2022-2023学年江苏省连云港市灌南高二年级上册学期期中模拟数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期期中模拟数学试题
一、单选题
1．若圆22240x y kx +--=关于直线2x -y +3=0对称，则k 等于（ ） A ．32
B ．-32
C ．3
D ．-3
【答案】B
【分析】由题意可求得圆心坐标，圆关于直线对称，即直线过圆心，代入坐标，即可求解. 【详解】由题意知，圆22240x y kx +--=的圆心为(k ，0)， 圆关于直线2x -y +3=0对称，即直线2x -y +3=0过圆心(k ，0)， 所以2k +3=0，k =-3
2
.
答案：B
【点睛】本题考查圆的对称性，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题. 2．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直
【答案】A
【解析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.
【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141
138
k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥
本题正确选项：A
【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 3．设1F 、2F 是椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||2:1PF PF =，则12F PF △的面积等于( )
A ．4
B ．6
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据椭圆方程，求出a 及椭圆的焦点坐标．由椭圆的定义结合12||:||2:1PF PF =，得1||PF ，
2||PF ，结合勾股定理的逆定理得12F PF △是以P 为直角顶点的直角三角形，由此不难得到12F PF △的面积． 【详解】解：椭圆22
194
x y +=，
3a ∴=，2b =，5c =
，所以椭圆的焦点为()
15,0F -，(
)
2
5,0F ，
12||||26PF PF a +==，且12||:||2:1PF PF =，
1||4PF ∴=，2||2PF =可得2221212||||20||PF PF F F +==，
因此12F PF △是以P 为直角顶点的直角三角形， 所以12F PF △的面积121
|||42
S PF PF =⋅=， 故选：A ．
4．如图，已知1F 、2F 分别是椭圆22
:142
x y C +=的左、右焦点，点A 、B 在椭圆上，四边形12AF F B 是
梯形，12//AF BF ，且122AF BF =，则12BF F △的面积为（ ）
A 14
B 14
C 2
D 2【答案】A
【分析】设点B 关于原点的对称点为点E ，连接1EF 、2EF ，分析可知A 、1F 、E 三点共线，设点
()11,A x y 、()22,E x y ，设直线AE 的方程为2x my =122y y =-，将直线AE 的方程与椭
圆的方程联立，列出韦达定理，求出2m 的值，可得出2
2y 的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】设点B 关于原点的对称点为点E ，连接1EF 、2EF ，如下图所示：
因为O 为12F F 、BE 的中点，则四边形12BF EF 为平行四边形，可得21//BF EF 且21BF EF =， 因为12//AF BF ，故A 、1F 、E 三点共线，设()11,A x y 、()22,E x y ， 易知点()12,0F -，()1112,AF x y =---，()
1222,F E x y =+， 由题意可知，112AF F E =，可得122y y =-，
若直线AE 与x 轴重合，设122AF a c =+=+，122EF =-，则112AF EF ≠，不合乎题意； 设直线AE 的方程为2x my =-，联立22
224
x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()22
22220m y my +--=， 由韦达定理可得1222221m y y y m +=-=
+，得2
2222
m
y m =-+， 2
122
2222y y y m =-=-+，则()2222228122m y m m ==++，可得227m =，故22
17216y m ==+， 因此，1221714
22244
BF F S c y =⨯⨯=⨯=
△. 故选：A.
5．设1F ,2F 是双曲线22
22:1x y C a b
-=（
）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一
条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A 5B 3C ．2
D 2【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．
详解：由题可知22,PF b OF c ==
PO a ∴=
在2Rt PO F 中，222
cos P O PF b F OF c
∠=
=
在12PF F △中,2
2
2
2121
2212
cos P O 2PF F F PF b F PF F F c
+-∠=
=
(
)
2
2
2
2246322b c a
b
c a b c
c
+-
∴
=
⇒=⋅ e 3∴=
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】A
【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()
22
341x y -+-=，
化简得()()2
2
341x y -+-=，
所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，
所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
7．已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D
【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【详解】圆22:4240M x y x y +-+-= 由题意可得()()22
:219M x y -++= 最长弦为直径等于6，
最短的弦由垂径定理可得
4， 则四边形ABCD 的面积为1
64122
⨯⨯=.
故选：D.
【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题
.
