1 计算机中的数制
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第 1 章 计算机中的数制和码制
n
计算机中的数制 计算机中数的表示方法与格式 非数值数据在计算机中的表示方法
n
n
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1.1 计算机中的数制
n
数制：多位数码中,每一位的构成方式，以及从低位到 高位的进位规则
十进制（Decimal）：逢十进一, 0~9 二进制（Binary）：逢二进一, 0,1 八进制（Octal）：逢八进一, 0~7 十六进制（Hexadecimal）：逢十六进一,0~9,A~F N进制：逢N进一
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1.1 计算机中的数制
1.1.2 R进制
V = rn−1 × Rn−1 + rn− 2 × Rn− 2 + ⋅⋅ ⋅ + r1 × R1 + r0 × R0 + r−1 × R −1 + r−2 × R−2 + ⋅ ⋅⋅ + r− m × R− m = ∑ ri × Ri
二进制 →十六进制
从低位到高位将每4位二进制数分为一组，并用相应的十六进 制数代换，即可得到对应的十六进制数
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1.1 计算机中的数制
(0101 1110. 1011 0001)B ( 5 E. B 1 )H
十六进制 →二进制
将十六进制数的每一位，用等值的4位二进制数代替 ( 8 F. C 6 )H
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1.1 计算机中的数制
1.1.1 十进制
n 任意数都由基数（底，Radix）和位权（Weight）构 成 n 用来表示数的数码的集合称为基，该集合的大小称为 基数 n 十进制的基：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，基数R=10，位权 10i n 对于任意一个十进制数，可以用计数法(按权展开)表示 为 (V)D=ΣKi×10i 若整数位数为n,小数位数为m,则i=n-1,n-2,…,0,-1,…,m
−m n −1
例：(101.11)B= 1×22 +0×21 +1×20 +1×2-1+1×2-2=(5.75)D
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1.1 计算机中的数制
1.1.4 二进制的优点
1. 只有两个数码，电路实现简单 2. 需要的设备量少 3. 运算规则简单 1+0=1 1 + 1 = 10 0+0=0
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
例 在2的补码系统中完成二进制数+72与-13的加法运算 [+72]补 = 01001000 [-13]补 = 11110011
01001000 + 11110011 100111011 舍去
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四位无符号整数，能够表示0~15的数
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机器数的加、减运算
例：X1 =－0011，X2 = 1011求[ X1 +X2]原和 [ X1 －X2]原 解：[ X1 ]原＝10011，[ X2 ]原＝01011 ◆ 求[ X1 +X2]原，绝对值相减，有
1 0 1 1 －) 0 0 1 1 1 0 0 0 结果取X2的符号，即： [X1 +X2]原＝01000
+ 1 × 2 −1 + 0 × 2 −2 + 1 × 2 −3
= 16 + 8 + 2 + 0.5 + 0.125
= (26.625) D
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1.1 计算机中的数制
1.1.5.2 十进制转换为二进制
l整数部分：除2取余法（先得出的为低位b0） l小数部分：乘2取整法 （先得出的为b-1）
原码表示的特点: 真值0有两种原码表示形式,即 [ +0]原= 00…0 [– 0]原= 1 0…0 东南大学信息科学与工程学院
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2.1 实数的补码表示法 同余：某个模为M的系统中，一个数与其模的整数倍相加或 相减时，其值不变，即A = A + n×M (mod M) 1.补数的概念 如果A和A’两个数之和等于某个固定的数M（称为模），则 称数A’是数关于模M的补数，或简称M的补数，即A = M – A’; 反之，数A也是A’关于模M的补数（A’=M-A） A – B = A – B + M (Mod M) 同余的性质 = A + (M – B) = A + B’ 可以用补数将加法和减法统一起来
1.1.6 八进制与十六进制
使用二进制表示一个数字使用的位数较多，为了便于书写，引入八进制 和十六进制
1.1.6.2 八进制 —— 逢八进一，0~7
二进制 →八进制
将二进制整数从右向左每3位作为一个单元，并用对应的八进制数字代表即可 将二进制小数从左向右每3位作为一个单元，并用对应的八进制数字代表即可
符号位
+1011 -1011
0 1 1 1
0 0
1 1
1 1
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2 实数在计算机中的表示 原码表示法：分符号位S和尾数m。 S
