百校联盟2017届高三4月教学质量检测乙卷理科数学试题含答案

2016—2017学年普通高中高三教学质量监测
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

已知集合{}
03722
<+-=x x
x A ,{}1lg <∈=x Z x B ，则阴影部分所表示的集合
的元素个数为( ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2.已知复数z 的共轭复数为z ，若i i z z 25)22
1)(2
2
3(-=-+（i 为虚数单位),
则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3。

已知命题x x x p 816),,1(3
>++∞∈∀：，则命题p 的否定为（
）
A ．x x x p 816),,1(3
≤++∞∈∀⌝：
B ．x x x p 816),,1(3
<++∞∈∀⌝：
C ．03
00
816),,1(x x x
p ≤++∞∈∃⌝：
D ．
03
00816),,1(x x x p <++∞∈∃⌝：
4.6
2
)12)23(---x x x （的展开式中，含3
x 项的系数为（ ）
A ．600
B ．360 C.600- D ．360-
5。

已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左焦点为F
，第二象限的点M 在双
曲线C 的渐近线上，且a OM =,若直线 MF 的斜率为a
b
，则双曲线C 的渐
近线方程为（ )
A ．x y ±=
B ．x y 2±= C.x y 3±= D ．x y 4±= 6。

已知边长为2的菱形ABCD 中,
120=∠BAD ，若)10(<<=λλAC AP ，则PD
BP ⋅的取值范围为（ ）
A ．]3,0[
B ．]3,2[ C.]3,0( D ．]3,2(
7.已知221
1=+ϕ
ϕos c sin ，若
)2,0(πϕ∈，则=-⎰ϕtan 12)2(-dx x x ( ）
A ．3
1 B ．3
1- C 。

3
2 D ．3
2-
8。

《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C 。

7
D ．11
9.某颜料公司生产A 、B 两种产品，其中生产每吨A 产品,需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨,生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨,丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨，如果A 产品的利润为300元/吨,B 产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（ )
A ．14000元
B ．16000元
C 。

18000元
D ．
20000
元
10。

已知函数⎩⎨
⎧≤<+-≤≤-+=2
0,1)1(,
02,2)(2x x f x x x x f 则方程1)]([5=-x f x 在]2,2[-上的根的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C 。

5
D ．6
11.如图，小正方形的边长为1,粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．38
B ．16 C. 316 D ．32
12。

已知ABC ∆的外接圆半径为R ,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若
R
C c C B a 2
sin 23cos sin =+，则ABC ∆面积的最大值为（
）
A ．5
2 B ．5
4 C.5
52 D ．5
12
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数)2
,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=M x M x f 的部分图象如图所示，其中
)3,2(A （点A 为图象的一个最高点），)0,2
5(-B ，则函数=)(x f
．
14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段。

已知在
折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD
为正方形，
G 为线段BC 的中点,四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接CI EB ,，则向多边形AEFGHID 中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为 ．
15.已知抛物线x y
C 8:2
=的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为M ,过点M 的直
线l '与抛物线C 的交点为Q P ,，延长PF 交抛物线C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ,若22=+BF
QF
AF
PF ，则直线l '的方程为
．
16.若),1[+∞∈x 时,关于x 的不等式)1(1
ln -≤+x x x x λ恒成立，则实数λ的取值范
围为 ．
三、解答题 (本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且82
=a
，12
1
--=
+n a S n n 。

（1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2)求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⨯+132n n n a a 的前n 项和为n T .
18。

国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得
到统计表格如下：
x
1
2
3 4 5 6 7 y
5 8 8
10
14
15
17
经过进一步统计分析,发现y 与x 具有线性相关关系.
（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程∧
∧
∧
+=a x b y ;
(2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为7
1，抽到二等奖（价值100元
奖品）的概率为7
2,抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为7
4.
试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品? 参考公式：∑∑==∧
--=
n
i i
n
i i
i x
n x
y x n y
x b 1
2
2
1
,x b y a ∧
∧
-=.
19。

如图所示的空间几何体中,底面四边形ABCD 为正方形，AB AF ⊥，
BE
AF ∥，平面⊥ABEF 平面ABCD ，5=DF ，22=CE ，2=BC .
（1）求二面角C DE F --的大小；
（2）若在平面DEF 上存在点P ，使得⊥BP 平面DEF ，试通过计算说明点P 的位置。

20.
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为21F F 、,点)2
2,1(-是椭
圆C 上的点，离心率2
2
=
e .
（1)求椭圆C 的方程; (2）点)0)(,(0
≠y
y x A 在椭圆C 上,若点N 与点A 关于原点对称，连接2
AF 并
延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN ∆面积的最大值。