8．过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()2
2:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A
、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．1
0x -+= B ．
10x ++= C ．
20x -+= D ．20x ++=
【答案】B
【分析】设过点P 且与圆M 相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()2
11,A y y 、()2
22,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直
线的方程.
【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线
PA 、PB 的斜率必然存在， 设过点P 且与圆M 相切的直线的方程为()
2y k x =-，即20kx
y k -
=，
1=，解得1k =±，
设点()2
11,A y y 、()2
22,B y y ，不妨设直线PA 、PB
的斜率分别为1、1-
， 则11PA
k ==，可得11y =
同理1PB k =
=-
，可得2
1y =-
直线AB
的斜率为1222
12121AB y y k y y y y -=
==-+ 易知点A
的坐标为(3-， 所以，直线AB
的方程为(
13y x -=-+
，即10x ++=. 故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B ．点()0,2关于直线=+1y x 的对称点为()1,1
C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为
11
2121
y y x x y y x x --=-- D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AB
【分析】对选项A ，分别令=0x 和=0y ，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B ，求出对称点坐标即可判断；对选项C 特殊情况不成立；对选项D ，缺少过原点的直线． 【详解】A ．令=0x 得2y =-，令=0y 得=2x ，则直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积
1
2222
⨯⨯=，正确； B ．设(0,2)关于直线=+1y x 对称点坐标为(,)m n ，则2
=1+2=+12
2n m
n m -⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=1m n ⎧⎨⎩，正确；
C ．两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，错误；
D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线还有过原点的直线=y x ，错误． 故选：AB ．
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点Р满足1
2
PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ）
A ．C 的方程为()2
2416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得1AD =
C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上
D ．在C 上存在点N ，使得2
2
4NO NA += 【答案】AD
【分析】通过设出点P 的坐标，利用
1
2
PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.
【详解】设点(,)P x y ，由
1
2
PA PB =，
1
2
=
，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；
对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，
又22
00(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；
对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，
又22
00(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；
对于D 选项，设00(,)N x y ，由22
4NO NA +=，得2222
0000(2)4x y x y ++++=，又2200(4)16x y ++=，
联立方程可知有解，故D 选项正确. 故选：AD .
11．（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点
()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ）
A ．若126x x +=，则8PQ =
B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切
C ．设()0,1M ，则1PM PP +
D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC
【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断AB 选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C 选项；求出过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D 选项. 【详解】对于选项A ，因为2p =，所以122x x PQ ++=，则8PQ =，故A 正确； 对于选项B ，线段PQ 的中点为1212,2
2x x y y T ++⎛⎫
⎪⎝⎭，抛物线的准线l 的方程为=1x -，
点T 到直线l 的距离为
121221
1222
x x x x PQ ++++==， 所以，以PQ 为直径的圆与准线l 相切，B 对；
对于选项C ，因为()1,0F ，所以12PM PP PM PF MF +=+≥=
， 当且仅当点M 、P 、F 三点共线，且点P 为线段MF 与抛物线的交点时，等号成立，故C 正确；
对于选项D ，显然直线0x =，1y =与抛物线只有一个公共点， 设过M 且斜率不为零的直线为()10y kx k =+≠，
联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，可得()22
2410k x k x +-+=，令()222440k k ∆=--=，则1k =，
所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误. 故选：ABC.
12．已知双曲线22
:1916
x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）
A ．若A 、
B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于4
3
B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2
C ．AB 的最短长度为
323
D ．满足11AB =的直线有4条
【答案】BD
【分析】设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，
设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m
=
， 联立22
5169144
x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()
22
1691602560m y my -++=. 则()()
2
22222
1690
16042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩
，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；
对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确； 对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32
263
AB a ==<
，C 选项错误； 对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠； 当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122160169m y y m +=--，12
2256
169
y y m =-，
由弦长公式可得
()2122
961169
m AB y y m +=-=-()22
6161611169
m m +=
=-
，
解得m =
或m =故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD.
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、填空题
13．双曲线22
221x y a b -=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方
程为_______
【答案】2
2
14
y x -=
【分析】由双曲线的渐近线方程可得
2b
a
=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案； 【详解】由题意得：2,
12,
b a a
b ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩， ∴双曲线的方程为2
2
14
y x -=，
故答案为：2
2
14
y x -=.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.