“0”表示为正 “1”表示为负
m
数值部分
例：
N1 = +10011 [ N1]原= 010011
N2 = – 01010 [N2]原= 101010
3+0=3 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 3 + 7 = 10 3 + 8 = 11 3 + 9 = 12 3 + 10 = 13 3 + 11 = 14 3 + 12 =15 3 + 13 = 0 3 + 14 = 1 3 + 15 = 2 3 + 10 = -3 3 + 11 = -2 3 + 12 = -1 3–3=0 3–2=1 3–1=2 3 + 8 = -5 3 + 9 = -4 3 - 6 = -3 3 - 5 = -2 3 - 4 = -1 3 - 8 = -5 3 - 7 = -4
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1.1 计算机中的数制
例 143.75 = 1×102 + 4×101+ 3×100 +7×10-1+ 5×10-2 用R取代上式中的10，则可以得到任意进制数的表示式 (V)R=ΣKi×Ri Ki为第i次幂的系数，根据基数R的不同，它的取值为0~R-1 优点：位数少 缺点：必须用十个可以严格区分的独立电路表示
(010 111 001 011. 010 010)B ( 2 7 1 3 . 2 2 )O
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1.1 计算机中的数制
八进制 →二进制
将八进制的各位数码分别用对应的二进制数带入即可 (3 5 1. 2 5)O
(011 101 001. 010 101)B 1.1.6.3 十六进制 —— 逢十六进一，0~9, A,B,C,D,E,F
补码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
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机器数的加、减运算
一、原码运算
1、符号位不参与运算,单独处理。 2、设A、B表示绝对值，有下列两类八种情况。
(1000 1111. 1100 0110)B
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1.1 计算机中的数制
十六进制 →十进制 按位展开求和 十进制 →十六进制 十进制→二进制→十六进制
例 八进制 2 5 101 A 7. 111. F 0 000 1 5 101 6 5 101 C 4 100
二进制 010 十六进制
整数部分（除2取余法）
例 将(58)D转换为二进制形式
2 2 58 29 2 14 2 7 2 3 1 (b5) 0 (b0) 1 (b1) 0 (b2) 1 (b3) 1 (b4)
(58)D=(111010)B
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1.1 计算机中的数制
小数部分（乘2取整法）
例 将(0.625)D转换为二进制形式
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2.2 二进制的基数减1补码（R-1补码，也称反码） 反码：X≥0时, [X]补 = [X]原 X<0 时, [X]补 = 2n-1+X 反码的快速计算方法：将原码除符号位以外，按位取反 例 8位系统中，X = -0001101，求[X]反
◆ 求[X1 －X2]原，绝对值相加，有
0 0 1 1 ＋) 1 0 1 1 1 1 1 0 结果取X1的符号，即： [X1 -X2]原＝11110 真值为： X1 -X2＝-1110
0 (VL)
v
1 (VH)
阈值 (VTH)
t
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1.1 计算机中的数制
1.1.5 数制间的转换
1.1.5.1 二进制转换为十进制 方法：按权展开式在十进制数域中计算 例： (11010.101) = 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 21 + 0 × 2 0 B
0.625 × 2 × 0.25 2 × 0. 5 2 1 .0
1 . 2 50
0 . 5 0
b-1
b-2
b-3
(0.625)D = (0.101)B
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1.1 计算机中的数制
不能进行精确转换的情况下，要达到所需要的精度要求 例 将(0.21)D转换为二进制形式，要求误差小于2-6
例 [X]原 = 10001101，求[X]补 先求反码 再求补码 [X]反 = 11110010 [X]补 = [X]反 + 1 = 11110011 100000000 -0001101 11110011
真值0只有一种补码表示形式：[+0]补 = [-0]补 = 00…0
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2n-1 = 11111111 [X]反 = 11110010 11111111 － 0001101 11110010
真值0也有两种反码表示形式，即 [ +0]反= 00…0 [– 0]反= 1 1…1
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2.1 二进制的真补码（R补码） 补码：X≥0时, [X]补 = [X]原 X<0 时, [X]补 = 2n+X 对于二进制数，求2的补码方法可以先求其1的补码（反码）， 然后再加1，而不再通过减法运算实现。
