八年级第4讲：菱形的性质与判定

初二数学寒假讲义4-------菱形的性质及判定
一、基本知识点
1、定义：_________________________________________________.
2、性质：（1）边：___________________________ （2）角：___________________________ （3）对角线：___________________________ （4）对称性：___________________________
3、菱形的判定方法:
（1）___________________________ （2）___________________________ （3）___________________________
4、面积:设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=______；
若菱形的两对角线的长分别为a ，b ，则S 菱形=_______ 二、基本思路
1、菱形中，对角线互相垂直且平分且邻边相等，形成直角三角形和等腰三角形，勾股定理以及等腰三角形的性质及等腰三角形的三线合一是常考查的.
2、菱形的常用判定方法：（1）先证明四边形ABCD 为平行四边形，再得到__________________; （2）先证明四边形ABCD 为平行四边形，再得到___________________; （3）证明___________________,直接证明是菱形.
【问题探究】
知识点1. 菱形的概念
例1．如图，矩形ABCD 对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE 、DE 交于E ，求四边形DOCE 是菱形。

知识点2. 菱形的性质
例2．如图：在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别为a 、b ，AC 、BD 相交于点O.
⑴用含a 、b 的代数式表示菱形ABCD 的面积S ； ⑵若a=3cm ，b=4cm ，求菱形ABCD 的面积和周长.
A B C
E
D
O
知识点3. 菱形的判定方法：
例3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
四边形AFCE是菱形吗？为什么？
例4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB 交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．
例题5：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，
连接BE、CF．
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．
知识点4.菱形的简单应用：
例6．如图，两条等宽的矩形纸条倾斜地重叠着，你认为重叠部分ABCD是什么样的一个四边形？
请动手叠一叠，并说明理由。

【基础过关】
选择题：
一、填空题：
解答题：
16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）
【菱形的判定方法】
选择题：
9、
9、（2016•长沙）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求平行四边形ABCD的面积．
10、如图、在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
求证：四边形AEDF是菱形。

11、如图、在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，
AE与BF交于点P，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形。

12、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD。

（1）求证：四边形ABCD是菱形
（2）如果两张矩形纸片的长度都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或者最小值？
如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由。