14．一束光线从点()2,3A 射出，经y 轴反射后，与圆22:64120C x y x y +-++=相交，则反射光线所在直线的斜率k 的取值范围是_______________． 【答案】43,34⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
【分析】将圆写成标准式，求出圆心半径，求出()2,3A 关于y 轴的对称点A '，设出过A '的直线方程，结合圆心到直线距离公式即可求解.
【详解】由22:64120C x y x y +-++=可得()()2
2
321x y -++=，即圆心为()3,2-，半径为1，()
2,3A 关于y 轴的对称点()2,3A '-，可设过()2,3A '-的直线方程为()23y k x =++， 即230kx y k -++=，由反射光线与圆相交可得d r <
，1d ，
化简得()()34430k k ++<，即43,34k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
.
故答案为：43,34⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
15．在椭圆22
:153
x y C +=中，以点(1,1)P -为中点的弦所在的直线方程______.
【答案】3580x y --=
【分析】先利用点差法求得直线的斜率k ，再利用点斜式即可求得所求直线方程.
【详解】因为()2
2
11153
-+<，所以点(1,1)P -在椭圆22:153x y C +=内， 设以点(1,1)P -为中点的弦的两端的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122,2x x y y +=+=-，
22
1122
22153
15
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
两式相减，得
()()()()12221112053
x x y x x y y y -+-+=+，则()()2222111135x y y x y x y x --=++-，
设以点(1,1)P -为中点的弦所在直线斜率为k ，则()2211323525
y k x x y ⨯==----=⨯， 所以所求直线方程为：()3
115
y x +=-，即3580x y --=. 故答案为：3580x y --=.
四、双空题
16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，设直线1l 与2l 交于点()00,P x y ，则0y =___________，PAB ∆面积的最小值为___________. 【答案】 1-; 4
【分析】设211,4x A x ⎛⎫
⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可
求得交点坐标()2,1P k -.因为1
2
PAB
S AB d =
，所以将弦长AB 和点P 到直线AB 的距离d 带入即可求得面积的最小值.
【详解】解：抛物线方程为24x y =， ∴抛物线的焦点()0,1F
由题意，直线AB 的斜率存在，设:1AB l y kx =+，211,4x A x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
联立241x y
y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，
124x x k ∴+=，12·4x x =-，
由2
4x y =，得2
4
x y =
，求导得2
x y '
=
， ∴()21111:42
x x l y x x -=-，即2
1124x x y x =-
① 同理2
222:24
x x l y x =-
② ∴由①②得12022x x x k +==，2211112112
001242244
x x x x x x x x y x +=-=-==-.
()2
12
141
AB x k
=-===+
点P到直线AB的距离
2
d===
()()3
2222
11
412141
22
PAB
S AB d k k k
∴==++=+，
易知20
k=，即0
k=时，()min4
PAB
S=，
故PAB面积的最小值为4.
故答案为：1-；4.
【点睛】思路点睛：设出A，B两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P 坐标；设出直线AB方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得AB，由点到直线距离公式可得点P 到直线AB的距离，从而求得
1
2
PAB
S AB d
=，进而易得面积的最小值.
五、解答题
17．设椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>过点(0,4)
M，离心率为
3
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦AB的中点坐标及AB．
【答案】（1）
22
1
2516
x y
+=；（2）中点坐标为
36
,
25
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
41
||
5
AB=．
【分析】（1）依题意求出b，再由离心率及222
c a b
=-，求出a，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线l的方程，设直线与C的交点为()
11
,
A x y，()
22
,
B x y，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，再利用弦长公式求出弦长；
【详解】解：（1）将点(0,4)代入椭圆C的方程得
2
16
1
b
=，
所以4
b=．
又由
3
5
c
e
a
==，222
c a b
=-
得
22
2
9
25
a b
a
-
=，
即
2
169
1
25
a
-=，
所以5
a=．
所以椭圆C的方程为
22
1
2516
x y
+=．
（2）过点(3,0)且斜率为45
的直线方程为4
(3)5y x =-，
设直线与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程22
4(3)5
12516y x x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 得2380x x --=， 得123x x +=，128x x =-． 设线段AB 的中点坐标为()00,x y ， 则1203
22
x x x +=
=， ()12012266255
y y y x x +=
=+-=-， 即中点坐标为36,25⎛⎫
- ⎪⎝⎭
由弦长公式
41||5AB ==
18．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=. (1)求直线AC 的垂直平分线方程； (2)求△ABC 的面积. 【答案】(1)2410x y --= (2)8
【分析】(1)先求出AC 直线方程，再联立直线CM 与AC ，得到交点坐标(4,3)C ，最后求出AC 的 垂直平分线方程即可.
