2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(一模)含答案

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题
（一模）
一、单选题
1．设全集U R =，集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，则集合()U C A B ⋃=A ．(],2-∞B ．(]
,1-∞C ．()
2,+∞D ．[)
2,+∞【正确答案】C
【详解】试题分析：∵集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，∴(,2]A B ⋃=-∞，∴
()(2,)U C A B ⋃=+∞.
集合的并集补集运算.
2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i 2i z z +=，则z 等于（）．
A ．1i -
B ．1i +
C ．i
D ．2i
-【正确答案】B
【分析】转化为复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意可知，()()()2i 1i 2i 2i 2
1i 1i 1i 1i 2
z -+====+++-.故选：B
3．设1
21
ln ,2,2
e a b c e -===，则（
）
A ．c b a <<
B ．c<a<b
C ．a c b
<<D ．a b c
<<【正确答案】C
引入中间变量0和1，即可得到答案；
【详解】 1
21
ln 0,21,012
e a b c e -=<=><=<，
∴a c b <<，
故选：C.
4．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）
A ．1
2
B ．
2
C D 【正确答案】C
【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为r ，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为2l r =，
则圆锥和圆柱的高为h ==，所以圆锥的侧面积为211
2π2π2
S r l r =
⨯⨯=，
圆柱的侧面积为222πS r h r =⨯=，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为123
S S =,故选:C.
5．下列函数中，与函数()1
22x
x
f x =-
的奇偶性、单调性均相同的是（）．
A ．e x
y =B ．tan y x =C ．2y x =D ．3
y x =【正确答案】D
【分析】判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再判断选项AC 的奇偶性，排除AC ，判断选项B 的单调性，排除B ，判断选项D 的奇偶性和单调性确定结论.
【详解】函数()1
22x
x
f x =-
的定义域为R ，定义域关于原点对称，由()()112222
x
x x x f x f x ---=-
=-=-，所以函数()f x 为奇函数，因为函数2x y =为R 上的增函数，函数1
2x
y =为R 上的减函数，所以函数()f x 为R 上的增函数，
对于A ，设()e x
g x =，函数()e x
g x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，
因为()1e g =，()1
1e
g -=，
因为()()11g g ≠--，所以函数e x y =不是奇函数，A 错误；对于B ，设()tan h x x =，则()()0π0h h ==，故函数tan y x =不是其定义域上的增函数，B 错误；
对于C ，设()2
x x ϕ=，函数()2
x x ϕ=的定义域为R ，定义域关于原点对称，
因为()()()2
2x x x x ϕϕ-=-==，所以函数()2
x x ϕ=为偶函数，C 错误；
对于D ，设()3
F x x =，则()3
F x x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，
又()()()3
3x F x x F x =--=-=-，所以函数()3
F x x =为奇函数，
又函数()3
F x x =为R 上的增函数，D 正确；
故选：D.
