- ）。

31. 剩余类环Z 7的零因子个数等于（ 0 ）。

32. 素数阶有限群G 的子群个数等于（ 2 ）。

33. 剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是（ ]3[ ）。

34．群σ:G ~~G ，e 是G 的单位元，则)(e σ是（G 的单位元 ）。

35. 复数域的特征是（ 0 ）.
36. 在剩余类环),,(Z 12•+中， ]7[]6[•=（ ]6[ ）. 37. 在3-次对称群3S 中 ， 元素)123(的阶为：（ 3 ）.
38. 设Z 和m Z 分别表示整数环和模m 剩余类环， 则环同态]n [n ,Z Z :f m →→的同态核为（ }Z r |mr {mZ ∈= ） 39.
3
2在有理数域上的极小多项式为（ 2x 3- ）
40. 无限循环群一定和（ 整数加群),Z (+ ）同构.
三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“⨯”，每小题3分)
1. 设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。

（ ⨯ ）
2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G 的运算之下，仍在该非空子集之中。

（ √ ）
3. 设G 是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。

f: G →G 是一个映射，且f(x) =7x
, x ∈G. 则f 是G 到G
的同态映射。

（ ⨯ ）
4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。

（ ⨯ ）
5. 设G 是群，则群G 的任意两个正规子群的交仍是群G 的正规子群。

（ √ ）
6. 设G 是n 阶有限循环群，则G 同构于模n 剩余类加群 n Z 。

（ √ ）
7. 设:G G ϕ→是群同态，则ϕ将G 的单位元不一定映射为G 的单位元。

（ ⨯ ）
8. 设R 是环，A ，B 是R 的任意两个理想，则A B +也是环R 的理想。

（ √ ）
9. 域的特征可以为任何自然数. （ ⨯ ）
10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群. （√ ） 11. 4次交错群4A 在4次对称群4S 中的指数为4. （ ⨯ ） 12. 复数域是实数域的单代数扩张。

（ √ ） 13. 除环一定是域. （ ⨯ ） 14.3-次对称群3S 的中心是(1). （ √ ） 15. 整数环的商域是有理数域. （ √ ） 16. 无限循环群和整数加群同构. （ √ ） 17. 多项式 3x 2
-在有理数域上可约。

（ ⨯ ）
18. 在特征为p 的域F 中始终有.F b ,a ,b a )b a (p
p
p
∈∀+=+ （ √ ）
19. 高斯整数环]i [Z 是唯一分解环. （ √ ） 20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。

（ ⨯ ） 21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。

（ √ ）
22. 设21G G :→δ是群21G G 到群的同态， 则同态核)(Ker δ是1G 的正规子群. （ √ ） 23.素数阶群不一定是循环群。

（ ⨯ ） 24.设),,Z (•+为整数环，p 为素数， 则),(pZ,•+是),,Z (•+的极大理想。

（ √ ） 四、证明题
1. 设Q 为有理数域，设},|2{Q b a b a T ∈+=， 则T 按数的乘法和加法构成一个域.（6分）
证明： T 非空，且T 是实数域的一个子集。

T 关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且
,)2(,201T b a T b a ∈+∈+≠∀-这样我们就得T 关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T 按数的乘法
和加法构成一个域.。

2. 设E 是F 的扩域，且（E ：F ）=1，则E=F. （6分）
证明：用反证法：若F E ≠， 则存在F x E x ∉∈,， 这样2):(≥F E ， 矛盾！ 3. 证明：交换群的商群是交换群.（8分）
证明：设G 为交换群， 且G H ，则 H
G
G 关于正规子群H 的商群，且对
任意,,H
G
bH aH ∈有,
))(()()())((aH bH H ba H ab bH aH ===
故H G 是交换群.
4. 设}1,1{},,,1,1{-=--=B i i A ，“·”是数的乘法，证明：（A ，·）～（B ，·）。

（这里“～”表示（A ，·）与（B ，·）
是满同态）（8分）
证明：构造映射：1,1,11,11,:----→ i i B A f ，则容易验证f 是的同态到（),),(⋅⋅B A 映射.
5. 证明：设G=⎩⎨⎧
⎝⎛0a
⎪⎪⎭⎫00⎭
⎬⎫∈R a |， 则G 关于矩阵乘法构成（⋅⨯,2
2R ）的子半群.（6分） 证明：对任意的G ab b a G b a ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000000,000,000， 故由子半群的判定知，G 关于矩阵乘法构成（⋅⨯,2
2R
）的子半群，得证.
6. 设a 是群G 的任一元素，若a 的阶|a|=2，求证： 1
a a -=.（6分）
证明：由题设我们知道：,2
e a = 对这个式子的两边同时乘以1
-a 得
11121)(,----=⇒=a a a a e a a a
利用群G 中逆元和单位元的性质，即得，1
-=a a .
7. 设ε=
2
31i +-，即3
1ε==1，G={}2,,1εε，证明：有如下的群同构：（3Z ，⊕）≌（G ，·），这里σ（[0]）=1，σ
（[1]）=ε，σ（[2]）=2
ε。