(2)先求出
AC (1,3)B --，再求△ABC 的
AC ，最后由三角形面积公式求出面积即可.
【详解】（1）BH 所在直线方程为250x y --=，
∴12
BH k =
， 直线BH 垂直于AC ， 1BH AC k k ∴⋅=-，
2AC k ∴=-，
∴AC 所在直线方程为2110x y +-=， 联立直线CM 与AC 得25=0
2+11=0x y x y ---⎧⎨⎩，
解得=4
=3x y ⎧⎨⎩
，
∴直线CM 与AC 的交点坐标(4,3)C ， 顶点1(5)A ，
， ∴A C 、的中点坐标为9
(,2)2
,
直线AC 的垂直平分线的斜率与AC 边上的高BH 的斜率相等， ∴直线AC 的垂直平分线的斜率为1
2
，
∴直线AC 的垂直平分线方程为2410x y --=. （2）由（1
）可知||AC 设点(,),B m n 则点51
(
,)22
m n M ++， 点(,)B m n 在高线BH 上，M 在中线CM 上，
25=0
+5+12?5=022m n m n --∴--⎧⎪
⎨⎪⎩
， 解得=1=3m n --⎧⎨⎩，
故点(1,3)B --，
由题意知AC 边上的高为BH ，
||BH ∴=
∴△ABC
的面积为11||||822ABC
S
AC BH =
⋅==. 19．已知抛物线2:2(0)E y px p =>
经过点(P ． (1)求抛物线E 的方程；
(2)若直线:(0)l y kx m km =+<与抛物线E 相交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=，证明：直线l 过定点． 【答案】(1)23y x =
(2)证明见解析
【分析】（1）将抛物线上的点代入方程即可求解；
（2）设出直线方程与抛物线联立，然后根据向量数量积建立等式求解.
【详解】（1）∵抛物线22(>0)y px p =过点P ，
222p ∴=⨯．3
2
p ∴=
． ∴动点C 的轨迹E 的方程为23y x =． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由23y kx m y x =+⎧⎨=⎩得222(23)0k x km x m +-+=， 12232km x x k -∴+=，2
122m x x k
=．
4OA OB ⋅=，
22
2
121212122
3(1)()4m km
x x y y k x x km x x m k +∴+=++++==．
22340m km k ∴+-=，
m k ∴=或4m k =-． 0km <，
m k ∴=舍去．
4m k ∴=-，满足1290km ∆=-+>．
∴直线l 的方程为4(4)y kx k k x =-=-． ∴直线l 必经过定点(40)，
． 20．双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲
线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.
【答案】
(2)2)y x =-
【分析】（1）先由点在双曲线上得到2
2
022
20y b x a a =-，再由QA ，QB 的斜率之积为1得到2022
01y x a =-，从而得到a b =，由此可求得双曲线的离心率；
（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线l 与双曲线得到1212,x x x x +，又由3MP PN =得到
()12232x x -=-，从而求得k 值，由此可得直线l 的方程.
【详解】（1）因为()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，
可得22
00
221x y a b
-=，即为2202220y b x a a =-，
由题意可得()(),0,,0A a B a -，2
00022
0001QA QB
y y y k k x a x a x a =⋅==+--， 可得a b =
，即有c e a =
==（2
）由题意可得c =1a b ==，则双曲线的方程为221x y -=， 易知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()()2,0,1y k x k k =-≠≠±，
联立直线l 与双曲线E 的方程，可得()2222
14140k x k x k -+--=，
设()()1122,,,M x y N x y ，则212
241x k x k +--=，2
122141k x x k +=--，①
又3MP PN =，可得()12232x x -=-，② 由①②可得2
22
421k x k -=-， 212421k x k --=-，
代入①可得2315k =
，解得k = 则直线l
的方程为)2y x =-.