6．ABC 中，“A 为锐角”是“sin 0A >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【正确答案】A
【分析】由三角形的几何性质和任意角的三角函数的定义结合充分性和必要性进行辨析即可.【详解】在ABC 中，由“A 为锐角”，易得“sin 0A >”，∴“A 为锐角”是“sin 0A >”的充分条件；
在ABC 中，由“sin 0A >”，不能得出“A 为锐角”（如sin 10A =>，A 为直角，实际上，当()0,πA ∈时，sin 0A >恒成立），
∴“A 为锐角”不是“sin 0A >”的必要条件；
综上所述，“A 为锐角”是“sin 0A >”的充分不必要条件.故选：A ．
7．已知{}n a 是首项为正数，公比不为1±的等比数列，{}n b 是等差数列，且1155,a b a b ==，那么（
）
A ．33>a b
B ．33a b =
C ．33a b <
D ．33,a b 的大小关系不能确
定
【正确答案】C
【分析】由基本不等式可得315153222b b b a a a =+=+≥，由等号取不到可得答案.【详解】由题意可得四个正数满足11a b =，55a b =，
由等差数列和等比数列的性质可得1532b b b +=，2
153a a a =，
由基本不等式可得315153222b b b a a a =+=+≥，又公比1q ≠，故15a a ≠，上式取不到等号，
所以3322b a >，即33a b <.故选：C
8．已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA OB OC +=
，
则a 的值为（）．
A ．1
B C ．2
D ．4
【正确答案】C
【分析】首先利用数量积公式求1
cos ,2
OA OB =- ，再结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由条件可知，OA OB OC === ，所以()
2
2OA OB
OC +=
，则222
2OA OB OA OB OC ++⋅= ，
则2cos ,a a a OA OB a ++= ，解得1
cos ,2
OA OB =- ，
0,180OA OB ≤≤o
o uu r uu u r Q ,所以
,120OA OB = ,
所以圆心()0,0到直线1x y +=的距离
2
d ==
，得2a =.故选：C
9．12,F F 是双曲线()2222:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1
F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'
1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A B C ．2
D
【正确答案】B
【分析】根据左焦点1F 与渐近线方程，求得1F 关于直线l 的对称点为'
1F 的坐标，写出以F 2为圆心、
以半虚轴长b 为半径的圆的方程，再将'
1F 的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．【详解】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线:b
l y x a
=因为12,F F 是双曲线C 的左、右焦点所以1F （-c ，0），2F （c ，0）
因为1F 关于直线l 的对称点为'
1F ，设'
1F 为（x ，y ）
则
001,22
y b y b x c
x c a a -+-⋅=-=⋅+解得222,b a ab x y c c
-==-
所以'
1
F 为（222,b a ab
c c
--
）因为'
1F 是以2F 为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为()2
22
x c y b -+=将以'1F 的（222,b a ab c c --）代入圆的方程得2
2
222
2b a ab c b
c c ⎛⎫-⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
化简整理得22
5a c =，所以e =
=所以选B
本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是
A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()
12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【正确答案】C
【分析】根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误.
【详解】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；
在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；
捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，
同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，
所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，
此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，
被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C.
本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题.二、填空题
11．抛物线220x y +=的准线方程为__________．【正确答案】12
y =
.【分析】将抛物线的方程化为标准形式，再求其直线方程.【详解】抛物线220x y +=的标准方程为22x y =-，所以其准线方程为12
y =.故答案为.12
y =
12．在4
1
⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的二项展开式中，第四项为__________．
【正确答案】3
2
32x --【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.
【详解】在41
⎛ ⎝的二项展开式中，第四项为3
3
32
44C 132T x -⎛=⋅⋅=- ⎝
.
故答案为.3
232x --三、双空题
13．在ABC 中，sin
B =
45C =︒，点D 在边BC 的延长线上，AD =1CD =，则sin DAC ∠=____________，AB =____________．
【正确答案】
102
【分析】在ADC △中，利用正弦定理可求sin DAC ∠；由45ADC DAC ∠=︒-∠，结合两角差的正弦公式，求出sin ADC ∠，在ABD △中，利用正弦定理即可求解.【详解】在ADC △中，由sin sin AD DC
ACD DAC
=∠∠，
即
1sin135sin DAC
=
︒∠，故sin 10DAC ∠=；
因为045DAC ∠<<︒
，所以cos DAC ∠==，又因为(
)sin sin 4522ADC DAC ∠=︒-∠==
在ABD △中，
sin sin AB AD
ADC B
=∠∠，
55
=
AB =
故
10
；2
.本题考查正弦定理和三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知函数1()2x f x x
=
-，则1
(2f ____(1)f （填“>”或“<”）；()f x 在区间1(
,)1n n n n -+上存在零点，则正整数n =_____.【正确答案】
>
2
【分析】根据函数的单调性结合条件可得()112f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，然后根据零点存在定理结合条件即得.
