2020-2021学年江苏省连云港市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. “∀x ∈R ，x 2+x +1>0“的否定是( )
A. ∃x 0∈R ，x 02
+x 0+1>0
B. ∃x 0∈R ，x 02
+x 0+1≤0
C. ∀x ∈R ，x 2+x +1>0
D. ∀x ∈R ，x 2+x +1≤0
2. 函数y =x +16
x+2，x ∈(−2,+∞)的最小值是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
3. “x 2>1”是“x >2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星
波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置(信号装置安装在抛物线的焦点处).已知接收天线的口径(直径)为5 m ，深度为1 m ，则信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为( )
A. 25
16m
B.
258
m
C.
254
m
D. 5
4m
5. 已知空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)，向量a
⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，则|a ⃗ |=( ) A. 4 B. 2√2 C. 2 D. √3
6. 某港口在一天24 ℎ内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h ；0≤t ≤24)的变化
近似满足关系式S(t)=3sin(π
12t +5
6π)，则17点时潮水起落的速度是( )
A. π
8m/ℎ
B. √2π8m/ℎ
C. √3π8
m/ℎ
D. π
4m/ℎ
7. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100
个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7是较小的两份之和，则最大的一份为( )
A.
1153
B.
1183
C.
1213
D.
1243
8. 已知函数f(x)=lnx x
−a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A. (0,e)
B. (−∞,e)
C. (0,1
e )
D. (−∞,1
e )
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知曲线C ：mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若m >0，n >0，则曲线C 是椭圆
B. 若m >n >0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆
C. 若m >0>n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线
D. 曲线C 可以是抛物线
10. 已知正数a ，b 满足a +2b =1，则下列说法正确的是( )
A. 2a +4b 的最小值是2√2
B. ab 的最小值是1
8 C. a 2+4b 2的最小值是1
2
D. 1
a +1
b 的最小值是4√2
11. 据美国学者詹姆斯⋅马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到
2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度.因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习.已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是( )
A. 2006年底人类知识总量是2a
B. 2009年底人类知识总量是8a
C. 2019年底人类知识总量是213a
D. 2020年底人类知识总量是218a
12. 下列曲线中，与直线l ：2x −y +3=0相切的是( )
A. 曲线C 1：y 2=24x
B. 曲线C 2：y =ln2x +4
C. 曲线C 3：x 2
−
y 24
=1
D. 曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2
三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 函数y =(x +1)e x 的最小值是______ 14. 以椭圆
x 28
+
y 25
=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为______．
15. 已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1，则数列{1
a n
}的前100项和为______ ．
四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，
D 1D ，DA 各棱的中点，则直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为 ；若P ，
Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为．
五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在①S8=72，②S5=6a2，③S6=S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问
题中，并完成解答．
问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=6，______，若数列{b n}满足b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．
18.已知m，n，a∈R，函数f(x)=x3−3x2的单调递减区间A=[m,n]，区间B=[2a−
1,a+3]．
(1)求m和n的值；
(2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．
19.已知直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点．
(1)若直线l的斜率为−1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
20.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q
分别为A1B1，BC的中点．
(1)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；
(2)求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦
值．
21.已知椭圆M：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点为F(−1,0)，且椭圆M过点T(1,3
2
)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ 面积的最大值．
22.已知函数f(x)=x2+bx+c，g(x)=lnx．
(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，求函数ℎ(x)的单调递增区间；
(2)当b=−1，c>0时，求证：与函数f(x)，g(x)图象都相切的直线l有两条．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴“∀x∈R，x2+x+1>0“的否定是：
∃x0∈R，x02+x0+1≤0，
故选：B．
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题和特称命题的否定形式，比较基础．
2.【答案】B
【解析】解：函数y=x+16
x+2=x+2+16
x+2
−2≥2√(x+2)16
x+2
−2=6，当且仅当x+
2=4，即x=2时，取等号；
故选：B．
利用基本不等式即可求解最小值．
本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质即可求解，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由x2>1，得x<−1或x>1，