同号数相加或异号数相减，运算规则为绝对值相加，取被加(减)数的符号 (+A)+(+B)=(+A)-(-B) (-A)+(-B)=(-A)-(+B) 同号数相减或异号数相加，运算规则为绝对值相减，取绝大值较大者的符号 (+A)-(+B)=(+A)+(-B) (-A)-(-B)=(-A)+(+B)
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无符号数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
补数 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
有符号数 0 1 2 3 4 5 6 7 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
原码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001
0.21 × 2 0 . 42 × 0.42 2 0 . 84 × 0.84 2 1 . 68 × 0.68 2 1 . 36 × 0.36 2 0 . 72
0.72 × 2 1 . 44 ×
0.44 2 0 . 88 东南大学信息科学与工程学院
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(0.21)D = (0.0011010)B
1.1 计算机中的数制
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.1 码的概念
当数码不是用来表示数量大小的意义，而是用来表示不 同的事物时，该数码称为代码。例如：学号，商品条形码 ◆ 真值与机器数(二进制码) 真值：直接用“+”和“–”表示符号的二进制数，不能在机器中使用. 机器数：将符号(“+”和“-”)数值化了的二进制数,可在机器中使 用。一般将符号位放在数的最高位，例如：
−m n −1
每一位：0~R-1，逢R进一
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.1 计算机中的数制
1.1.3 二进制
n位整数和m位小数的二进制数可以表示为 bn-1 bn-2…b1b0.b-1b-2…b-m bi = 0或1，逢二进一，用按权展开式表示为：
V = bn −1 × 2n−1 + bn − 2 × 2n− 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 × 21 + b0 × 20 + b−1 × 2−1 + b−2 × 2−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b− m × 2− m = ∑ bi × 2i
n
计算机中的数制 计算机中数的表示方法与格式 非数值数据在计算机中的表示方法
n
n
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1.1 计算机中的数制
n
数制：多位数码中,每一位的构成方式，以及从低位到 高位的进位规则
十进制（Decimal）：逢十进一, 0~9 二进制（Binary）：逢二进一, 0,1 八进制（Octal）：逢八进一, 0~7 十六进制（Hexadecimal）：逢十六进一,0~9,A~F N进制：逢N进一
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1.1 计算机中的数制
1.1.2 R进制
V = rn−1 × Rn−1 + rn− 2 × Rn− 2 + ⋅⋅ ⋅ + r1 × R1 + r0 × R0 + r−1 × R −1 + r−2 × R−2 + ⋅ ⋅⋅ + r− m × R− m = ∑ ri × Ri
二进制 →十六进制
从低位到高位将每4位二进制数分为一组，并用相应的十六进 制数代换，即可得到对应的十六进制数
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1.1 计算机中的数制
(0101 1110. 1011 0001)B ( 5 E. B 1 )H
十六进制 →二进制
将十六进制数的每一位，用等值的4位二进制数代替 ( 8 F. C 6 )H
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1.1 计算机中的数制
1.1.1 十进制
n 任意数都由基数（底，Radix）和位权（Weight）构 成 n 用来表示数的数码的集合称为基，该集合的大小称为 基数 n 十进制的基：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，基数R=10，位权 10i n 对于任意一个十进制数，可以用计数法(按权展开)表示 为 (V)D=ΣKi×10i 若整数位数为n,小数位数为m,则i=n-1,n-2,…,0,-1,…,m
−m n −1
例：(101.11)B= 1×22 +0×21 +1×20 +1×2-1+1×2-2=(5.75)D
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1.1 计算机中的数制
1.1.4 二进制的优点
1. 只有两个数码，电路实现简单 2. 需要的设备量少 3. 运算规则简单 1+0=1 1 + 1 = 10 0+0=0
20
1.2 计算机中数的表示方法与格式
例 在2的补码系统中完成二进制数+72与-13的加法运算 [+72]补 = 01001000 [-13]补 = 11110011
