高考数学学业水平测试一轮复习专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周期性课件

B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 解析：(1)A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中 的函数在定义域内不是增函数． (2)因为函数f(x)与g(x)的定义域均为R， f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，所以为偶函数， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以为奇函数． 答案：(1)B (2)D
则f(－2)＝( )
A．－10
B．10
C．－12
D．12
解析：依题意有f(2)＝22 017a＋bsin 2－1＝10，
所以22 017a＋bsin 2＝11.
所以f(－2)＝(－2)2 017a＋bsin(－2)－1
＝－(22 017a＋bsin 2)－1
＝－11－1
＝－12.
答案：C
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－
f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
f(2 019)＝( )
A．2019
B．0
C．1
D．－1
解析：由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)得，f(x)的周期为4.
又f(x)为奇函数，
则f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝
么函数f(x)是奇函数
关于______ 对称
答案：f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常 数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____，那么 就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 ________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期． 答案：(1)f(x＋T)＝f(x) (2)存在一个最小
由上知：f(6.5)＝－0.5.
答案：－0.5
9．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝lg|x（2－1－2|－x2）2 ； (2)f(x)＝x－2＋x2x＋（xx（＜x0＞）0，）. 解：(1)由1|x－2－x22＞|－02，≠0， 得定义域(－1，0)∪(0，1)， 这时f(x)＝－l（g（x21－－2x）2）－2＝－lg（1x－2 x2）.
1．若函数f(x)＝ax＋1x(a∈R)，则下列结论正确的是 ()
A．∀ a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃ a∈R，函数f(x)为奇函数 D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数 答案：C
2．已知函数f(x)＝ax2 017＋bsin x－1，若f(2)＝10，
答案：B
6．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝ x ＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．
解析：f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝ x ＋1，所以 当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝ －x＋1＝－f(x)，即x＜0时， f(x)＝－( －x＋1)＝－ －x－1. 答案：－ －x－1
－1，f(4)＝f(0)＝0.
即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3) ＋f(4)]×504＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0. 答案：B
4．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式
f(－1)<f(lg x)的解集是( )
又f(0)满足f(x)＝x2＋2x， 则f(x)＝－x2＋x2＋2x，2x，x≤x>0 0. (2)由(1)可得f(x)图象如下图所示：
因为f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，所以－1<a －2≤1，解得1<a≤3.
则a的取值范围为(1，3]．
5．若函数f(x)＝
x2－2x，x≥0 －x2＋ax，x<－2 C．1
D．－1
解析：因为f(x)为奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝
－x2－2x.
又x<0时，f(x)＝－x2＋ax，
所以a＝－2.
2．函数的周期性 (1)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函
数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x ∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 017)＋f(2 018)的 值为________．
(2)设函数f(x)是奇函数，定义域为R，且满足f(x＋1) ＝－f(x)．当0<x<1时，f(x)＝x－x2，则f 20320＝____．
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0 时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实 数 的取值范围． 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝ －f(x)，且f(0)＝0， 当x<0时，－x>0, 则f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝ x2＋2x，
7．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调 递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是______．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3 或x≤1，所以所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝
1．判断函数的奇偶性
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增
函数的是( )
A．y＝－log2x(x＞0) B．y＝x3＋x(x∈R)
C．y＝3x(x∈R)
D．y＝－1x(x∈R，x≠0)
(2)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均
为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
因为f(－x)＝－lg[1（－－（x－）x2）2]＝ －lg（1x－2 x2）＝f(x)． 所以f(x)为偶函数． (2)当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)． 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝ －(－x2＋x)＝－f(x)． 所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－ f(x)，故f(x)为奇函数．
解析：(1)因为f(x)是奇函数，且周期为2，
又当x∈[0，2)，f(x)＝log2(x＋1)， 所以f(－2 017)＝－f(2 017)＝－f(1)＝－log22＝－ 1，f(2 018)＝f(0)＝0.
所以f(－2 017)＋f(2 018)＝－1＋0＝－1.
(2)因为f(x＋1)＝－f(x)，可得函数f(x)的周期T＝2，
－f（1x），当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝_______．
解析：由f(x＋2)＝－
1 f（x）
，得f(x＋4)＝－
1 f（x＋2）
＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶
函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．
而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，所以f(1.5)＝－0.5.
专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第4讲 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性 奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x，都有______________，那
么函数f(x)是偶函数
关于______ 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x，都有______________，那
A．(10，＋∞)
B.0，110
C.0，110∪(10，＋∞)
D．(0，10)
解析：因为函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0)内单
调递减，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增；
由f(－1)<f(lg x)，可得|lg x|>1，
即lg x>1或lg x<－1， 解得x>10或0<x<110， 所以原不等式的解集为0，110∪(10，＋∞)． 答案：C
3．函数性质的综合应用 (1)设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]．若当x∈
[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)>0的解集 是________．
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增， 且f 12＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．
解析：(1)奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)
答案：(1)[－6，－2)∪(0，2)
(2)x－12 <x<0或x>12
剖析：(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问 题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转 化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x) 为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则 f(0)＝0.
F
2
0320＝f
673＋13＝f
－23＝－f
23＝－29.
答案：(1)－1 (2)－29
剖析：(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上 的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的 判断，利用函数周期性求值．
(2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a， ②若f(x＋a)＝f（1x），则T＝2a， ③若f(x＋a)＝－f（1x），则T＝2a(a＞0)．
在[－6，0]上的图象(图略)，由图象，可知不等式f(x)>0
的解集是[－6，－2)∪(0，2)．
(2)由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f
1 2
＝
0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f －12＝0， 所以f(x)>0时，x>12或－12<x<0.
即满足f(x)>0的x的集合为{x|－12<x<0或x>12}．