21。

已知函数)(x F 与x x f ln )(=的图象关于直线x y =对称.
（1）不等式1)(-≥ax x xf 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数a 的最大值; (2）设
1)()(=x F x f 在),1(+∞内的实根为0x ，⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=0
,)
(1),()(x x x f x x x x xf x m ,若在区间),1(+∞上存在))(()(212
1
x x
x m x m <=，证明：
02
12
x x x >+。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22。

选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧+-=+=t
y t
x 3321(t 为参数），以原点为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系。

曲线C 的坐标方程是0cos 3sin 2
=-θθρ。

（1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的极坐标方程；
（2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）. 23。

选修4-5：不等式选讲
已知函数13)(-++=x x x f 的最小值为m ，且m a f =)(。

（1）求m 的值以及实数a 的取值集合； （2)若实数r q p ,,，满足m r q p
=++222
2，证明：2)(≤+r p q 。

试卷答案
一、选择题
1.B 【解析】依题意，{}
{}⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<=<--=<+-=310)3)(12(03722
x x x x x x x x
x A ,
{}{}{}9,8,7,6,5,4,3,2,11001lg =<<∈=<∈=x Z x x Z x B ，阴影部分表示集合B A ,故{}2,1=B A 。

2。

A 【解析】依题意，设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z z +=+22
2
3，故
i i
i
bi a 21221252+=--=
+，
故2,2
1=
=b a ，则在复平面内，复数z 所对应的点为)2,2
1
(，位于第一
象限.
3.C 【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为
03
00816),,1(x x x p ≤++∞∈∃⌝：.
4.C 【解析】依题意，由排列组合知识可知,展开式中3
x 项的系数
6004)1(22)1(232
263336-=-⨯--⨯C C 。

5.A
【解析】设F(-c,0),依题意,联立⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+,
,
22x a b
y a y x 解得),(2c ab c a M -，故a b c c
a c a
b =
+--20
，
解得b a =，故所求渐近线方程为x y ±=。

6。

D 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故
)11)(,0(),0,3(),0,3(<<--m m P D B ，
故),3(),,3(m PD m BP -==,故23m PD BP -=⋅，故]3,2（∈⋅PD BP .
7。

C 【解析】依题意，
ϕπϕϕϕϕϕϕϕsin2sin(os c sin os c sin os c sin 2)4
2222211=+⇒=+⇒=+， 因为)2,0(πϕ∈，所以4
π
ϕ=，故3
2
)3()2()2(11
231
12
tan 1
2
=-=-=--⎰⎰
x x dx x x dx x x --ϕ
. 8.A 【解析】起始阶段有1,32=-=i a m ，第一次循环
后,2,943)32(2=-=--=i a a m ；第二次循环后，3,2183)94(2=-=--=i a a m ；第三次循环后，4,45163)218(2=-=--=i a a m ；接着计算93323)4516(2-=--=a a m ,跳出循环，输出9332-=a m ,令359332=-a ，得4a =。

9.A 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示:
A （吨）
B （吨） 染料最高用量（吨）
甲染料 1 1
50 乙染料 4
0 160 丙染料
2
5
200
设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、
B 产品y 吨,所获利润为z 元.依据题意得目标函数为y x z 200300+=,约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≤+≤≤+0
,020052160
450y x y x x y x ，欲求目标函数)23(100200300y x y x z +=+=的最大值,先画出约束条件表示的可行域,如图中
阴影部分所示，
则点)40,0(),3
100,350(),10,40(),0,40(D C B A ，
作直线023=+y x ，当移动该直线过点)10,40(B 时，y x 23+取得最大值,则y x z 200300+=也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小可得）。

故1400010200300=⨯+⨯=40z ax
m ,
所以工厂每天生产A 产品40吨、B 产品10吨，才可获得最大利润14000
元。

10。

D 【解析】 因为1)]([5=-x f x ，故5
1)(-=x x f ；在同一直角坐标系中
分别作出函数5
1),(-==x y x f y 的图象如图所示，观察可知，两个函数的
图像在]2,2[-上有6个交点，故方程1)]([5=-x f x 在]2,2[-上有6个根。

11.B 【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥
BCD A -,作出该几何体的直观图如图所示，取AC 的中点E ，连接BE ；
可以证明BE ⊥平面ACD ，故三棱锥BCD A -的体积
16)24(4
3
3231312=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆ACD S BE V .
12。

C 【解析】依题意,R
C c C B a 2sin 2
3cos sin =+,故42
3cos 2
=+c
C ab ,故
42
322222=+-+⋅c ab c b a ab ，整理得82222=++c b a ，结合余弦定理可知C
ab c cos 2382=-
①；记ABC ∆的面积为S ,则C ab S sin 24=②，将①②平方相加可得
2222222222)28()(416)38(c b a b a S c -=+≤=+-，
故564
)516(162222
≤
-≤c c S
，即5
52542≤≤S S ，，当且仅当5
8
2
=
c
时等号成立。