01001000 + 11110011 100111011 舍去
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四位无符号整数，能够表示0~15的数
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机器数的加、减运算
例：X1 =－0011，X2 = 1011求[ X1 +X2]原和 [ X1 －X2]原 解：[ X1 ]原＝10011，[ X2 ]原＝01011 ◆ 求[ X1 +X2]原，绝对值相减，有
1 0 1 1 －) 0 0 1 1 1 0 0 0 结果取X2的符号，即： [X1 +X2]原＝01000
+ 1 × 2 −1 + 0 × 2 −2 + 1 × 2 −3
= 16 + 8 + 2 + 0.5 + 0.125
= (26.625) D
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1.1 计算机中的数制
1.1.5.2 十进制转换为二进制
l整数部分：除2取余法（先得出的为低位b0） l小数部分：乘2取整法 （先得出的为b-1）
原码表示的特点: 真值0有两种原码表示形式,即 [ +0]原= 00…0 [– 0]原= 1 0…0 东南大学信息科学与工程学院
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2.1 实数的补码表示法 同余：某个模为M的系统中，一个数与其模的整数倍相加或 相减时，其值不变，即A = A + n×M (mod M) 1.补数的概念 如果A和A’两个数之和等于某个固定的数M（称为模），则 称数A’是数关于模M的补数，或简称M的补数，即A = M – A’; 反之，数A也是A’关于模M的补数（A’=M-A） A – B = A – B + M (Mod M) 同余的性质 = A + (M – B) = A + B’ 可以用补数将加法和减法统一起来
1.1.6 八进制与十六进制
使用二进制表示一个数字使用的位数较多，为了便于书写，引入八进制 和十六进制
1.1.6.2 八进制 —— 逢八进一，0~7
二进制 →八进制
将二进制整数从右向左每3位作为一个单元，并用对应的八进制数字代表即可 将二进制小数从左向右每3位作为一个单元，并用对应的八进制数字代表即可
符号位
+1011 -1011
0 1 1 1
0 0
1 1
1 1
16
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2 实数在计算机中的表示 原码表示法：分符号位S和尾数m。 S
“0”表示为正 “1”表示为负
m
数值部分
例：
N1 = +10011 [ N1]原= 010011
N2 = – 01010 [N2]原= 101010
3+0=3 3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9 3 + 7 = 10 3 + 8 = 11 3 + 9 = 12 3 + 10 = 13 3 + 11 = 14 3 + 12 =15 3 + 13 = 0 3 + 14 = 1 3 + 15 = 2 3 + 10 = -3 3 + 11 = -2 3 + 12 = -1 3–3=0 3–2=1 3–1=2 3 + 8 = -5 3 + 9 = -4 3 - 6 = -3 3 - 5 = -2 3 - 4 = -1 3 - 8 = -5 3 - 7 = -4
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1.1 计算机中的数制
例 143.75 = 1×102 + 4×101+ 3×100 +7×10-1+ 5×10-2 用R取代上式中的10，则可以得到任意进制数的表示式 (V)R=ΣKi×Ri Ki为第i次幂的系数，根据基数R的不同，它的取值为0~R-1 优点：位数少 缺点：必须用十个可以严格区分的独立电路表示
(010 111 001 011. 010 010)B ( 2 7 1 3 . 2 2 )O
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1.1 计算机中的数制
八进制 →二进制
将八进制的各位数码分别用对应的二进制数带入即可 (3 5 1. 2 5)O
(011 101 001. 010 101)B 1.1.6.3 十六进制 —— 逢十六进一，0~9, A,B,C,D,E,F
补码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
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机器数的加、减运算
一、原码运算
1、符号位不参与运算,单独处理。 2、设A、B表示绝对值，有下列两类八种情况。
(1000 1111. 1100 0110)B
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1.1 计算机中的数制
十六进制 →十进制 按位展开求和 十进制 →十六进制 十进制→二进制→十六进制
例 八进制 2 5 101 A 7. 111. F 0 000 1 5 101 6 5 101 C 4 100
二进制 010 十六进制
整数部分（除2取余法）
例 将(58)D转换为二进制形式
2 2 58 29 2 14 2 7 2 3 1 (b5) 0 (b0) 1 (b1) 0 (b2) 1 (b3) 1 (b4)
(58)D=(111010)B