由x>2，得x2>4>1．
∴“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．
故选：B．
由x2>1，得x<−1或x>1，不一定有x>2；反之，由x>2，可得x2>1，可知“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．
本题考查充分条件，必要条件及其判定方法，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：如图建立直角坐标系：
所以A(1,5
2)
设抛物线的方程为y 2=2px(p >0)， 由点A 在抛物线上，得25
4=2p ， 解得p =
258
，
即p
2=25
16，
所以信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为25
16m ， 故选：A ．
先设出抛物线的方程，将点(1,5
2)代入抛物线的方程求得p ，即可得出结果． 本题考查抛物线在实际中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,3),AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3,2)， 因为向量a ⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直， 所以{a
⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m +1+3n =0a ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m +3+2n =0，解得m =−1，n =−1， 所以a ⃗ =(−1,−1,−1)， 故|a ⃗ |=√3． 故选：D ．
利用空间中点的坐标，分求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，列出关于m ，n 的方程组，求出m ，n ，得到a
⃗ 的坐标，利用模的计算公式，即可得到答
案．
本题考查了空间向量的坐标运算、空间向量垂直的充要条件、空间向量模的求解，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，S(t)=3sin(π
12t+5
6
π)，则其导数S′(t)=π
12
×3×cos(π
12
t+
5 6π)=π
4
cos(π
12
t+5
6
π)，
则有S′(17)=π
4cos(17π
12
+5
6
π)=√2π
8
，
故17点时潮水起落的速度是√2π
8
m/ℎ，
故选：B．
根据题意，求出函数的导数，计算S′(17)的值，由导数的定义即可得答案．
本题考查导数的定义以及计算，关键是掌握导数的定义，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d，
则由题意可得x+(x+d)+(x+2d)+(x+3d)+(x+4d)=100，
且1
7
[x+(x+d)+(x+2d)]=(x+3d)+(x+4d)，
所以x=115
3
，
故选：A．
设最大的一份为x，由题意利用等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式，求出它的最大项．
本题主要考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：若函数f(x)=lnx
x
−a有两个不同的零点，
则y=a和g(x)=lnx
x
的图象有2个不同交点，
由g′(x)=1−lnx
x2
>0，解得：0<x<e，令g′(x)<0，解得：x>e，
故g(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，
故g(x)max=g(e)=1
e
，
x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→0，
故a的取值范围是(0,1
e
)，
故选：C．
问题转化为y=a和g(x)=lnx
x
的图象有2个不同交点，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．9.【答案】BC
【解析】解：曲线C：mx2+ny2=1(m,n∈R)，
当m=n>0时，曲线C是圆，故A错误；
若m>n>0，则曲线mx2+ny2=1化为x 2
1 m +y21
n
=1，1
n
>1
m
>0，是焦点在y轴上的
椭圆，故B正确；
若m>0>n，则曲线mx2+ny2=1化为x 2
1 m −y2
−1
n
=1，是焦点在x轴上的双曲线，故C
正确；
曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D错误．
故选：BC．
由椭圆、双曲线及抛物线的方程逐一分析四个选项得答案．
本题考查圆锥曲线的方程及特征，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．10.【答案】AC
【解析】解：选项A：2a+4b=2a+22b≥2√2a⋅22b=2√2a+2b=2√2，
当且仅当2a=22b，即a=1
2,b=1
4
时取等号，此时2a+4b的最小值为2√2；故A正确，
选项B：因为a+2b=1≥2√a⋅2b=2√2ab，解得ab≤1
8
，当且仅当a=2b，即a=
1 2,b=1
4
时取等号，
此时ab 的最大值为1
8，故B 错误，
选项C ：因为a +2b =1，所以a 2+4b 2+4ab =1， 所以ab =
1−(a 2+4b 2)
4
≤18，
解得a 2+4b 2≥12，当且仅当a =2b ，即a =12,b =1
4时取等号，故C 正确，
选项D ：1
a +1
b =(1
a +1
b )(a +2b)=3+a
b
+
2b a
≥3+2√a b ⋅
2b a
=3+2√2，
当且仅当a =√2b 时取等号，此时1
a +1
b 的最小值为3+2√2，故D 错误， 故选：AC ．
利用基本不等式的性质对应各个选项逐个求解即可．
本题考查了基本不等式的性质以及应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：选项A ：2006年底人类知识总量为a ×2×2=4a ，故A 错误， 选项B ：2009年底人类知识总量为a ×2×2×2=8a ，故B 正确， 选项C ：2019年底人类知识总量为8a ×210=213a ，故C 正确， 选项D ：2020年底人类知识总量为213a ×25=218a ，故D 正确， 故选：BCD ．
根据题干中给的条件对应各个选项逐个进行求解即可．
本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了学生对题干的理解能力，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A ，{2x −y +3=0
y 2=24x ，消去y 得：4x 2−12x +9=0，
则△=(−12)2−4×4×9=0， 则直线与曲线相切，故选项A 正确；
对于B ，y =ln2x +4，则y′=1
x ，令1
x =2，解得x =1
2， 代入直线方程可得切点为(1
2,4)，
满足在y =ln2x +4上，故直线与曲线相切，故选项B 正确； 对于C ，曲线C 3：x 2−
y 24=1的一条渐近线为：y =2x 与直线l ：2x −y +3=0平行，
所以直线l 与曲线相交于一点，故不相切，故选项C 不正确； 对于D ，曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2，则y′=6x 2−10x +6， 令6x 2−10x +6=2，解得x =2
3或1，
当x =2
3时，代入直线可得切点为(23,133)，不满足在曲线上，
当x =1时，代入直线可得切点为(1,5)，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故选项D 正确． 故选：ABD ．
对于A ，联立直线与曲线方程，利用判别式可判断；对于B ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足；对于C ，根据直线与渐近线平行可判断；对于D ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足．
本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法是：若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线的方程，利用判别式判断，若曲线是函数曲线，可通过求导进行判断，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由y =(x +1)e x ，得y′=(x +2)e x ； 当x <−2时，y′<0， 当x >−2时，y′>0，
所以函数y =(x +1)e x 在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增； 所以当x =−2时，函数y =(x +1)e x 有最小值−1
e 2； 故答案为：−1
e 2．
求出函数y =(x +1)e x 的导数，进一步求出函数y =(x +1)e x 的单调区间，得到函数y =(x +1)e x 的最小值；
本题考查函数最值，考查利用函数导数分析函数单调性从而得到函数最值，属于基础题．
14.【答案】
x 23
−
y 25
=1
【解析】解：∵椭圆方程为：
x 28
+
y 25
=1，
∴其焦点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，
顶点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，
∴双曲线的焦点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，顶点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，
∴双曲线方程：x2
a2−y2
b2
=1中a=√3、c=2√2，
∴b2=c2−a2=8−3=5，
∴双曲线方程：x2
3−y2
5
=1，
故答案为：x2
3−y2
5
=1．
通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=√3、c=2√2，进而计算可得结论．本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．
15.【答案】200
101
【解析】解：由题意，可得a1=1，
a2−a1=2，a3−a2=3，…，a n−a n−1=n，
各项相加，可得a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)
2
，
∴1
a n =2
n(n+1)
=2(1
n
−1
n+1
)，
∴
1
a1
+
1
a2
+⋯+
1
a100
=2×(1−
1
2
)+2×(
1
2
−
1
3
)+⋯+2×(
1
100
−
1
101
) =2×(1−
1
2
+
1
2
−
1
3
+⋯+
1
100
−
1
101
)
=2×(1−
1
101
)
=200
101
．
故答案为：200
101
．
本题先运用累加法计算出数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{1a
n
}的通项公式，最
后运用裂项相消法计算出数列{1a
n
}的前100项和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16.【答案】π
2
13
【解析】 【分析】
本题考查了空间角的求解，对于空间角问题，经常会选用空间向量法求解，即建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量之间的关系进行研究，属于中档题． 以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，分别求出所需点的坐标，证明A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得到直线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可得到线面角；利用待定系数法求出平面EFGHKL 的法向量，求出直线D 1B 的方向向量，利用线面角的计算公式求出线面角，分析可得直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，从而得到答案． 【解答】
解：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体的棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,1，0)，C(0,2，0)，G(1,2，2)，
所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，
所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2−4=0， 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
故A 1C ⊥EF ，A 1C ⊥EG ，又EF ∩EG =E ，EF ，EG ⊂平面EFGHKL ， 所以A 1C ⊥平面EFGHKL ，
故直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为π
2； D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，
所以D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)， 设平面EFGHKL 的法向量为n
⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y +z =0−x +y +2z =0，令y =1，则x =−1，z =−1，
所以n
⃗ =(−1,1,−1)， 设直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，
则sinα=|cos <D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⋅n ⃗⃗ ||D 1
B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√12×√
3=1
3
， 因为直线PQ ⊂平面EFGHKL ，
所以直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角， 所以sinθ=1
3． 故答案为：π
2；13．
17.【答案】解：方案一：选条件①
由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， 则{a 1+2d =6
8a 1+28d =72， 解得{a 1=2d =2
，
∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =22n =4n ，n ∈N ∗，
∴数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴T n =
4−4n+11−4
=4
3
(4n −1)．
方案二：选条件②
由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， 则{a 1+2d =65a 1+10d =6(a 1+d)， 即{a 1+2d =6a 1+d =5， 解得{a 1=4d =1
，
∴a n =4+1×(n −1)=n +3，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =2n+3=16×2n−1，n ∈N ∗， ∴数列{b n }是以16为首项，2为公比的等比数列， ∴T n =
16×(1−2n )
1−2
=16×(2n −1)．
方案三：选条件③
由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， ∵S 6=S 4+a 5，
∴S 6−S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5， ∴a 6=0，
联立{a 1+2d =6a 1+5d =0，
解得{a 1=10d =−2
，
∴a n =10−2(n −1)=12−2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =212−2n =212×1
4n ，n ∈N ∗，
∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =212×
141+212×142+⋯+212×14n
=212×(
141+142+⋯+1
4n ) =212×14−14n+1
1−1
4
=2123×[1−(14)n ].
【解析】本题先设等差数列{a n }的公比为q ，然后根据题干已知条件及三个条件列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后根据等比数列的求和公式即可计算出数列{b n }的前n 项和T n ．
本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算．考查了方程思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−6x ，
由f′(x)≤0，有3x 2−6x ≤0，得0≤x ≤2， 又f(x)=x 3−3x 2的单调递减区间为A =[m,n]， 所以m =0，n =2；
(2)B =[2a −1,a +3]，则2a −1<a +3，解得a <4． 又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ， 有{a <4
a +3≥22a −1≤0，得−1≤a ≤1
2， 故实数a 的取值范围为[−1,1
2]．
【解析】(1)求出函数的导函数，令导函数小于等于0，求出函数的单调减区间，从而得到答案；
(2)利用区间的定义，得到a <4，然后将x ∈A 是x ∈B 的充分条件转化为A ⊆B ，利用集合的包含关系求解即可．
本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数单调性、充分条件与必要条件的应用、集合包含关系的应用，考查了学生分析问题的能力，属于中档题．
19.【答案】(1)解：抛物线为y 2=4x ，所以焦点坐标为(1,0)，直线AB 斜率为−1，则
直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1
y 2=4x 得：x 2−6x +1=0，
(2分)
可得x 1+x 2=6(4分)
由抛物线定义可得|AB|=x 1+x 2+2，所以|AB|=8(6分)
(2)证明：设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，由{x =my +n
y 2=4x 得：y 2−4my −4n =0(8分) 所以，y 1y 2=−4n ；x 1x 2=n 2；所以n 2−4n =0，解得n =0，或n =4(10分) 当n =0时，直线AB 过原点，不满足题意；当n =4时，直线AB 过点(4,0) 故当OA ⊥OB 时，直线AB 过定点(4,0)(12分)
【解析】(1)求出直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1
y 2=4x
得：x 2−6x +1=0，利用韦达定理，结合抛物线的性质，求解|AB|．
(2)设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，转化求解直线系方程，推出结果． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，
故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ， ∵AB =AA 1=2，A(0,−1,0)，B(√3,0,0)，C(0,1，0)， A 1(0,−1,2)，B 1(√3,0,2)，C 1(0,1，2)．
(1)∵Q 为BC 的中点，∴Q(√32,12,0)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,3
2
,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，(2分)
设平面AQC 1的一个法向量为n
⃗ =(x,y,z)， 由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√32x +32y =0
AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n
⃗ =2y +2z =0，可取n ⃗ =(√3,−1,1)，(4分) 设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， sinθ=|cos <CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n
⃗ >|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n
⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n
⃗⃗ |=
√5×2
=
√5
5
， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55
.(6分)
(2)B(√3,1,0)，P(
√32,1
2
,2)，C 1(0,2，2)， 设平面PBC 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)
则可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−12,2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(−√32,32
,0)， 由n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 得：{
−
√32x 1
−1
2y 1+2z 1=0
√32x 1
+3
2y 1=0
，
令y 1=1，可得x 1=√3，z 1=1，故n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1)，(9分) 由(1)得平面AQC 1的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)，
cos(n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ )=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2
⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1
⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2
⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√5⋅√5
=3
5，
故平面PBC 1与平面AQC 1所成的锐二面角的余弦值为3
5. (12分)
【解析】以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ，
(1)求出平面AQC 1的一个法向量，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，利用空间向量的数量积求解直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．
(2)求出平面PBC 1的法向量，平面AQC 1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题，
21.【答案】解：(1)由题意可得{a 2−b 2=1
1a 2+94b 2=1，
解得：a 2=4，b 2=3，故椭圆M 的方程
x 24
+
y 23
=1.(3分)
(2)由题意可得直线AB ，CD 斜率均存在，
设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1
k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
直线AB 的方程为y =k(x +1)，由{y =k(x +1)
x 24
+y 23
=1
得：(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=
0，则x 1+x 2=−8k 2
3+4k 2，
可得点P 的横坐标为−4k 2
3+4k 2
，代入y =k(x +1)，得点P 的纵坐标为3k
3+4k 2， 故点P 坐标为(
−4k 23+4k
2,
3k
3+4k 2
)，(6分)
则|PF|=√(−4k 2
3+4k 2+1)2+(3k 3+4k 2−0)2=3√1+k 2
3+4k 2，
将k 换为−1
k ，得|QF|=
3√1+
1
k 23+41k
2
，(8分)
故△FPQ 面积S =12
×
3√1+k 23+4k 2
×
3√1+
1k 23+41k
2
=9
2⋅
√2+k 2+
1k 225+12k 2+121k 2
，(10分)
令u =√2+k 2
+1
k 2，u ≥2，故S =9
2×u
12u 2+1，S′=9
2×u
(12u 2+1)2=9
2×1−24u 2
(12u 2+1)2，
当u ≥2时，S′<0，故S(u)在[2,+∞)单调递减，故u =2，S max =9
49， 所以△FPQ 面积的最大值9
49.(12分)
【解析】(1)利用椭圆的焦点坐标，结合椭圆结果的点，列出方程求解a ，b ，得到椭圆方程．
(2)设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1
k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)直线AB 的方程为y =k(x +1)，利用直线方程与椭圆方程，求出P 坐标为(
−4k 23+4k 2
,3k
3+4k 2)，求出|PF|，|QK|，推出三角形
的面积，利用换元法以及函数的导数，求解函数的最大值即可．
本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
22.【答案】解：(1)由ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 2+bx +c +lnx(x >0)，
得ℎ′(x)=2x +b +1
x
=
2x 2+bx+1
x
，
若△≤0，−2√2≤b ≤2√2，ℎ′(x)≥0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数， 若△>0，b >2√2时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数， b <−2√2时，由ℎ′(x)>0，得x ∈(0,
−b−√b 2−8
4
)和x ∈(
−b+√b
2−8
4
,+∞)，
综上，b ≥−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,+∞)，
b <−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,
−b−√b
2−8
4
)和(−b+√b 2−8
4
,+∞)．
(2)证明：记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1,x 12−x 1+c)，(x 2,lnx 2)， 由f′(x)=2x −1，得l 的方程为y −(x 12
−x 1+c)=(2x 1−1)(x −x 1)， 即：l ：y =(2x 1−1)x −x 12+c ，
由g′(x)=1x ，得l 的方程为y −lnx 2=1x 2
(x −x 2)，即l ：y =1
x 2
⋅x +lnx 2−1，
所以{
2x 1−1=1
x
2
−x 1
2
+c =lnx 2−1
(∗)，
消去x 1得lnx 2+(1+x 2)2
4x 2
2−(c +1)=0(∗∗)，
令F(x)=lnx +
(1+x)24x 2
−(c +1)，则F′(x)=1
x −1+x
2x 3=
2x 2−x−12x 3
=
(2x+1)(x−1)
2x 3
，x >0，
由F′(x)=0，解得：x =1，
当0<x <1时，F′(x)<0，当x >1时，F′(x)>0， 所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 且F(x)min =F(1)=−c ，由c >0，F(1)<0， 下面验证F(x)=0存在两个不等的正数解： 取x =e c+1，F(e c+1)>ln(e c+1)−(c +1)=0， 故方程(∗∗)在(1,+∞)上存在唯一解，
令k(x)=lnx +1
x −1(x ≤1)，由于k′(x)=1
x −1
x 2=x−1x 2
≤0，
故k(x)在(0,1]上单调递减，
故当0<x <1时，k(x)>k(1)=0，即lnx >1−1
x ， 从而F(x)=lnx +
(1+x)24x 2
−(c +1)>(12x −1
2)2−c ，
取x=
2√c+1∈(0,1)，则F(
2√c+1
)>0，
故方程(∗∗)在(0,1)上存在唯一解，
综上，c>0时，方程(∗∗)有两个不同的正数解，方程组(∗)有两组解，
即与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线有且只有两条．
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)代入b的值，记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1,x12−x1+c)，(x2,lnx2)，求
出直线方程，得到lnx2+(1+x2)2
4x22−(c+1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx+(1+x)2
4x2
−(c+1)，
判断出函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线的条数即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是综合题．。