（8分） 证明：容易验证下述映射
σ：23]2[,]1[,1]0[,εε G Z →
是双射，且σ保持运算， 即：
3Z ]j [],i []),j ([])i ([])j ][i ([∈∀=σσσ.
由同构映射的定义，即得（3Z ，⊕）≌（G ，·）. 8. 设G 是R 2×2中所有可逆矩阵组成的集合， （i ）. 证明G 关于矩阵的乘法成群。

（6分） (ii). ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0
1-1
0 的阶是多少？（4分） (iii). ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1
01 1的阶是多少？（4分）
(iv). 证明G 不是交换群.（6分）
解：（i ）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零， 而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积， 由此G AB ,G A
,G B ,A 1
∈∈∈∀-, 故G 关于矩阵的乘法成群.
(ii). 注意到此时群G 的单位元是：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1001，经过简单计算，我们可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0
1-1
0 的阶是3. (iii). ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1 01
1的阶是∞. (iv). 通过简单计算，得⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-0110101110110110， 故G 是非交换群。

解答题：
1. 设Q 是有理数集，“+”是数的加法，找（Q ，+）的所有不同的自同构映射。

（8 分）
解：对任意Q x ∈， 定义,,,:Q a ax a Q Q f x ∈∀→对 则集合}0x ,|{≠∈但Q x f x 为),(+Q 的所有自同构
映射. ２
．
设
G
=
{}
821,,,A A A ⋯，其中
1
A =
231 0 1 0 1 0,,,0 10 -10 1A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i - 00 ,i 00 ,1- 00 165i A i A 7A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i 00 ,i - 00 8i A i
列出G 的乘法（矩阵乘法）运算表。

解：运算表如下：
３．（１）写出３－次对称群3S 的所有元素；（４分）
（２） 求出3S 中所有元素的阶；（６分） （３）求出3S 中所有元素的逆元.（６分）
解：
(１)3S 的全部元素为： ⎝
⎛=110σ 2233⎪⎪⎭⎫， ⎝⎛=111σ 32 23⎪⎪⎭⎫， ⎝⎛=212σ12 33⎪⎪
⎭⎫， ⎝⎛=213σ 32 13⎪⎪⎭⎫， ⎝⎛=31
4σ 22 1
3
⎪⎪⎭⎫
， ⎝⎛=315σ 12 23⎪⎪
⎭
⎫． （２）各元素的阶为：.1||,3||||,2||||||053421======σσσσσσ
（３） 0σ， 1σ， 2σ ，3σ，4σ，5σ的逆元分别为：0σ，1σ，2σ，5σ，4σ，3σ． ４．找出12Z 中的所有零因子．（６分）
解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子．
５． 在有理数域的扩域Q （32）中，求1+32的逆。

（１０分）
解：由于=α32在Q 上的最小多项式是p(x)= 3x -2，因此由定理4.3.3，得到
},,42{)2(210223103Q a a a a a a Q ∈++=
由于1+32在Q )2(3的逆元仍然是Q )2(3中的元素，故可设1+32在Q )2(3的逆元为3231042a a a ++,则
（1+32）（3231042a a a ++）=1
将p(32
)= 3
-2=0代于上式，并经过简单计算，得到
1(1-+ =
3
12 3143133+- ６． 设]}9[],6[],3[],0{[=H ≤12Z ，写出12Z 关于H 陪集分解式。

（８分）
解：12Z 关于H 的陪集分解式为
12Z ={
{[]0 []3 []6 []9} {[]1 []4 []7 []10}{[]2 []5 []8 []11}}
７． 列出整数模6剩余类环 6Z 中元素的加法和乘法运算表.（１２分）
解：6Z = {[0] [1] [2] [3] [4] [5]}
6Z 中元素的加法和乘法运算表如下:
[3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5]
[5] [0] [1] [2] [3] [4]
８． 写出4Z 中每个元所含整数。

（８分）
解 [0]{4|},[1]{41|},[2]{42|},[3]{43|}q q Z q q Z q q Z q q Z =∈=+∈=+∈=+∈
９．在3S 中，计算(1 2)(2 3)与(2 3)(1 2)。

（６分）
解： (1 2)(2 3) = (1 2 3)， (2 3)(1 2) = (1 3 2)。

１０．求出3S 的所有正规子群。

（１０分）
解： 3S 的所有正规子群为：33321)},132(),123(),1{()},1{(S H A H H
====．
１１．设A ={}2,1，写出A 的所有双变换的集合G ，关于变换的乘法列出G 的运算表。

（１２分）
解：所有双变换为：12,21:,22,11: g f ， 则},{g f G =， 其运算表如下：
１２．求模8的剩余类环8Z 的所有子环。

（８分）
解：8Z 的所有子环为：8Z ；{[0]}；[4]}{[0],；[6]}[4][2]{[0]，，，．。