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1.1 计算机中的数制
小数部分（乘2取整法）
例 将(0.625)D转换为二进制形式
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2.2 二进制的基数减1补码（R-1补码，也称反码） 反码：X≥0时, [X]补 = [X]原 X<0 时, [X]补 = 2n-1+X 反码的快速计算方法：将原码除符号位以外，按位取反 例 8位系统中，X = -0001101，求[X]反
◆ 求[X1 －X2]原，绝对值相加，有
0 0 1 1 ＋) 1 0 1 1 1 1 1 0 结果取X1的符号，即： [X1 -X2]原＝11110 真值为： X1 -X2＝-1110
0 (VL)
v
1 (VH)
阈值 (VTH)
t
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1.1 计算机中的数制
1.1.5 数制间的转换
1.1.5.1 二进制转换为十进制 方法：按权展开式在十进制数域中计算 例： (11010.101) = 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 21 + 0 × 2 0 B
0.625 × 2 × 0.25 2 × 0. 5 2 1 .0
1 . 2 50
0 . 5 0
b-1
b-2
b-3
(0.625)D = (0.101)B
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1.1 计算机中的数制
不能进行精确转换的情况下，要达到所需要的精度要求 例 将(0.21)D转换为二进制形式，要求误差小于2-6
例 [X]原 = 10001101，求[X]补 先求反码 再求补码 [X]反 = 11110010 [X]补 = [X]反 + 1 = 11110011 100000000 -0001101 11110011
真值0只有一种补码表示形式：[+0]补 = [-0]补 = 00…0
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2n-1 = 11111111 [X]反 = 11110010 11111111 － 0001101 11110010
真值0也有两种反码表示形式，即 [ +0]反= 00…0 [– 0]反= 1 1…1
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.2.1 二进制的真补码（R补码） 补码：X≥0时, [X]补 = [X]原 X<0 时, [X]补 = 2n+X 对于二进制数，求2的补码方法可以先求其1的补码（反码）， 然后再加1，而不再通过减法运算实现。
同号数相加或异号数相减，运算规则为绝对值相加，取被加(减)数的符号 (+A)+(+B)=(+A)-(-B) (-A)+(-B)=(-A)-(+B) 同号数相减或异号数相加，运算规则为绝对值相减，取绝大值较大者的符号 (+A)-(+B)=(+A)+(-B) (-A)-(-B)=(-A)+(+B)
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无符号数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
补数 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
有符号数 0 1 2 3 4 5 6 7 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
原码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001
0.21 × 2 0 . 42 × 0.42 2 0 . 84 × 0.84 2 1 . 68 × 0.68 2 1 . 36 × 0.36 2 0 . 72
0.72 × 2 1 . 44 ×
0.44 2 0 . 88 东南大学信息科学与工程学院
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(0.21)D = (0.0011010)B
1.1 计算机中的数制
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1.2 计算机中数的表示方法与格式
1.2.1 码的概念
当数码不是用来表示数量大小的意义，而是用来表示不 同的事物时，该数码称为代码。例如：学号，商品条形码 ◆ 真值与机器数(二进制码) 真值：直接用“+”和“–”表示符号的二进制数，不能在机器中使用. 机器数：将符号(“+”和“-”)数值化了的二进制数,可在机器中使 用。一般将符号位放在数的最高位，例如：
−m n −1
每一位：0~R-1，逢R进一
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.1 计算机中的数制
1.1.3 二进制
n位整数和m位小数的二进制数可以表示为 bn-1 bn-2…b1b0.b-1b-2…b-m bi = 0或1，逢二进一，用按权展开式表示为：
V = bn −1 × 2n−1 + bn − 2 × 2n− 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 × 21 + b0 × 20 + b−1 × 2−1 + b−2 × 2−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + b− m × 2− m = ∑ bi × 2i