山西省晋中市榆次区第一职业中学2018年高三数学理模拟试卷含解析

山西省晋中市榆次区第一职业中学2018年高三数学理
模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则B的大小为（）
A．30° B．60° C. 120° D．150°
参考答案：
D
2. 已知函数，若有且仅有两个整数，使得
，则a的取值范围为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
设g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，
则g′（x）=e x（3x+2），
∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴x=﹣，取最小值﹣3，
∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），
g（1）﹣h（1）=2e＞0，
因为直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a≤0，
∴a≤，
g（﹣2）=，h（﹣2）=﹣3a，
由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得a≥.
综上所述，的取值范围为.
故选B.
3. 已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0
C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0
参考答案：
D
【考点】函数单调性的性质．
【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．
【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，
对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；
对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；
对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；
对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．
故选D
4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数：
①；②；
③；④.
其中“同簇函数”的是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【解析】若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简
①，③，所以②③振幅相同，所以选C.
参考答案：
若为“同簇函数”，则振幅相同，将函数进行化简①，
③，所以②③振幅相同，所以选C.
【答案】C
5. 若，则（）
A．B．C． D．
参考答案：
D
6. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为
的导函数）.则在上零点的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
D
7. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A 48 B．32十
C．48 + D． 80
参考答案：
8. 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如下图所示，则数据在[50,70)的频率约为( )
（A）0.25 （B）0.05
（C）0.5 （D）0.025
参考答案：
B
9. 若，则
A． B． C．
D．
参考答案：
B 【解析】，故选B。

10. 在△ABC中，，，△的面积为，则边的值为
A．B．C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题：
①函数在上是减函数；
②点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧；
③；
④数列为递减的等差数列，，设数列的前n项和为，则当
时，取得最大值；
⑤定义运算则函数的图象在点处的切线方程是
其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）.
参考答案：
②③⑤
12. 已知向量，则向量与向量的夹角是__________.
参考答案：
13. 从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系
数，则使得的概率为．
参考答案：
14. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。

若任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，则的期望是________
参考答案：
2.7
15. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则= ．
参考答案：
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】=，可得3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．再利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵=，∴3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．
则==．
故答案为：．
16. 已知集合则= ．
参考答案：
{1,4}
17. 如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设等差数列的前项和为，且，，
（1）求等差数列的通项公式.
（2）令，数列的前项和为，证明：对任意，都有.
参考答案：
（1）；（2）证明见解析．
试题分析：（1）用首项，公差表示出已知条件，并解出，由等差数列通项公式可得；（2）由（1）得，由此可求得
，利用函数的单调性可证明结论．
考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列与不等式的综合．
19. 在△ABC中，已知AB=2，AC=，BC=8，延长BC到D，延长BA到E，连结DE。

⑴求角B的值；
⑵若四边形ACDE的面积为，求AE·CD的最大值。

参考答案：
解：⑴由余弦定理得：
所以B=。

………………………………………4分
⑵设AE=x,CD=y则
∵
∴
∴
∴∴
∴当且仅当时，等号成立。

所以AE·CD的最大值为9。

………………………………………12分
略
20. (本小题满分12分) 如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）．PA//平面BDE；（2）．平面PAC平面BDE．
参考答案：
证： (1) 连接AC、OE，AC BD=O，………… (1分)
在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA // EO，…… (3分)
又∵EO 平面EBD ，PA 平面EBD，∴PA //BDE．………… (6分)
（2）∵PO底面ABCD，∴PO BD．………… (8分)
又∵BD AC，∴BD平面PAC．………… (10分)
又BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE．………… (12分)
21. （本小题满分12分）
已知函数，是的导函数.
（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（II）若，求的值.
参考答案：
解：（1），………………1分
………………3分
所以
，………………4分
解，得（）
单调递增区间为（）………………6分（2），即………………8分
…………12分
22. 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的
延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，
DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
参考答案：
略。