2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．
（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．
（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．
（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．
2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．
3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请
直接写出答案）．
4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系为：；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明
理由．
5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．
（1）请直接写出A、B两点坐标；
（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；
（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．
（Ⅰ）求证：AC＝BD；
（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．
（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；
（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．
9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．
（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．
（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．
（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．
10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．
（1）△FGH的形状是；
（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；
（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．
11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．
（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；
（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；
（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．
12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．
14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；
【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；
【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．
15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，
求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB
的大小．
16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．
（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？
如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；
（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．
18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．
19．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边
△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图
1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．
【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【问题变式】
若木板形状是锐角三角形A1B1C1．
某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？
（2）若木板的面积S仍为1.5m2．
小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设
EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得
图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．
小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；
小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．
我们可以借鉴以前研究函数的经验，
令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．
下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．
①根据如表，画出函数的图象：（如图6）
a
… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4
…
②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ；
A ．等于2；
B ．在1～之间；
C ．在～之间；
D ．在～2之间．
（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．
①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）
＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）
＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）
＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
∴∠AFB＝60°，
故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；
（2）（1）中结论仍成立，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵△ECD是等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，
∴∠AFB＝∠ACB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AFB＝60°；
（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，
∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，
∴1≤BD≤7，
即BD长的取值范围为1≤BD≤7．
2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴cos∠C＝＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，
又∠BCE＝∠ACD＝α，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝＝，
即＝；
（3）
①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴AE＝＝＝3，
∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；
由（2）知，＝．
故AD＝．
②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，
AE＝＝＝3，
∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，
由（2）知，＝．
故AD＝．
综上所述，AD的长为或，
故答案为：或．
3．解：（1）如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k+6k＝5，
∴k＝，
∴BC＝6k＝．
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，
∴BC＝6k＝，
综上所述，BC的值为或．
（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝．
如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，
∴k＝1，BC＝6k＝6．
综上所述，BC的值为或6．
（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5．
故答案为5．
4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．
理由：延长BD交AC于F．
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝∠BED＝90°．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB+∠CAE＝90°，
∴∠CBF+∠ACB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AC⊥BD，
故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．
（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．
理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，
理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，
故答案为：BD＝AC．
②能；设BD与AC交于点F，
由①知，△BED≌△AEC，
∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（60°+60°）
＝60°，
即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．
5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，
又∵AO⊥BC，
∴AC＝AB，
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，
∴AO＝CO＝BO＝8，
∴点A（0，8）；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，
∵点P的横坐标为t，
∴OM＝t，
∴MB＝8﹣t，
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，
∴∠ABO＝45°，
∴∠BPM＝∠ABO＝45°，
∴PM＝MB＝8﹣t，
∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；
（3）∵△POB的面积为24，
∴32﹣4t＝24，
∴t＝2，
∴点P（2，6），
如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，
∵PQ＝OP，点P（2，6），
∴点Q（4，12），
∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，
∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，
∴∠HOQ＝∠GQD，
又∵OQ＝QD，
∴△OHQ≌△QGD（AAS），
∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，
∴HG＝16，
∴点D（16，8）；
当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，
同理可求△QDG≌△ODN，
∴ON＝QG，DN＝DG，
∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，
∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，
∴点D（8，4），
综上所述：点D（16，8）或（8，4）．
6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝＝＝3，
∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；
（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°+α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM+CN＝6+3，
∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．
7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，
∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，
∴AC＝BD；
（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，
如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，
在Rt△AOB中，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AC垂直平分BD，
∴CD＝BC，
设点C的坐标为（m，n），
∴m2+n2＝1①，
由旋转知，CD＝＝，
∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，
联立①②解得，m＝1，n＝0，
∴点C在x轴上，
∴旋转角为∠AOC＝90°，
故答案为：90°；
（Ⅲ）如图2，
∵OA＝OB＝+1，
∴AB＝OA＝2+，
过点O作OH⊥AB于H，
∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，
∴OH＝＝＝＝，
过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，
要使△ABD的面积最大，则DG最大，
由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，
∴点D在HO的延长线上时，DG最大，
即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，
∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠BOH＝45°，
∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．
8．解：（1）AC＝AE+AD．
证明：连接CE，
∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠ACB＝60°，
∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴，
∴，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴∠DAF＝∠FEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CD＝CE，∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
