《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《诱导公式（第二课时）》教学设计

1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（

2

π

±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．

2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．

教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、

化简与恒等式的证明．

教学难点：诱导公式的有效识记和应用．

PPT 课件．

资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图

（一）新知探究

引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．

问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．

预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．

预设答案：

（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点

◆ 教学过程

◆ 课前准备

◆ 教学重难点 ◆

◆ 教学目标

图2

P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？

解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2

π

－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角

2

π

－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2

π

－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？

解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2

π

＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2

π

＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角

2

π

＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2

π

＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函

sin （2

π

＋α）＝cos α， cos （

2

π

＋α）＝－sin α． sin （2

π

－α）＝cos α， cos （

2

π

－α）＝sin α．

图4

数值之间有什么关系？

解：略．

★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识

★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．

注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2

π

＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？

预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．

预设答案：角α的终边旋转

2π角，就得到角2

π

＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．

问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，

那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个

环节用到这两组公式？

预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．

预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．

设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．

例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭

⎫

⎝⎛+α2π3＝sin α． 例4 化简：

()()()()()⎪

⎭

⎫

⎝⎛+----⎪

⎭⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：

例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π＝－cos α； （2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫

⎝⎛+α2π＝sin α． 例4 解：原式＝

()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2

ππ5cos sin cos sin

图5