二、填空题
13.)6
3
sin(3ππ-x 【解析】依题意，2
92
524
3,3=+==T M ，故6=T ，故3
2π
π
ω=
=T ，
将点)3,2(A 代入可得)(22
2Z k k ∈+=+ππϕ，故)(26
Z k k ∈+-=ππϕ，故
)6
3sin(
3)(π
π
-=x x f 。

14.3
1 【解析】设2=AB ，则51==AG BG ，,故多边形AEFGHID 的面积
12222
1
255=⨯⨯+⨯⨯=S ；阴影部分为两个对称的三角形，其中
GAB EAB ∠-=∠ 90，故阴影部分的面积
45
5
25212cos 212sin 212=⨯⨯⨯=∠⋅⋅⨯=∠⋅⋅⨯=GAB AB AE EAB AB AE S ，故所求概率31=P .
15。

)2(6
6+±=x y
【解析】设直线2:-='my x l ，联立⎩⎨⎧-==2
82m y x x
y ，故
06464,016822>-==+-m my y ∆，12>m ,设),(),,(2211y x Q y x P ，则16,82121==+y y m y y ,由抛
物线的对称性可知,222421
2
21=-=+=
+m y y y y BF
QF
AF
PF ，解得62=m ，故6±=m ，故直线l '的方程为)2(6
6
+±=x y 。

16.),2
1[+∞
三、解答题
17.【解析】（1)因为121--=
+n a S n n
，故当1=n 时,2112
21=--=a
a ； 当2≥n 时，2)1(22221---=--=+n a S n a 2S
n 1-n n n
，，
两式对减可得231
+=+n n a a
；
经检验，当1=n 时也满足231
+=+n n a a
;
故）
（1311
+=++n n a a ,故数列{}1+n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，故n n a 31=+，
即13-=n n
a
.
（2)由（1）可知，1
31
131)13)(13(32321---=--⨯=⨯+++1
n n 1n n n n n n a a , 故1
31
21131131131131131131322--=---+⋅⋅⋅+--+---=
++1n 1n n 1n
-T。

18.【解析】（1）依题意:476543217
1=++++++=）（x ， 11171514108857
1
=++++++=）（y ,
∑∑====7
1
7
12
364,140i i i i i
y x x
,
216
714011
473647771
2
2
7
1=⨯-⨯⨯-=--=
∑∑==∧
i i i i
i x
x y
x y
x b ，34211=⨯=-=∧∧-x b y a ,
则y 关于x 的线性回归方程为32+=∧
x y .
(2）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为
7
71071007200=
⨯+⨯+⨯=EX (元）。

由y 关于x 的回归直线方程32+=∧
x y ，预测8=x 时19=∧
y ,9=x 时21=∧
y ，
10=x 时23=∧
y ，
则此次活动参加抽奖的人数约为14023211917151410885=+++++++++人，
88007
440
140=⨯
（元）， 所以估计该分店在此次抽奖活动结束时送出8800元奖品。

19.【解析]（1）因为AB AF ⊥，平面⊥ABEF 平面ABCD ,所以⊥AF 平面ABCD ，所以AD AF ⊥。

因为四边形ABCD 为正方形，所以AD B A ⊥，所以AF AB D A 、、两两垂直。

以A 为原点，AF AB D A 、、分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系（如图）.
由勾股定理可知2BE 1,AF ==，
所以)1,0,0(),2,2,0(),0,0,2(),0,2,2(),0,2,0(),0,0,0(F E D C B A , 所以)2,0,2(),0,2,0(),0,2,2(-=-==CE CD AC . 设平面CDE 的一个法向量为),,(z y x n =，
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,0CE n CD n 得⎩⎨⎧=+-=-,022,02z x y 即⎩⎨
⎧==,0,0z -x y 取1=x ，得)1,0,1(=n ；
同理可得平面DEF 的一个法向量)2,1,1(-=m , 故2
3
,cos =
>=<n
m n m n m ，因为二面角C DE F --为钝角， 故二面角C DE F --的大小为π6
5.
(2）设DF DE DP μλ+=，因为)1,0,2()2,22-==DF (-DE ，，,
又)0,2,2(-=BD ，)2,2,22(),0,2()2,2,2(μλλμλμμλλλμλ+--=-+-=+=DF DE DP ， 所以)2,22,222(μλλμλ+---=+=DP BD BP ,
∵⎪⎩⎪⎨
⎧
=⋅=⋅，，00E D BP F D BP ∴⎩⎨⎧=++-+---=++---,
0)2(2)22(2)222(2,
02)222(2μλλμλμλμλ
解得⎪⎩
⎪
⎨⎧==，，320λμ即DE DP 32=，
所以P 是线段DE 上靠近E 的三点分点. 20.【解析】（1）依题意,
121122=+b a ，2
2
=a c ，222
c b a
+=,解得1,2===c b a .
故椭圆C 的方程为12
22
=+y x .
（2)当直线AM 的斜率不存在时，不妨取)2
2,1(),22,1(),22,1(---N M A , 故2222
1
=⨯⨯=
∆AMN
S
. ②当直线AM 的斜率存在时,设直线AM 的方程为0),1(≠-=k x k y ，
联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)1(2
2
y x x k y 化简得0224)12(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x M y x A ，则1
22
2,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ，
1
21
22]12224)124[()1(]4)[()1(2
2222222
212
212
++=+-⋅-+⋅+=-+⋅+=k k k k k k k x x x x k AM ， 点O 到直线AM 的距离1
1
2
2
+=
+-=
k k k k d ，
因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为1
222
+=k k d ,
∴2)12(41
4122)12()1221
21212221221222222222<+-=++=+⋅++⋅⋅=⋅=∆k k k k k k k k d AM S
AMN
（）（。

