高中数学 立体几何中的最值解法

高中数学 立体几何中的最值问题
一、考情分析
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．
二、经验分享
1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：
(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.
(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.
(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关
系求解：如ab b a ≥+2
22
2
b
a a
b +≤
最小角定理所建立的不等关系等等. (4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易. (5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.
除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内
涵与思想方法所在.
2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解
3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径
三、题型分析
(一) 距离最值问题
1.空间中两点间距离的最值问题
【例1】正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1,
M 、N 分别在线段11A C 与BD 上,求MN 的最小值.
由正方体的棱长为1可得1PQ =.
连结AC ,则11//AC AC ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角. 在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以90BQC ∠=.
过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且1MH PQ ==. 设PM m =,QN t =,则QH m =.
在Rt QNH ∆中,2
2
2
2
2
HN QN QH n m =+=+, 在Rt MHN ∆中,2222221MN MH HN n m =+=++. 显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.
【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.学科#网
【小试牛刀】【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,是坐标原点,有一棱长为的正方体,和分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
2.几何体表面上的最短距离问题
【例2】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长均为2,M 为AA 1中点,N 为BC 的中点,则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.
【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为平面内两点间距离的最小值问题求解.注意两种不同的展开方式的比较.
【解析】 (1)从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AA 1剪开,并展开, 则22MN AM AN =
+221(21)10=++=(2)从底面到N 点,沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开,如图2.
则222cos120MN AM AN AM AN =
+-⋅︒
图（1）图（2）
【点评】求解几何体表面上的最短距离问题,往往需要将几何体的侧面或表面展开,将问题转化为平面图形中的最值,进而利用平面几何中的相关结论判断并求解最值.如【典例2】中就是利用了平面内两点间线段最短来确定最值,但要注意几何体表面的展开方式可能有多种,求解相关最值时,需要比较才能得到正确结论.
【小试牛刀】【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】在侧棱长为的正三棱锥
中,,过作截面,交于,交于,则截面周长的最小值为__________．
【答案】6
【解析】将棱锥的侧面沿侧棱展开,如图,的长就是截面周长的最小值,由题意,由等腰三角形的性质得.
(二) 面积的最值 1.旋转体中面积的最值
【例3】一个圆锥轴截面的顶角为
56
π
,母线为2,过顶点作圆锥的截面中,最大截面面积为 . 【分析】本题是截面问题中的常见题,应根据几何体的结构特征确定截面形状,然后求解截面的数字特征,进而确定其最值.
【点评】由圆锥的性质可知,过圆锥顶点的截面一定是等腰三角形,且腰长等于圆锥的母线长,该等腰三角形的顶角的最大值为轴截面的顶角,所以截面面积的最大值取决于轴截面顶角的取值范围,不能误认为轴截面的面积就是最大值.
【小试牛刀】圆柱轴截面的周长l 为定值,求圆柱侧面积的最大值. 【解析】设圆柱的底面直径为d ,高为h . 则由题意得：2()d h L +=. 所以1
2
d h L +=
. 而圆柱的侧面积为2S rh dh ππ==.
由均值不等式可得2
()2
d h dh +≥,即216L dh ≤
（当且仅当d h =时等号成立）. 所以圆柱侧面积为216
S dh L π
π=≤,即圆柱侧面积的最大值为
216
L π
.
2.多面体中的面积最值
【例4】如图中1所示,边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5的三角形简易遮阳棚,其A 、B 是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问：遮阳棚ABC 与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD 面积最大?
【分析】首先分析几何体的结构特征,明确遮影面ABD中的定值——AB,则所求最值问题转化为该边上的高
中AB上的高建立联系,从而确定最值.
的最值,进而根据已知——太阳光的照射角度将其与ABC
【点评】求解几何体中的面积最值,首先要明确所求图形面积的表示式,区分该图形中的定值与变量,然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.如该题中抓住QD的变化,建立与已知——太阳光的照射角的关系是准确确定最值的关键所在.学￥科网
【小试牛刀】在三棱锥A—BCD中,ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形,求三棱锥的全面积的最大值.
(三) 体积的最值问题
【例5】如图3,已知在∆ABC 中,∠=︒C 90,PA ⊥平面ABC,AE PB ⊥于E,AF PC ⊥于F,AP AB ==2,∠=AEF θ,当θ变化时,求三棱锥P AEF -体积的最大值
.
图3
【分析】θ的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的,要求三棱锥P-AEF 的体积,则需找到三棱锥P-AEF 的底面积和高,高为定值时,底面积最大,则体积最大.
【解析】因为PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,所以PA BC ⊥
又因为BC AC PA AC A ⊥⋂=,,所以BC ⊥平面PAC,又AF ⊂平面PAC,所以BC AF ⊥,
又AF PC PC BC C ⊥⋂=,,所以AF ⊥平面PBC,即AF EF ⊥.EF 是AE 在平面PBC 上的射影,因为AE PB ⊥,所以EF PB ⊥,即PE ⊥平面AEF.在三棱锥P AEF -中,AP AB AE PB ==⊥2,, 所以PE AE =
=22,,
AF EF V S PE
P AEF AEF ===⋅=⨯⨯⋅⨯-221
3131
2
222sin ,cos sin cos θθθθ，
∆
=
2
6
2
sinθ,因为0
2
<<
θ
π
,所以02021
<<<≤
θπθ
，sin
因此,当θ
π
=
4
时,V
P AEF
-
取得最大值为
2
6
. 学.科网
【点评】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【小试牛刀】【2017安徽省黄山市上学期期末质量检测】在棱长为6的正方体中,是中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是（）A. 36 B. C. 24 D.
【答案】B
(四) 角的最值
【例6】如图,在四棱锥S －ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面
ABCD,AB垂直于AD和BC,SA =AB=BC =2,AD =1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为错误!未找到引用源。