【详解】因为1()2x
f x x
=-在()0,∞+上单调递减，
所以()()112111
22f f f f ⎛⎫⎛⎫
==-⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；令2n =
，则1202f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，而2
323(232f =-，又3
3233272=428⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
所以203f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，
故()f x 在区间1,1n n n n -⎛⎫
⎪+⎝⎭
上存在零点，此时2n =.故>；2.四、填空题
15．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ．下列结论中正确的是__________．
①若曲线C 是一个点，则点集(){}
,2D P d P C =≤所表示的图形的面积为4π；
②若曲线C 是一个半径为2的圆，则点集(){}
,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为9π；③若曲线C 是一个长度为2的线段，则点集(){}
,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为π4+；④若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集(){}
,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为
54π+-【正确答案】①③④
【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集D 构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论.
【详解】设点(),P x y ，
对于①，若曲线C 表示点(),a b ，则(),2d P C ≤，
化简可得()()2
2
4x a y b -+-≤，
所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形是以点(),a b 为圆心，半径为2的圆及其内部，所以，点集(){
}
,2D P d P C =≤所表示的图形的面积为2π24π⨯=，①对；对于②，若曲线C 表示以点(),M a b 为圆心，半径为2的圆，设Q 为曲线C 上一点，当点P 在曲线C 内时，2PQ MQ MP MQ MP MP =-≥-=- ，
当且仅当Q 、P 、M 三点共线时，等号成立，
所以，(),21d P C MP =-≤，可得1MP ≥，此时12MP ≤<；当点P 在曲线C 外时，2PQ MQ MP MP MQ MP =-≥-=-
，
当且仅当Q 、P 、M 三点共线时，等号成立，
所以，(),21d P C MP =-≤，可得3MP ≤，此时23MP <≤，当点P 在曲线C 上时，线段PQ 的长不存在最小值，综上所述，12MP ≤<或23MP <≤，
即()()2
2
14x a y b ≤-+-<或()()2
2
49
x a y b <-+-≤所以，点集(){}
,1D P d P C =≤所表示的图形是夹在圆()()22
1x a y b -+-=和圆()()2
2
9x a y b -+-=的区域（但不包括圆()()2
2
4x a y b -+-=的圆周），
此时，点集(){}
,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为()22
π318π⨯-=，②错；
对于③，不妨设点曲线C 为线段AB ，且2AB =，
当点Q 与点A 重合时，由①可知，则点集D 表示的是以点A 为圆心，半径为1的圆，当点Q 与点B 重合时，则点集D 表示的是以点B 为圆心，半径为1的圆，
故当点Q 在线段AB 上滑动时，点集D 表示的区域是一个边长为2的正方形EFGD 和两个半径为1的半圆所围成的区域，
此时，点集D 的面积为22π12π4⨯+=+，③对；
对于④，若曲线C 是边长为9的等边三角形，设等边三角形为ABC ，因为π
2
BAD CAE ∠=∠=
，π3BAC ∠=，则2π3DAE ∠=，
由③可知，点集D 构成的区域由矩形ABRD 、ACFE 、BCWL ，以及分别由点A 、B 、C 为圆心，半径为1，圆心角为
2π
3
的三段圆弧，和夹在等边三角形ABC 和等边三角形STU 中间的部分（包括边界），因此，且1SG =，π
tan
33
AG SG ==293HG AB AG =-=-所以，点集D 所表示的图形的面积为(222
3π1391992354π334⎡⎤⨯+⨯⨯+--=+-⎢
⎥⎣⎦.
故①③④.
关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集D 所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可.五、解答题
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．
(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ；
(2)若F 为线段BC 上靠近B 的三等分点，求二面角E AF B --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)
11
11
.【分析】（1）根据给定条件，证明PA BC ⊥，结合线面垂直的性质、判定证得⊥AE 平面PBC ，
再由面面垂直的判断推理作答.
（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.
