中考数学一轮复习 专题练习7 平面几何基础(2) 浙教版

平面几何基础（2）
班级 姓名 学号
一、选择题
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 圆
2.下列命题中的真命题是（ ） A. 关于中心对称的两个图形全等 B. 全等的两个图形是中心对称图形 C. 中心对称图形都是轴对称图形 D. 轴对称图形都是中心对称图形
3.边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ．
2
4
3a B ．2a C ．
2
2
33a D ．233a
4.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，AB 、CD 相交于点O ，∠1=80°，如果DE ∥AB ，那么∠D 的度数为（ ）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
6.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）
A ．15°
B ．25°
C ．30°
D ．10°
7.如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =5，DE =2，则△BCE 的面积等于( )
A.10
B.7
C.5
D.4
8.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点
D ，
E ，
F . AC 与DF 相交于点
G ，且AG =2，GB =1，BC =5，则
DE
EF
的值为( )
A.
12 B. 2 C. 25 D. 35
9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q ”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )
A. B. C. D.
10.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走( )
A. ②号棒
B. ⑦号棒
C. ⑧号棒
D. ⑩号棒
二、填空题
11.如图，Δ ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中所有与∠B互余的角是 .
12.如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．
13.如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于cm．
14.如图，直线126l ,l ,,l ⋅⋅⋅ 是一组等距离的平行线，过直线1l 上的点A 作两条射线，分别与直线3l ，
6l 相交于点B ，E ，C ，F . 若BC =2，则EF 的长是
15.如图，直线a∥b，△AB C 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 ．
三、
解答题
16.在平面直角坐标系中，已知∆ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－1,1）， B （-3,1）， C （-1,4）． （1）画出△ABC 关于y 轴对称的；
（2）将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，请在图中画出△A 2BC 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.
17.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹).
单位长度
18..如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；
（2）求证：2AD•NF=DE•DM．
19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=D C．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形．
20..如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
21.已知如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直径．
22.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．
23.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，E B．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
24.定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点.
（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3，求BN 的长；
（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，
AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点；
（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究∆AMF S ，∆BEN S 和四边形MNHG S 的数量关系，并说明理由.
答案详解
一、选择题
【答案】
A 。

【考点】命题与定理，中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，
A 、关于中心对称的两个图形全等，故正确；
B 、全等的两个图形不一定是中心对称图形，故错误；
C 、中心对称图形不一定是轴对称图形，故错误；
D 、轴对称图形不一定是中心对称图形，故错误。

故选A 。

3.边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ．
2
4
3a B ．2a C ．
2
2
33a D ．233a
【答案】C 。

【考点】正多边形。

【分析】边长为a的正六边形的面积=6×边长为a的等边三角形的面积=6×1
2
×a×（a×sin60°）
2。

故选C。

4.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（）
A. B. C. D.
【答案】B。

【考点】中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意。

故选B。

5.如图，AB、CD相交于点O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为（）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
【答案】B。

【考点】平行线的性质，对顶角的性质。

【分析】∵∠1=80°，∴∠BOD=∠1=80°。

∵DE∥AB，∴∠D=180－∠BOD=100°。

故选B。

6.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）
A ．15° B．25° C．30° D．10° 【答案】A 。

【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理。

【分析】∵Rt△CDE 中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°。

∵△BDF 中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°。

故选A 。

7.如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =5，DE =2，则△BCE 的面积等于( )
A.10
B.7
C.5
D.4 【答案】C.
【考点】角平分线的性质；三角形面积的计算.
【分析】如答图，过点E 作EH BC ⊥于点H ，
∵CD 是AB 边上的高线，∴ED AB ⊥. ∵BE 平分∠ABC ，DE =2，∴2EH DE ==. ∵BC =5，∴11
52522
BCE S BC EH =⋅⋅=⋅⋅=V . 故选C.
8.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点
D ，
E ，
F . AC 与DF 相交于点
G ，且AG =2，GB =1，BC =5，则
DE
EF
的值为( )
A.
12 B. 2 C. 25 D. 35
【答案】D.
【考点】平行线分线段成比例的性质. 【分析】∵AG =2，GB =1，BC =5，∴
213
55AB BC +==. ∵直线1l ∥2l ∥3l ，∴
3
5
DE AB EF BC ==. 故选D.
9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线
PQ ，使PQ ⊥l 于点Q ”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】A. 【考点】尺规作图.
【分析】根据垂线的作法，选项A 错误. 故选A.
10.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走( )
A. ②号棒
B. ⑦号棒
C. ⑧号棒
D. ⑩号棒
【答案】D.
【考点】探索规律题（图形变化类）.
【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.
二、填空题
11.如图，ΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中所有与∠B互余的角是 .
【答案】∠A和∠2。

【考点】直角三角形两锐角的关系，余角定义。

【分析】利用“直角三角形两锐角之和为90°”的性质来解题：
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。

又∵CD⊥AB于D，∴∠2+∠B=90°。

根据互余定义，与∠B互余的角为∠A和∠2。

12.如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．
【答案】4。

【考点】角平分线的性质。

【分析】∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴根据角平分线上的点到角的两边相等垢性质，点P 到BC 的距离=PE=4cm 。

