2019届天津市河西区高三一模数学(文)试题(解析版)

2019届天津市河西区高三一模数学（文）试题一、单选题
1．设集合，，则（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵集合，
∴，
，
故
故选C.
2．若变量满足约束条件，
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：作出表示的平面区域如图所示：
由图可知，直线过点时，取最大值. 【考点】线性规划.
3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A ．
95
B ．
116
C ．
137
D ．
158
【答案】A
【解析】由题意可知流程图的功能为计算：1111112233445
S =++++⨯⨯⨯⨯的值，据此裂项求和确定输出值即可. 【详解】
由题意可知，流程图的功能为计算：1111112233445
S =++++⨯⨯⨯⨯的值， 故输出的值为111111191122334455
S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项. 【点睛】
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．
4．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立
即可. 【详解】
由2x <可得22x -<<
4可得016x ≤<，
22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，
“2x <”是
4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．设 1.5
31
3
1
log ,,log 4
a e
b e
c ===，则 A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b <<
【答案】D
【解析】先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小. 【详解】
因为 1.5
31
33
1
log (0,1),2,log log 4(1,2)4
a e
b e
c =∈=>==∈，所以b c a >>，选D. 【点睛】
比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小. 6．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
B ．直线8
x π=
需是函数()y f x =图象的一条对称轴
C ．点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8
π
个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D
【解析】先根据配角公式将函数化为基本初等函数，再根据正弦函数性质研究对应性质. 【详解】
()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-∴当2(0,)3x π∈时，132(,)4412
x πππ
-∈，
函数()f x 在区间2(0,)3π
上有增有减， 当8x π
=时，204
x π-=，所以直线π8x =不是函数()y f x =图像的对称轴，
当4x π=时，244x ππ
-=，所以点π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
不是函数()y f x =图像的对称中心，
将函数()y f x =图像向左平移
π
8
个单位，得到
))284
y x x ππ
=+-=，
综上选D. 【点睛】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
7．已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线
2
21x y a -=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 A ．
19 B ．125
C ．15
D ．13 【答案】A 【解析】略
8．如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，0AC BD ⋅=，则AD BC ⋅的值为（ ）
A ．
1513
B ．10
C ．15
D ．1513
-
【答案】B
【解析】由题意可得：2
5
AC AD AB =+
，BD AB AD =-+,结合0AC BD ⋅=可得10AD AB ⋅=，据此以,AD AB 为基向量求解AD BC ⋅的值即可.
【详解】
由题意可得：2
5
AC AD AB =+
，BD AB AD =-+, 由0AC BD ⋅=可得：()
205AD AB AB AD ⎛⎫
+⋅-+= ⎪⎝
⎭
， 即：2
223
055AD AB AD AB -
-⋅=. 据此有：23
16250,1055
AD AB AD AB -⨯-⋅=∴⋅=，
故()
AD BC AD BA AD DC ⋅=⋅++=25AD AB AD AB ⎛
⎫⋅-++
⎪⎝⎭
235AD AB AD =-⋅+=3
1016105
-⨯+=.
本题选择B 选项. 【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
第II 卷（非选择题)
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二、填空题
9．是虚数单位，若复数满足，则
______________.
【答案】 .
【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 详解：∵（3﹣4i ）z=5， ∴（3+4i ）（3﹣4i ）z=5（3+4i ）， ∴25z=5（3+4i ）， 化为z=
i ．
∴z 的虚部为． 故答案为：.
点睛：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．已知函数()ln f x x x =，()f x '为()f x 的导函数，则()f e '的值为_______________. 【答案】2
【解析】由题意可得：()'ln 1f x x =+，据此求解()f e '的值即可. 【详解】
由题意可得：()1
'1ln ln 1f x x x x x
=⨯+⨯=+， 则()'ln 12f e e =+=. 故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，对数的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．如图，在长方体
中，
，
，则四棱锥
的体积为▲ cm3．
【答案】6。

