大一高数同济版期末考试题精副本

大一高数同济版期末考试题精副本
10. 11.
高等数学上(1)
一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 设f(X)= cosx(x +|sin x |),则在 x = 0 处有( )
(A ) f'(0)=2
( B )f'(0)=1 (C ) f'(0)=0
( D ) f(x)不可导.
设a (x)= —, P (x)=3 —3奴，则当 X T 1 时(
2.
1 +x
(A )(X)与P (X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是等价无穷小；
(C ) a (X)是比P (x)高阶的无穷小；无穷小.
X
3.若
F (X )= J 。

(2t —x ) f
(t )dt ，其中f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且
f
'(x
)> 0 则( ).
(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值；
(C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0，F(0))为曲线y = F(x)的拐点； (D) 函数F(X)在X = 0处没有极值，点(0, F
(0))也不是曲线y = F(x)的拐点。

1
设 f(X)是连续函数，且 f ( X)= X + 2 J 0 f (t)dt ,贝y f ( X)=(
)
2 2
—
—+2 (A ) 2 ( B ) 2
(C ) X-1 ( D ) x + 2.
填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
2
lim (1 + 3x)sin
^ =
X T 0 已知
cosx
是f(x)的一个原函数， X
8.
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 设函数y=y(x )由方程eE + simxy)"确定，求y (x)以及y (0)
.
+ 「 1- X 7
求J ----- 厂dx.
x(1 + X ) (B )(X)与(x)
(D ) P (X)是比a (X)高阶的
4.
5. 则［f(x) C0SX dx =
X
6.
兀
2兀
2
2兀 2
- 1
lim —(cos — + cos —+(卜|+ cos
---- 沢)= n Y n n n n r X arcsin x +1
J —J 2 dX
二
7. 9.
[xe ，
设f (x) = ------ 2
lV2x - X2求J： f (x)dx.
1
g (x H f
f (xt)dt
12.设函数f(x)连续，
，且y X ，A 为常数.求
g (x)
并讨论g (x)
在x=0处的连续性.
y(1)=--
13.求微分方程xy7 2y = xinx 满足
9的解.
四、解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线 y = y(x) (X >0)，过点(0,1
)，且曲线上任一点 M(x o ,y o )处切
线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x=x o 所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线y = ln X 的切线，该切线与曲线y = |n
X 及x 轴围成
平面图形D.
(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)
16.设函数f(x)
在b ，1
】上连续且单调递减，证明对任意的qj 0,1］
，
q 1
J f (X ) d X X J f (X )dx
17.设函数f(x)
在咖上连续，且
证明：在(0,兀)内至少存在两个不同的点
x
F(X)= ! f (x)dx
示：设
)
、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1、D
2、A
3、C
4、C
二、填空题(本大题有4小题，每小题 1,cosx 2 , e
6 -( ---- )
+c 5. e . 6. 2 X .7.
三、解答题(本大题有5小题，每小题
9.
解：方程两边求导
e f (1+y 「co(s( xy)(y =) . e x
^
+ycos(xy)
y(X)
一e XJ xcos(xy) X = 0, y = 0， y(0) = T
JI
JI
J f (X ) d X = 0 f f (X) cos X dx = 0
，0
4分, 兀 2 . 8 分, 共16分)
兀
8.
3
共 40 分)
10.解：u=x7 7x6dx=du
= -(ln|u|—2ln |u+1|) +c
1 2
=—ln|x7|—-ln|1 +x7|+C
7 7
1 0 1 --------------------------------------------- 2一肋 f f(x)dx=『xe dx+f V2x-x2dx
=J：xd(—e」)+ J；J1 -(x-1)2dx
=[-xe」-e」]j + J 兀cos2日d0(令x-1 =sin9)
~2
兀3
=—-2e3 -1
4
12.解：由f(0)=0，知g(0)=0。