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:240C x y x y F ++-+=，且圆C
被直线30x y -++=截得的弦长为2.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程；
（3）若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M
，且满足PM =，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）22(1)(2)2x y ++-=；（2）26y
x 或26y x 或30x y +-=或10x y ++=；
（3）24a -≤≤
【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知5F <，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于F 的方程，解方程求得F ，从而得到标准方程；（2）分为直线l 过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设(),P x y ，根据222PM PO =且222PM PC r =-可整理出P 点轨迹方程为：()()2
2
128x y -++=；根据P 在圆
()()
22
12x a y -+-=上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求
得结果.
【详解】（1）圆C 方程可整理为：()()22
125x y F ++-=- 5F ∴<
∴圆C 的圆心坐标为()1,2C -，半径r =
∴圆心C 到直线30x y -+=的距离：1d =
=
∴
截得的弦长为：2==，解得：3F = ∴圆C 的标准方程为：()()2
2
122x y ++-=
（2）①若直线l 过原点，可假设直线l 方程为：y kx =，即0kx y
直线l 与圆相切 ∴圆心到直线距离d r =
==2k =
∴切线l 方程为：(2y x =
②若直线l 不过原点，可假设直线l 方程为：1x y
a a
+=，即0x y a +-=
∴圆心到直线距离d r ==1a =-或3
∴切线l 方程为10x y ++=或30x y +-=
综上所述，切线l 方程为(2y x =或10x y ++=或30x y +-= （3）假设(),P x y
PM =，即222PM PO =
又直线PM 与圆C 相切，切点为M 2222222PM PC r PC PO ∴=-=-=
即：()()()2
2
22
2122x y x y +=++--，整理得：()()22
128x y -++=
P 又在圆()()22
12x a y -+-=上 ∴两圆有公共点
24a -≤≤
即a 的取值范围为：[]2,4-
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.
22．已知双曲线2
2
14
y x -=的左、右顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 为短轴的两端点且离心率
P 在第一象限且在双曲线上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． (1)求曲线C 的方程；
(2)设点P 、T 的横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1x 2＝1；
(3)设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且10PA PB ⋅≤，求22
12S S -的取
值范围．
【答案】(1)2
214
y x +=
(2)证明见解析 (3)(0，1]
【分析】（1）设椭圆的方程为22
2210y x a b a b
+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），推出b ＝1，
a 2，即可得出答案． （2）设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0），则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立椭圆的方程，解得x 2，同理可得212
44k x k +=-，进而可得x 1⋅x 2＝1．
（3）由（2）得1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，由10PA PB ⋅≤，得11x ≤＜S 1，S 2，结合基本不等式得S 12﹣S 22的取值范围．
【详解】（1）设椭圆的方程为22
2210y x a b a b
+=，＞＞，
依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），所以b ＝1，
所以222
22134c a e a a -===，即a 2＝4，
所以椭圆方程为2
214
y x +=．
（2）证明：设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0）， 则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，
联立方程组()
22114y k x y x ⎧+⎪
⎨+=⎪⎩＝，整理，得（4+k 2）x 2+2k 2x +k 2﹣4＝0，
解得x ＝﹣1或2
244k x k -=+，
所以2
22
44k x k -=+，
同理联立直线AP 和双曲线可得，2
12
44k x k +=-，
所以x 1⋅x 2＝1．
（3）由（2）1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--， 因为10PA PB ⋅≤，
所以()()2
1111110x x y ---+≤，
即22
1111x y +≤，
因为点P 在双曲线上，则2
211
14
y x -=，
所以22114411x x +-≤，即2
13x ≤，
因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，
所以11x ≤＜ 因为122211111
222
S AB y y S OB y y =
⋅==⋅=，， 所以()()
222
22222
122121121441544
S S y y x x x x -=-
=---=--． 由（2）知，x 1⋅x 2＝1，即21
1x x =
， 设21t x =，则1＜t ≤3，则22
1245S S t t
-=--．
设f （t ）＝5﹣t 4t -=5﹣（t 4
t
+）≤5﹣4＝1， 当且仅当4
t t
=
，即t ＝2时取等号， 结合对勾函数单调性知函数f （t ）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减． 因为()()42
3531033
f f =--
==，，
所以f (1)＜f (3)，
所以22
12S S 的取值范围为（0，1]．。