【详解】（1）因PA AB =，E 为PB 中点，则AE PB ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，而BC ⊂底面ABCD ，则有PA BC ⊥，
又因BC AB ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，于是得BC ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAB ，因此BC AE ⊥，
又BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，从而得⊥AE 平面PBC ，AE ⊂平面AEF 所以平面AEF ⊥平面PBC ．
（2）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -
，
不妨设6PA AB ==，则(0,0,0),(3,0,3),(6,2,0),(0,0,6)A E F P ，(3,0,3),(6,2,0),(0,0,6)AE AF AP ===
，因PA ⊥底面ABCD ，则平面AFB 的法向量为(0,0,6)AP =
，
设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则·330·620
AE n x z AF n x y ⎧=+=⎨=+=⎩
，令=1x -，得(1,3,1)n =-
，
设二面角E AF B --的平面角为θ，显然θ
为锐角，则||cos |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉==
，所以二面角E AF B --
的余弦值为
11
．17．已知函数()πsin 6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πs 6co g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使得()f x 的最小正周期为π．求：(1)()f x 的单调递增区间；
(2)()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围及零点．
条件①：()(
)()f x h x x =+；条件②：()()()f x g h x x =⋅；条件③：()()()=-f x h x g x ．注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．
【正确答案】(1)5ππ
[π,πZ 1212
k k k -+∈
(2)1[]2
，
π3【分析】（1）选②，根据二倍角的正弦公式化简得1π
()sin(2)23
f x x =+，利用正弦型函数图像与
性质求单调区间；
（2）根据自变量范围求出23
x π
+
的范围，利用正弦函数的图像性质求值域；
【详解】（1）选①：ππππ
()()()sin())2sin()
6663f x h x x x x x =+=+++=++π
2sin(2cos 2
x x =+=，不满足()f x 的最小正周期为π．
选③：πππππ
()()()sin()cos()666412
f x h x
g x x x x x =-=+-+=+-=-，不满足()f x 的
最小正周期为π．
选②：ππ1π()()()sin cos sin(26623f x h x g x x x x ⎛⎫⎛
⎫=⋅=+⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，满足()f x 的最小正周期为π．
令2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈,解得5ππ
ππ,Z 1212
k x k k -
≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π],Z 1212
k k k -
+∈（2）当π
[0,]2
x ∈时，ππ4π2333x ≤+≤，
所以π
sin(213
x +≤，
所以1π1
()sin(2[232
f x x =
+∈.π2π2π,Z 3x k k +=+∈且π
[0,]2
x ∈,所以零点是π3.
18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：
传统艺术活动
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
书画
古琴汉服戏曲面塑高一体验人数
80
45
55
20
45
高二体验人数4060608040高三体验人数
15
50
40
75
30
(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第k 天传统艺术活动的概率为()1,2,3,4,5k P k =，当
k P 取得最大值时，写出k 的值，及对应的k P 值．（直接写出答案即可）
【正确答案】(1)
7
12
(2)分布列答案见解析，()74
E X =(3)2
k =【分析】（1）结合古典概型可直接求解；
（2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；
（3）结合相互独立事件概率公式求出12345,,,,P P P P P ，即可求解.【详解】（1）解：由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，
设事件A 为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为()1757
30012
P A =
=.（2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为1
5
，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为45，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为
34
，由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，
所以，()1431
011155425
P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()14314314329
1111111554554554100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+-⋅⋅-+--⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()14314314311
211155455455420P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()1433
355425
P X ==⋅⋅=，
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X
1
2
3P
125
29100
1120
325
因此，()129113701232510020254
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.（3）解：由题可知，10.80.40.150.048P =⨯⨯=，20.450.60.50.135P =⨯⨯=，
30.550.60.40.132P =⨯⨯=，40.20.80.750.12P =⨯⨯=，50.450.40.30.054P =⨯⨯=，
故15432P P P P P <<<<，所以当k P 取得最大值时，2k =.