,求sin错误!未找到引用源。

的最大值,
【分析】直接根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标和向量坐标,利用向量运算进行证明计算即可.
【解析】
当错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

时,错误!未找到引用源。

.
【小试牛刀】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是A1B1上的一动点,平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β,试求α+β的最大值和最小值.
解析：如图.对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1,其交线为EF.过P作PQ⊥EF于Q,则PQ⊥对角面ABC1D1.分
别连PE 、PF.∵EF ⊥AD 1,PE ⊥AD 1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ ＝α,学科&网
五、迁移运用
1.【2018北京市首师附高三理零模】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A.
124 B. 112 C. 16 D. 1
2
【答案】A
2.【2018年江西省抚州市高三八校联考】如图，在长方体中，,,，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界).若平面，则线段长度的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取中点，在上取点，使得，连结，
则平面平面，
因为是侧面内的一动点（含边界），平面，
所以，
3.如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－QEF的体积()
A. 是变量且有最大值
B. 是变量且有最小值
C. 是变量且有最大值和最小值
D. 是常量
【答案】D
【解析】因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，
∴△QEF的面积为定值，设为S．
又D1C1∥AB，D1C1 平面QEF ，AB⊂平面QEF，
∴D1C1∥平面QEF，
∴点P到平面QEF的距离也为定值，设为d．
∴四面体P－QEF的体积为定值1
3
Sd．选D．学%科%网
4. 【2017届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三上学期期末】若一条直线与一个平面成角,则这条直
线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当这个平面内经过斜足的直线与这条直线在这个平面内射影垂直时, 直线与这条直线垂直,所成角为直角,而两直线所成角范围为,所以直线与这条直线所成角最大值为,所以选B.学科.网
5.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】三棱锥内接于半径为的球中,,则三棱锥的体积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
6.【2017学年安徽省黄山市高二上学期期末质量检测】在棱长为6的正方体中,是中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是（）
A. 36
B.
C. 24
D.
【答案】B
【解析】试题分析：因平面,则,同理平面,则
,,则,,则,下面研究点在面
的轨迹（立体几何平面化）,在平面直角坐标系内设,设,因为,所以,化简得：,该圆与的交点纵坐标最大,交点为,三棱锥的底面的面积为18,要使三棱锥体积最大,只需高最大,当在上切时,棱锥的高最大,,.,本题应选.
7.【2017湖北省武汉市第二中学上学期期末】如图,在四棱锥中,侧面是边长为4的正三角形,底面为正方形,侧面⊥底面,为底面内的一个动点,且满足,则点到直线
的最短距离为()
A. B. C. D.
【答案】C
8．【2017届浙江省温州市高三第二次模拟考试】如图,在三棱锥中,平面平面,与均为等腰直角三角形,且,．点是线段上的动点,若线段上存在点,使得异面直线与成的角,则线段长的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
9．【2016浙江省杭州二中】已知各棱长均为1的四面体ABCD 中, E 是AD 的中点,P ∈直线CE,则|BP|＋|DP|的最小值为（ ）
A ．1＋
63 B ．613+ C ．13
2
+ D ．132+
【答案】B
【解析】如图,将CDE ∆旋转至与BCE ∆共面,连结BD ,则它与CE 的交点P ,即为使|BP|＋|DP|取最小值的点．
易知31
1,,902
BE CE BC DE DEC ==
==∠= , 在BCE ∆中由余弦定理得2221
cos 23
BE CE BC BEC BE CE +-∠==⋅ ,
从而由平方关系得
22 sin
3
BEC
∠=,
在BDE
∆中由余弦定理得
22222
3131226
2cos(90)()()2()1
222233
BD DE BE DE BE BEC
=+-⋅+∠=+-⋅⋅-=+,
所以
6
1
3
BD=+．学%科&网
P
B
C
E
D
10．【2016辽宁师大附中】在长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中,2
=
AB,1
1
=
=AA
BC,点M为
1
AB的中点,
点P为对角线
1
AC上的动点,点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合）,则PQ
MP+的最小值为（）
A．
2
2
B．
2
3
C．
4
3
D．1
【答案】C
11.已知四棱锥错误!未找到引用源。