13.如图，在△ABC 中，AB =AC =3cm ，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是5cm ，则BC 的长等于 cm ．
【答案】2。

【考点】线段垂直平分线的性质。

【分析】∵AB 的垂直平分线交AC 于点N ，∴NA =NB 。

又∵△BCN 的周长是5cm ，∴BC +BN +NC =5cm 。

∴BC +AN +NC =5cm 。

而AC =AN +NC =3cm ，∴BC =2cm 。

14.如图，直线126l ,l ,,l ⋅⋅⋅ 是一组等距离的平行线，过直线1l 上的点A 作两条射线，分别与直线3l ，
6l 相交于点B ，E ，C ，F . 若BC =2，则EF 的长是
【答案】5.
【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】∵直线126l ,l ,,l ⋅⋅⋅ 是一组等距离的平行线，∴
AB 2BE 3=，即AB 2
AE 5
=. 又∵3l ∥6l ，∴ABC AEF ∆∆∽. ∴
BC AB 2
EF AE 5
==. ∵BC =2，∴
22
EF 5EF 5
=⇒=. 15.如图，直线a∥b，△A BC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 301 ．
【解析】
如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC，
∴B′O=AB，CO=AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有3个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有n+1个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：100+1+2×100=301．
故答案为：301．
三、解答题
16.在平面直角坐标系中，已知∆ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（-3,1），C（-1,4）．（3）画出△ABC关于y轴对称的；
（4）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.
【解析】
（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
线段BC 旋转过程中所扫过得面积S ==．
17.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a ，b ，c )(a ≤b ≤c )表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出三边满足a <b <c 的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹). 单位长度
【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，
3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即2,3,4a b c === 时满足a <b <c .
如答图的ABC ∆即为满足条件的三角形.
【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.
【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：2,3,4a b c === ，再作图：
①作射线AB ，且取AB =4；
②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ；
③连接AC、BC.
即为满足条件的三角形.
则ABC
18..如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；
（2）求证：2AD•NF=DE•DM．
【解析】（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC=DF=×4=2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴AF⊥DE，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴NF是△CDE的中位线，
∴DF=EC=2NF，
∴2AD•NF=DE•DM．
19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=D C．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 4 时，四边形BFCE是菱形．
【解析】（1）证明：∵AB=DC，
∴AC=DF，
在△AEC和△DFB中
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，
∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=4，
∵∠EBD=60°，
∴BE=BC=4，
∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，
故答案为：4．
20..如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：设OM=x，
∵EF⊥AB，tan∠MBO=，
∴BM=2x，
又∵AC⊥BD，
∴△AOM∽△OBM，
21.已知如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直径．
【解析】（1）连接OD，如图，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中，∵BD=CD=10，∠B=30°，
22.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．
【解析】（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连接DO，BD，如图，
∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，
∴∠ADO=∠EDB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠BDE=∠A，
∴∠ABD=∠EBD，
而BD⊥AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴⊙O的半径为5．
23.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，E B．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；
24.定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点.
（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3，求BN 的长；
（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点；
（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究∆AMF S ，∆BEN S 和四边形MNHG S 的数量关系，并说明理由.
【答案】解：（1）∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， AM =2，MN =3，
∴若MN 为斜边，则222=+MN AM BN ，即22232=+BN ，解得=BN
若BN 为斜边，则222=+BN AM MN ，即22223=+BN ，解得BN .
∴BN .
（2）证明：∵点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，
∴222=+EC DE BD .
∵在△ABC 中，FG 是中位线，AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，
∴FM 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线.
∴BD =2FM ，DE =2MN ，EC =2NG.
∴()()()222222=+NG MN FM ，即222444=+NG MN FM .
∴222=+NG MN FM .
∴点M ，N 是线段FG 的勾股分割点.
（3）如答图1，C ，D 是线段AB 的勾股分割点.
Q
P
N
M
E
（4）+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .理由如下：
设=AM a ，=BN b ，=MN c ，
∵H 是DN 的中点，∴1
2==DH HN c .
∵△MND ，△BNE 均为等边三角形，∴60∠=∠=︒D DNE .
∵∠=∠DHG NHE ，∴△DGH ≌△NEH .∴==DG EN b .∴=-MG c b . ∵∥GM EN ，∴△AGM ∽△AEN . ∴-=+c b a b a c .∴2
2=-+c ab ac bc .
∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，∴222=+c a b .∴2()()-=-a b b a c ，
又∵-≠b a c .∴=a b .
在△DGH 和△CAF 中，∠=∠D C ，=DG CA ，∠=∠DGH CAF ， ∴△DGH ≌△CAF .
∴=△△DGH CAF S S .
∵222=+c a b ，∴2
22444=+.
∴=+△△△DMN ACM ENB S S S . ∵=+△△四边形DMN DGH MNHG S S S ，=+△△△ACM CAF AMF S S S ， ∴+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .。