2011年广东高考理科数学试题及答案(纯word版)

2011年广东高考理科数学试题及答案(纯word版)
D
1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -
2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+=
Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0
4. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数
Ｂ．()()f x g x -是奇函数
Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数
5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02
22x y x y ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定。

若(,)
M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM ON =的最大值为 A ．42 B ．32 C ．4 D ．3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．
12 B ．35 C ．23 D ．34
7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.
8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有
;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是
A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）
9. 不等式130x x +--≥的解集是 .
10. 7
2x x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）
11. 等差数列n a 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k a a a =+=，则k=____________.
12. 函数
2()31f x x x =-+在x=____________处取得极小值。

13. 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别
为
(0)sin x y θ
θπθ
⎧=⎪≤<⎨
=⎪⎩ 和25()4x t t R y t ⎧=⎪
∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线
和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，
∠BAC=∠APB, 则AB= 。

三．解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

（1）（本小题满分12分）
已知函数
1
()2sin(),.
36
f x x x R
π
=-∈
(1)求
5
()
4
f
π
的值；
(2)设
106
,0,,(3),(32),
22135
f a f
ππ
αββπ
⎡⎤
∈+=+=
⎢⎥
⎣⎦
求cos()
αβ
+的值.
17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60︒
，PA PD ==E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C
与两圆2222(4,(4x y x y +=-+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点
M (
,55
F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标. 20.（本小题共14分） 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1
1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，1
1 1.2
n n n b a ++≤+
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:2
14y x =
.
实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。

（1）过点2
0001(,
)(0)4
A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段A
B 上任一点Q(p ，q)有0
(,);2
p p q ϕ=
（2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L
的两条切线12,l l ，切点分别为22112211
(,
),(,)44
E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。