【解析】试题分析：如图，过作于，∵长方体底面是正方形，∴中，，，又由，，∴平面，
∴．
【考点】棱锥体积的计算．
12．已知圆C经过，两点，圆心在x轴上则C的方程为______．
【答案】
【解析】设圆，将坐标代入可得。

13．已知x.>0,y>0,且2x+8y-xy=0则xy的最小值为
【答案】64
【解析】略
14．已知定义在上的函数满足，且，，则方程在区间上的所有实根之和为______________.
【答案】
【解析】【详解】
作函数图象，由图象得
【点睛】
涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
三、解答题
15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，60件，30件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件。

（Ⅰ）应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件，样本容量n 为多少？ （Ⅱ）设抽出的n 件产品分别用1A ，2A ，…，n A 表示，现从中随机抽取2件产品。

（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii ）设M 为事件“抽取的2件产品来自不同车间”，求事件M 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）
2
3
. 【解析】（Ⅰ）由题意结合分层抽样的定义确定n 的值即可； （Ⅱ）（i ）由题意，利用列举法列出所有可能的结果即可；
（ii ）不妨设抽出的7件产品中，来自甲车间的是1A ，2A ，3A ，4A ，来自乙车间的是
5A ，6A ，来自丙车间的是7A ，由题意，列出所有可能的结果，结合古典概型计算公
式可得事件M 发生的概率. 【详解】
（Ⅰ）解：由已知甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4：2：1，由于采用分层抽样的方法乙车间的产品中抽取了2件产品，因此应从甲、丙两个车间分别抽取4件和
1件，样本容量n 为7.
（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7件产品中随机抽取两间产品的所有可能结果为
{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}17,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ， {}25,A A ，{}26,A A ，{}27,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}37,A A ，{}45,A A ，
{}46,A A ，{}47,A A ，{}56,A A ，{}57,A A ，{}67,A A 共21种.
（ii ）解：不妨设抽出的7件产品中，来自甲车间的是1A ，2A ，3A ，4A ，来自乙车间的是5A ，6A ，来自丙车间的是7A ，则从7件产品中抽取的2件产品来自不同车间的所有可能结果为
{}15,A A ，{}16,A A ，{}17,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}27,A A ，{}35,A A ， {}36,A A ，{}37,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}47,A A ，{}57,A A ，{}67,A A ，共14
种.
所以，事件发生的概率为()142
213
P M == 【点睛】
本题主要考查分层抽样的定义与应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1
cos 2
a C c
b +=. （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值. 【答案】（Ⅰ）π
3A =
（Ⅱ）1114
-
【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根
据余弦定理求a ，代入条件求得sin
B =，解得cos B =定理得结果. 【详解】
（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +
=，得1
sin sin sin sin 2
A C C
B +=，又由()sin sin B A
C =+，得1
sin cos sin sin cos cos sin 2
A C C A C A C +=+.
由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π
3
A =.
（Ⅱ）解：在ABC 中，由余弦定理及π4,6,3
b c A ===，
有2222cos a b c bc A =+-，故a =
由sin sin b A a B =得sin
B =
b a <，故cos B =
因此sin22sin cos B B B ==
2
1cos22cos 17B B =-=.
所以()11cos 2cos cos2sin sin214
A B A B A B +=-=-. 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
17．如图，已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AD ⊥，BC AC ⊥，BD=3，AD=1，AC=BC ，M 为线段AB 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACD ；
（Ⅱ）求异面直线MD 与BC 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线MD 与平面ACD 所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
3
；（Ⅲ）3. 【解析】（Ⅰ）由题意结合几何关系可得AD BC ⊥，结合AC BC ⊥，和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
（Ⅱ）取AC 中点N ，连接MN ，DN ，易知NMD ∠（或其补角）为异面直线MD 与BC 所成的角，据此结合几何性质可得异面直线MD 与BC 所成角的余弦值.
（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知MDN ∠为直线MD 与平面ACD 所成的角，据此可得线面角的余弦值. 【详解】
（Ⅰ）∵平面ABD ⊥平面ABC 于AB ，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥平面ABC ，
∴AD BC ⊥，又AC BC ⊥，AD AC A ⋂=， ∴BC ⊥平面