综上，AMN ∆面积的最大值为2.
21.【解析】（1）由1)(-≥ax x xf ,所以x
x a 1ln +≤，
设x
x x g 1ln )(+=，∴221
11)(x
x x x
x g -=-
='。

由0)(>'x g ，∴1>x ，)(x g 在),1(+∞上单调递增；
0)(<'x g ，∴10<<x ，)(x g 在)1,0(上单调递减，所以1)1()(min ==g x g ，即1a ≤，
所以实数a 的最大值为1.
（2）设),(y x 为函数)(x F 图象上任意一点，
则点),(x y 为函数)(x f 图象上的点，所以x
e x F =)(,所以0
1
ln 0
x e x
=
, 当0
1x x <<时，x x x m ln )(=，0ln 1)(>+='x x m ，因而)(x m 在),1(0x 上单调递增；
当0x x >时，x e x x m =)(，01)(<='x e
x -x m ,因而)(x m 在),(0+∞x 上单调递增减，
又))(()(21
2
1
x x
x m x m <=，则),1(01x x ∈,),(02+∞∈x x ,
显然当+∞→2x
时，02
12
x x x >+。

要证：02
1
2
x x x >+，即证：01022x x x x >->，而)(x m 在),(0+∞x 上单调递增减, 故可证)2()(10
2
x x
m x m -<，又由)()(21x m x m =,即证)2()(101x x m x m -<，
即1
021
011
2ln x x e x x x
x --<
， 记0201,2ln )(0x x e
x
x x x x h x
x <<--=-，其中0)(0=x h . x
x x x x x e x x e x e x x x x h -----++=-+++='0002022021
ln 121ln 1)(.
设t t e
t t e t t -='=1)(,)(ϕϕ，当)1,0(∈t 时，0)(>'t ϕ；),1(+∞∈t 时，0)(<'t ϕ，
故e
t 1)(max =ϕ.
而0)(>t ϕ，故e t 1)(0≤<ϕ，而020>-x x ，从而021020<-≤--x
x e x
x e , 因此当01
121ln 121ln 1)(00020220>->--++=-+++='---e e x x e x e x x
x x h x
x x x x x ，即)(x h 单调递增。

从而当01x x <<时，0)()(0=<x h x h ，即1
0210112ln x x e
x x x x --<,故02
12x x x >+得证。

22.【解析】（1）依题意，θ
ρθρ
cos 3sin 22
=，故x y
32
=.
因为⎩
⎨⎧+-=+=t y t
x 3321,故03323=--y x ，
故极坐标方程为033sin 2cos 3=--θρθρ。

(2）联立⎩⎨⎧=--=-0
33sin 2cos 30
cos 3sin 2θρθρθθρ，化简得：
03sin cos 32sin cos 3
2=--）（）（θθθθ，则3sin cos =θθ或3
3
sin cos -=θθ，
即3
3
=
θtan 或3-tan =θ, 又因为πθρ20,0<≤≥,则6
πθ=或3
5πθ=， 则直线l 与曲线C 交点的极坐标为)6,36
(π和)3
5,2(π。

23。

【解析】（1)依题意，41313)(=+-+≥-++=x x x x x f , 故m 的值为4；
当且仅当0)1)(3(≤-+x x ，即13≤≤-x 时等号成立，即a 的取值集合为]1,3[-。

（2）因为m r q p =++222
2，故4)()(2222=+++r q q p ，
因为pq q p 222
≥+，当且仅当q p =时等号成立； 因为qr r q 222
≥+,当且仅当r q =时等号成立；
故qr pq r q q p
224)()(2222
+≥=+++，
故2)(≤+r p q (当且仅当r q p ==时等号成立).。