19．已知椭圆()22
22
:10x y C a b a b
+=>>经过()12,0A -和(0,B 两点，点2A 为椭圆C 的右顶点，
点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线1PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．(1)求椭圆C 的方程及离心率；
(2)比较1MNA 的面积与2NA B △的面积的大小，并说明理由．
【正确答案】(1)22
143
x y +=，离心率12c e a =
=；
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）根据,a b
求椭圆方程，以及离心率；
（2）首先设点P 的坐标，再利用坐标分别表示两个三角形的面积，做差后，即可比较大小.【详解】（1）由题意可知，2,a b ==，1c ==，
所以椭圆方程为22
143
x y +=，离心率12c e a ==；
（2）设()00,P x y 直线()010:22y PA y x x =
++，令0x =，得0022
M y
y x =+，
直线:PB 003
3y y x x +=
-，令0y =，得0033
N x x y =+，所以10
00
03212223MNA x y S x y ⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭ ()()
00
0000322
23
x y y x x y =
+
+++
(
)()()
000000323
23
x y y y x y ++=
++
，
(
)
200
003312332323NBA x x S y y ⎛
⎫=-
⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭
(
)
(
)
00
0233323
y x y +-=
+12MNA NBA S S - (
)()()000000323
23x y y y x y ++=
++
()()
00
233323y x
y +--+()()
22
00004312
223
y x x y +-=
=++所以12
MNA NBA S S = 20．已知函数()sin cos =-f x x x x ．
(1)求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；
(2)求证：当π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，31()3f x x <；
(3)若()cos f x kx x x >-对π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，求实数k 的最大值．
【正确答案】(1)π0
y -=
(2)见详解(3)见详解
【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求()πf '的值；（2）首先设函数()()3
13
g x f x x =-，求函
数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数()max 0g x <，（3）首先不等式等价于sin x kx >对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，参变分离后转化为sin x k x <对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，恒成立，
利用导数求函数sin ()x
h x x
=的最小值，转化为求实数k 的最大值.
【详解】（1）()cos (cos sin )sin f x x x x x x x
'=--=()π0f '=，即切线的斜率为0，又因为()πsin ππcos ππ
f =-=所以切线方程为：()π0πy x -=-，即π0y -=.
（2）令3
1()()3
g x f x x =-，则()()()22sin sin g x f x x x x x x x x ''=-=-=-，
当π02x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10
t x x '=-<所以()t x 在π02x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，单调递减，()sin (0)0
t x x x t =-<=即sin x x <，所以()0
g x '<所以()g x 在π02⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递减，所以()(0)0g x g <=，
所以31()3
f x x <
.（3）原题等价于sin x kx >对π02x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，恒成立，
即sin x k x <对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，恒成立，
令sin ()x
h x x =
，则22
cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-.
易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在π02⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递增，
所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<，
故()h x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，所以π2
2π
k h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.
综上所述，k 的最大值为2
π
.
21．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数
1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩
对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：
121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．
（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；
（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和1
2,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．
【正确答案】（Ⅰ）生成列为0,1,2,1,4,3--；母列为3,2,4,1,6,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）根据所给定义计算可得；
（Ⅱ）设1a ，2a ，⋯，n a 的生成列是1b ，2b ，⋯，n b ；1a '，2a '，⋯，n a '的生成列是与1b '，2b '，
⋯，n b '，从右往左数，设排列1
a ，2a ，⋯，n a 与1a '，2a '，⋯，n a '第一个不同的项为k a 与k a '，由满意指数的定义可知i a 的满意指数，从而可证得且k k a a ≠'，于是可得排列1a ，2a ，⋯，n a 和1a '，
2a '，⋯，n a '的生成列也不同．
（Ⅲ）设排列1a ，2a ，⋯，n a 的生成列为1b ，2b ，⋯，n b ，且k a 为1a ，2a ，⋯，n a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，10b ⇒，20b ，⋯，10k b -，1k b -，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用i a 的满意指数1i b i -，可知整个排列的各项满意指数之和不超过(1)
123(1)2
n n n -+++⋯+-=
，从而可使结论得证．【详解】（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--；排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．
（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．
从右往左数，设排列12,,,n a a a 与1
2,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，
L ，11k k a a ++'=，k k a a '≠．
显然n n
b b '=，11n n b b --'=，L ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠．由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．
由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而
(1)21k b l k l l k =---=-+．
同理，设排列1
2,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为12,,,k a a a 与1
2,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以l l '≠，从而k k
b b '≠．所以排列12,,,n a a a 和1
2,,,n a a a ''' 的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ．
进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为
12,,,n b b b ''' ．
所以12
12()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥．
因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，
所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2
n n
n -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，
所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．。