线段E
F 上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)
∈X ⇔12P P >⇔(,)a b ϕ1
2p =
;
（3）设D={ (x,y)|y ≤x-1,y ≥14(x+1)2-5
4
}.当点(p,q)取遍D 时，求(,)p q ϕ的
最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.
2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题 ９. [1,)
+∞； 10. 84； 11. 10； 12. 2； 13. 185；
14.
(1,； 15.
三、解答题
16．解：(1)55
()2sin()2sin 41264
f ππππ
=-==
;
(2)
10(3)2sin 2
13f π
αα+
==
，5
sin 13α∴=，又[0,]2
πα∈，12
cos 13
α∴=
，
6
(32)2sin()2cos 25
f πβπββ+=+==
，3
cos 5β∴=，
又[0,]2πβ∈，4
sin 5
β∴=，
16cos()cos cos sin sin 65
αβαβαβ+=-=
.
17．解：（1）乙厂生产的产品总数为1453598
÷=； （2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优
等品的数量为235145⨯=；
（3）0,1,2ξ=，
223
2
5
()i i
C C P i C ξ-==(0,1,2)i =，ξ的分布列为
均值()125105
E ξ=⨯+⨯=. 18.解：(1) 取AD 的中点G ，又PA =PD ，PG AD ∴⊥，
由题意知ΔABC 是等边三角形，BG AD ∴⊥，
又PG , BG
是平面PGB 的两条相交直线，
AD PGB
∴⊥平面， //,//EF PB DE GB
， DEF PGB ∴平面//平面，
AD DEF
∴⊥平面
(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，
在Rt PGA ∆中，2
217
()24
PG
=-=
；在Rt BGA ∆中，
C
D G
P
A B F E
22213
1()24
BG =-=
；
在PGB ∆
中，222cos 27
PG BG PB PGB PG BG +-∠==-
⋅.
19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C 的半径为
R
，两圆心为1
(0)
F
、2
0)
F ，
由题意得1
2
||2||2R CF CF =-=+或2
1
||2||2R CF CF =-=+，
1212||||||4||
CF CF F F ∴-=<=，
可知圆心C 的轨迹是以1
2
,F F 为焦点的双曲线，设方程为
22
22
1x y a b -=，则
22224,2,1,1
a a c
b
c a b ====-==，所以轨迹L 的方
程为
2
214
x y -=．
（２）∵||||||||2MP FP MF -≤=，仅当(0)PM PF λλ=>时，取＂＝＂，
由2
MF
k
=-
知直线:2(MF
l
y x =-，联立
2
214x y -=并整理
得
21590
x -+=解
得
5
x =
或
x =
舍去）
，此时P
所以||||||MP FP -最大值等于2，
此时(55P ． 20．解（１）法一：
1
12(1)
n n n a ba n a n --=
+-，得
111
2(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅，
设n
n
n
b a =，则121
n
n b
b b b
-=
⋅+(2)n ≥，
（ⅰ）当2b =时，{}n
b 是以12为首项，1
2
为公差的等差数列，
即111
(1)222
n
b
n n =
+-⨯=，∴2
n
a
=
（ⅱ）当
2
b ≠时，设
12
()n n b b b
λλ-+=
⋅+，则
122(1)n n b b b b
λ-=
⋅+-，
令
2
1(1)b
b
λ-=
，得
12b
λ=
-，
1121
()22n n b b b b b
-∴+
=⋅+--(2)n ≥，
知1
2n
b
b
+
-是等比数列，1
1112
()()22n n
b
b b b b
-∴+
=+⋅--，
又1
1
b
b
=
，
12112()222n n
n n n
b b b b b b b -∴=⋅-=⋅
---，
(2)
2n n n
n
nb b a b -∴=-．
法二：（ⅰ）当2b =时，{}n
b 是以12为首项，12
为公差的等差数列，
即111
(1)222
n
b
n n =
+-⨯=，∴2
n
a
=
（ⅱ）当
2
b ≠时，1a b
=，
2222
2
22(2)
22b b b a b b -==+-，
33223
3
33(2)
242b b b a b b b -==++-，
猜想
(2)
2n n n
n
nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，猜想显然成立； ②假设当n k =时，
(2)2k k k
k
kb b a b -=-，则
11
11
(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k
k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--，
所以当1n k =+时，猜想成立， 由①②知，*n N ∀∈，
(2)
2n n n
n
nb b a b -=-．
（２）（ⅰ）当2b =时， 1
1221
2
n n n a ++==+，故2b =时，
命题成立； （ⅱ）当2b ≠
时，22122n
n n n
b
b ++≥=，
21211222n n n n
b b b --+⋅+⋅≥=，
11111,222n n n n n n
b b b +--++⋅+⋅≥=，以上n 个式
子相加得
2212n n b b -+⋅+
111122n n n n b b +--++⋅+⋅+
2121222n n n n
b n b -++⋅+≥⋅， 1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)
n n n n n n n n n n n n
n n n n b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤--
2212121(222)(2)2(2)2(2)
n n n n n n n n n b b b b b b b --++⋅+
+⋅+--⋅-=
-
2121111(2)222(2)
n n n n n n n n n b b b b +++++--⋅+⋅=
-
2111211(2)(22)2(2)
n n n n n n n n n
b b b b +++++-⋅+⋅-=-1
112n n b ++=+．故当2b ≠时，
命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
21．解：（１）000
11
'|()|22
AB
x p x p k
y x p =====，
直线AB 的方程为
200011
()42
y p p x p -
=-，即
20011
24
y p x p =
-，
20011
24
q p p p ∴=
-，方程
20
x px q -+=的判别式
22
04()p q p p ∆=-=-，
两根00
1,2
||22
p p p p x
±-=
=
或0
2
p p -， 00
p p ⋅≥，0
||||||
||2
2
p
p p p ∴-=-，又0
0||||p p ≤≤，
000|
|||||||222p p p p ∴-≤-≤，得0
00||||||
||||2
22
p
p p p p ∴-=-≤，
(,)|
|2
p p q ϕ∴=．
（２）由2
40
a
b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方， ①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则
120
p p >≥，得1
2||||
p
p >；
若
12||||
p p >，显然有点(,)M a b X
∈；
(,)M a b X ∴∈12||||
p p ⇔>．
②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限， 作图可知，若(,)M a b X ∈，则1
2
0p p >>，且1
2||||
p
p >；
若1
2||||
p
p >，显然有点(,)M a b X ∈；
(,)M a b X ∴∈12||||
p p ⇔>．
根据曲线的对称性可知，当
a <时，
(,)M a b X ∈12||||
p p ⇔>，
综上所述，(,)M a b X ∈1
2||||
p
p ⇔>（*）；
由（１）知点M 在直线EF 上，方程2
x
ax b -+=的两根11,2
2
p x
=
或1
2
p a -， 同理点M 在直线''E F 上，方程2
x
ax b -+=的两
根2
1,2
2p x
=
或22
p a -， 若1
(,)||2p a b ϕ=，则1
||2p 不比1
||2p a -、2
||2p 、2
||2p
a -小， 12||||
p p ∴>，又1
2||||p
p >(,)M a b X
⇒∈，
1
(,)|
|2
p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，
(,)M a b X ∈1
(,)|
|2
p a b ϕ⇒=；
1
(,)|
|2
p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证．
（３）联立1y x =-，2
15(1)
44
y x =+-
得交点(0,1),(2,1)-，可
知02p ≤≤，
过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为
2001(,
)4
x x ，则
2
00
01142
x q
x x p -=-，
得20
0240
x
px q -+=
，解得0
x
p =+
又2
15(1)
4
4
q p ≥+-
，即2
442p
q p
-≤-，
0x p ∴≤，
设t
=，
20122x t t ∴≤-++215
(1)22
t =--+
，
max max |
|2
x ϕ=，又0
5
2
x
≤
，max
54
ϕ
∴=
；
1
q p ≤-，0
|2|2
x
p p p ∴≥+=+-=，
min min |
|12
x ϕ∴==．。