x
1 xt. J f(u)du
g(x)= J f (xt)dt =-
(XH 0) x
xf(x)-Jf(u)du
g(x) = -------- 0 ------
x
x
Jf(u)du
g (0) = lim - 2——=lim
(XHO) f(x)
x T x27 2x
x
xf(x) - Jf (u)du
------- 文—A
2 , g'(x)在x = O处连
dy , 2
—+—y = In X
13.解：dx x
—I^dx l^dx
y =e x (Je x lnxdx + C)
1 1 /
=-xln x-- x + Cx
3 9
1 1.1 y(1F-—C= 0y = —xl
nx--x
9 , 3 9
四、解答题(本大题10分)
x
14.解：由已知且八2〔0ydx+ y,
将此方程关于x求导得/ = 2y + y 特征方
上可导。

F'(x) = f(x)，且 F(0)=F (兀)=0
兀
0 = J f (x)cosxdx = JcosxdF (x) = F (x)cosx |0 + Jsin x F (x)dx
由题设，有 0
x 2 x
其通解为 y=C 1e-+C 2e
代入初始条件y (°)= y '(0) ■，
-e 故所求曲线方程为： 3 五、解答题(本大题10分)
I 2 X
+ -e
3 15.解：(1)根据题意，先设切点为
(x 0，lnx 0)，切线方程：
1 y = - X e
1 y —ln X 0 =——(X —X 0)
x
由于切线过原点，解出X o =e ，从而切线方程为:
:y
1
A=J(e -ey)dy = ；；e-1
则平面图形面积 0 2
V i
(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为
曲线y =lnx 与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为
V 2
V 1,则
1
V 2 = J 兀(e-e y )2dy
V D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题兀
2
=V1 -V 2 = —(5e -12e + 3) 6 共12分)
q
(本大题有2小题，每小题4分， q
1
q
J f(X)d X —q J f (x)dx= / f (x) d x —q( J
+ J f (x)dx)
16. 证明： q
=(1 -q) Jf(x)dx-q Jf(x)dx
q
￡q o, q] 4 Q q,1] f &)3f (◎
=
q(1-q)f(%)-q(1-q)f(?2)
k 0
故有：
q
1
J f (X ) d X 5 f (X ) dx
17.
证毕。

证：构造辅助函数：F(x)。

其满足在［°E 】上连续，在(°用)
兀
f F (x)sinxdx = 0
有0
，由积分中值定理，存在吳(0,兀)，使F(?)sin e=0即
F 化)=0
综上可知F(0) =F(?) = F(;i) =0,匕€ (。

，兀).在区间［。

，^，［?，兀］上分别应用罗尔定理，知存在
0-(0,?)和勺迂(?，兀)，使 F K i H 0及F ?2)=0，即 f(?)= f(S ) = 0.
高等数学上(2)
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中) (本大题分5小题，每小题2分，共10分) 1、
设 I = f-e ^1dx,则 I =
、e x
+1
(A) ln(e x
-1) +c (B) ln(eX+1)+c; (C) 2ln? +1) -x +G (D) x-21 n( eX +1)+c 2、
1 2 n 4
n 百e (B)7e (C)e
3、
4、
设f(X)在X = 0的某邻域内连续,且f (0) = 0, lim f (x) = 2 ,则点X = 0
T 1 - COSx
(B)是f(x)的极小值点 (D)是f (x)的驻点但不是极值点
答()
5、
f . lim Y e n _^ (A)1
(D)e 2
答(
f(x) =——的n 阶麦克劳林展开式的拉
格朗日型余项R n
(x)=()(式中0＜日＜:1)
1 -x
1 市rx n
十 (n +1)(1 -Ox)
(C)
爲产严
(A)
n
(B) ----- --- --- 片x n 十
(n +1)(1 -日 X)
心、
(T)n n 4t
(D) ------ x
(1-e x 严
(T) (A)是f (x)的极大值点 (C) 不是f(x)的驻点。