ACD.
（Ⅱ）取AC 中点N ，连接MN ，DN ， ∵M 是AB 中点， ∴MN
BC ，
∴NMD ∠（或其补角）为异面直线MD 与BC 所成的角， 由（Ⅰ）知BC ⊥平面ACD ， ∴MN ⊥平面ACD ，MN ND ⊥， 在Rt MND 中，1
12
MN BC =
=
，MD ==
∴3
MN cos NMD MD ∠=
=
， 即异面直线MD 与BC
（Ⅲ）由（Ⅱ）MDN ∠为直线MD 与平面ACD 所成的角，在Rt MND
中，
ND ==
∴ND cos MDN MD ∠===
. 【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，异面直线所成的角的求解，线面角的余弦值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+， {}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令()
()
1
12n n n n
n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得
()1
312
n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T . 试题解析：（1）由题意知当2n ≥时， 165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时， 1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ， 由112223
{
a b b a b b =+=+，即11112{
1723b d
b d
=+=+，可解得14,3b d ==，
所以31n b n =+．
（2）由（1）知(
)()
()1
16631233n n n n
n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341
322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，
()3452
2322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦
，
两
式
作
差
，
得
()][()
()234122
2
4213222221234123221n
n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅-⎢⎥⎣⎦所以2
32n n T n +=⋅．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b
+=>>的
左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .
（1）若点C 的坐标为41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
，且2BF ，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥求椭圆离心率e 的值.
【答案】（1）2
212x y +=；（2）12
．
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程,,a b c 的关系式，求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）求出点C 的坐标，利用1F C AB ⊥建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值.
试题解析：设椭圆的焦距为2c ，则()()12,0,,0F c F c -. （1）
(
)20,,B b BF a ∴==
，又2BF =,
故a =点41,33c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆上，22161
991a b
∴+=，解得2
1b =,故所求椭圆的方程为2212x y +=. （2）()()20,,,0B b F c 在直线AB 上，∴直线AB 的方程为1x y
c b
+=,
解方程组22
221{1x y c b
x y a b
+=+=得
∴点A 的坐标为
(
)22
222222,b c a a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝
⎭
,
又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为(
)22
22
2222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝
⎭
，
直线1F C 的斜率为
(
)()()
22
22
2
2
22222
23b a c b a c a c a c a c c
c a c ---+=+--+，
直线AB 的斜率为b
c -，且1F C AB ⊥，(
)2222
13b a c b a c c c -⎛⎫∴
⋅-=- ⎪
+⎝⎭
,又2
22b
a c =-，
整理得225a c =,故2
15e =
，因此e =
. 【考点】椭圆的定义及标准方程；椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程、椭圆的简单的几何性质的求解，熟练掌握椭圆的标准方程的求解及直线垂直和斜率间的关系是解答问题的关键，试题运算量大，需要认真、细致运算，平时注意积累和总结，属于中档试题，本题的解答中，把直线AB 的方程为1x y
c b
+=，与椭圆的方程联立，求解,A C 点的坐标是试题的一个难点.
20．已知函数，(
为常数)
(1)若 ①求函数在区间上的最大值及最小值。

②若过点可作函数的三条不同的切线，求实数的取值范围。

(2)当
时，不等式
恒成立，求的取值范围。

【答案】（1）①
；②
；（2）。

【解析】(1)①利用导数求出函数的最值；②设曲线
切线的切点坐标为
，则
，故切线方程为
，
因为切线过点，所以
有三个不同的解；
（2）不等式等价于，令
，明确函
数
的最值，对a 分类讨论，即可得到结果。

【详解】 (1)因为，所以，从而。

①令，解得或
，列表：
所以，，。

②设曲线切线的切点坐标为，则，
故切线方程为，
因为切线过点，所以，
即，
令，则，
所以，当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，，
要使过点可以作函数的三条切线，则需，解得。

（2）当时，不等式等价于，
令，则，
所以，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，故。

若，则，此时；
若，则，从而；
综上可得。

【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了导数的几何意义，考查了数形结合与分类讨论的思想方法，属于中档题.。