的三视图如图所示,则四棱锥错误!未找到引用源。

的四个侧面中面积最大的是（ ）
A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

2
2
2
俯视图
侧视图
正视图43
3
图1
2
【答案】 C
【解析】三棱锥如图所示,错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

,
错误!未找到引用源。

,
错误!未找到引用源。

D 2
5
2
2
2
3
3
C
B
A
P
N
M
12.两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( ) A ．(6－33)π B ．(8－43)π C ．(6＋33)π
D ．(8＋43)π
【答案】A
13.【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________． 【答案】23
【解析】[Failed to download image :如图，不妨设N 在B 处， AM h CQ m ==， ，
则有2
2
2
2
2
2
44
4MB h BQ m MQ h m =+=+=-+，，（） 由2
2
2
2
20MB BQ MQ m hm =+⇒-+=． 22808h h =-≥⇒≥ 该直角三角形斜边2423MB h =+≥． 故答案为23. 学%科%网
14.【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】表面积为的球面上有四点,
且
是边长为
的等边三角形,若平面平面
,则三棱锥
体积的最大值是__________．
【答案】
15．【2016届辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】如图,在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各有一个动点,P Q ,且满足1A P BQ =,M 是棱CA 上的动点,则
111M ABQP
ABC A B C M ABQP
V V V ----的最大值是 ．
【答案】
12
16．【2016届广东省广州市荔湾区高三上学期调研】已知直三棱柱111ABC A B C -中,090BAC ∠=,侧面
11BCC B 的面积为2,则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．
【答案】4π
【解析】根据题意,设2BC m =,则有11BB m
=,从而有其外接球的半径为2
2
114R m m =+≥,所以其比表面积的最小值为4S π=．
17．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形,球心O 到平面ABC 的距离为
3,若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值
为 ．
【答案】27
18.如图,过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC,(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.
【解析】(1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1,∵PA ⊥PB,
∴AB 是⊙O 1的直径,连PO 1并延长交⊙O 1于D,则PADB 是矩形,PD 2＝PA 2+PB 2. 设O 为球心,则OO 1⊥平面⊙O 1,学&科&网 ∵PC ⊥⊙O 1平面,
∴OO 1∥PC,因此过PC 、PD 的平面经过球心O,截球得大圆,又PC ⊥PD. ∴CD 是球的直径.
故 PA 2+PB 2+PC 2＝P D 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.
(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z,则三棱锥P —ABC 的体积V ＝
6
1
xyz, V 2＝
361x 2y 2z 2≤361(3222z y x ++)3＝361·27646R ＝543
2R 6
.
∴V≤
2734R 3.即 V 最大＝27
34R 3
. 19.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,AB ＝2,BD ＝2,沿BD 将△BCD 折起,使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角,设C 在平面ABD 上的射影为O .
(1)当α为何值时,三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？
(2)当AD⊥BC时,求α的大小．
20. 如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB＝2,EB＝ 3.
(1)求证：DE⊥平面ACD；
(2)设AC＝x,V(x)表示三棱锥B－ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值．。