∴AB＝AE+BE＝AE+AD，
∴AC＝AE+AD；
（2）不成立，AD＝AC+AE．
理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，
当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，
∵l∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，
∴∠EDC＝∠ADF＝60°，
∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，
即∠EDA＝∠CDF，
∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，
∴△EAD≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF，
∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；
（3）AE的长为或．
当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝45°．
∵直线l∥BC，
∴∠DAF＝∠ACB＝45°．
∵FD⊥直线l，
∴∠DAF＝∠DF A＝45°．
∴AD＝FD．
∵∠EDC＝∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠FDC．
由（1）可知DC＝DE，
∴△ADE≌△FDC（SAS），
∴AE＝CF．
∵AD＝，
∴AF＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝AB＝3，
∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．
当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．
过点D作直线l的垂线，交AB于点M，
同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），
∴AC＝EM＝3，
∵AD＝，
∴AM＝2，
∴EM+AM＝3+2．
综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．
9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；
当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．
故答案为：8cm2；8cm2．
（2）①当0＜x＜4时，
∵△CAB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，
∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，
∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．
②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．
当4＜x＜8时，
梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM
＝（x+8）（8﹣x）
＝﹣x2+32，
梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME
＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]
＝（20﹣x）（x﹣4）
＝﹣x2+12x﹣40，
S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．
综合以上可得，S＝．
（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，
当x＝4时，S＝24cm2，
所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，
解得x1＝x2＝6，
当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．
当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．
∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．
10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，
∴CE∥AB，
∵BC≠CD，
∴CE≠AB，
∴四边形ABCE是梯形，
∵点F，G分别是BC，AE的中点，
∴FG是梯形ABCE的中位线，
∴FG∥AB，
∴∠GFC＝60°，
同理：∠GHB＝60°，
∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，
∴△FGH是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）成立，理由如下：如图1，
取AC的中点P，连接PF，PG，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，
又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，
∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，
∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，
∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，
∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，
∴∠FPG＝∠FCH，
∴△FPG≌△FCH（SAS），
∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，
∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，
∴△FGH为等边三角形；
（3）①当点D在AE上时，如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，
过点C作CM⊥AE于M，
∴DM＝EM＝DE＝2，
在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，
在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，
∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，
连接BE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，
∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
过点B作BN⊥AE于N，
∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，
∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，
连接BD，
根据勾股定理得，BD＝＝＝2，
∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，
∴FH是△BCD的中位线，
∴FH＝BD＝，
由（2）知，△FGH是等边三角形，
∴△FGH的周长为3FH＝3，
②当点D在AE的延长线上时，如图3，
同①的方法得，FH＝，
∴△FGH的周长为3FH＝3，
即满足条件的△FGH的周长为3或3．
11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．
∵AB∥CD，AB∥PT，
∴AB∥PT∥CD，
∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，
∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．
（2）证明：如图2中，连接PP′．
∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，
∵∠APC＝∠1+∠2，
∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．
（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．
∵AB∥CD，
∴∠PEB＝∠2，
∵∠PEB＝∠1+∠P，
∴∠2＝∠P+∠1，
∴∠P＝∠2﹣∠1．
∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，
∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），
∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．
12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），
∴OA＝a，OB＝a，
∵△AOB的面积为2，
∴S△AOB＝×a×a＝2，
∴a＝2（负值舍去），
∴A（0，2），B（2，0），
∵C为线段AB的中点，
∴C（1，1），
∴OD＝BD＝CD＝1，
∴S△CDB＝×1×1＝．
故答案为：．
（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，
又CO＝EO，
∴AO是CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，
∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，
∵∠AFC＝∠COA＝90°，
∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，
又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，
∴CD＝CA＝EA，
∴△AOE≌△CMD（AAS），
∴OE＝DM，
∴＝＝＝3，
∴＝2；
（3）＝2，
理由如下：
作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，
∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，
∴△BON等腰直角三角形，
∴∠BNO＝∠BMD＝45°，
∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，
∴△BMD≌△ENB（AAS），
∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，
又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，
∴△BCF≌△MDF（AAS），
∴BF＝MF，
∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，
即＝2．
13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠APQ是△ABC的一个外角，
∴∠APQ＝∠B+∠BAP，
∵∠BAP＝15°，
∴∠APQ＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQB＝60°．
（2）①图形如图2所示．
②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．
理由：连接MC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP＝CQ，
∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，
∴∠BAC＝∠P AM＝90°，
在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，
∴PM＝，
∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，
∴∠PCM＝90°，
在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，
∴PC2+CM2＝PM2，
∴PC2+BP2＝2AP2．
14．【问题背景】证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．
∵DK⊥CD，BF⊥AB，
∴∠BDK＝∠ABK＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠DBK＝∠K＝45°，
∴DK＝DB，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，
∴∠ECG＝45°，
∵BF⊥AB，CA⊥AB，
∴AG∥BF，
∴∠G＝∠DFK，
在△ECG和△DKF中，
，
∴△ECG≌△DKF（AAS），
∴DF＝EG，
∵DE＝AE，
∴DF+EF＝AE，
∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．
【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．
．
∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，
∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，
同法可证△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝2，
∵∠AEC＝∠ADB＝45°，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．
15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，
∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，
∴a+2b＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝，
∴A（﹣1，0）B（0，）．
（2）①证明：如图1中，
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD＝BP，
∴∠BDP＝∠BPD，
设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F＝90o﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，
∴∠F＝45o+α，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，
∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，
∴∠BQO＝∠QFH，
∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS），
∴HQ＝OB＝OA，
∴HO＝AQ＝PC，
∴PH＝OC＝OB＝QH，
∴FQ＝FP，
又∠BFQ＝45°
∴∠APB＝22.5°．
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝AC＝3，
∴△DEF的周长＝9；
（2）解：结论：CF＝DG．
理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，
∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∵∠DEF＝∠B+∠EGB，
∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，
∴EG＝BE，
∵EG+DG＝CF+BE＝3，
∴CF＝DG；
（3）∵S△DEF＝×32＝，
S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，
y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．
17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，
根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，
∵BQ＝BP，
∴＝，
∴，
∵∠QBP＝∠CBA，
∴△BPQ∽△BAC，
∴∠BQP＝∠ACB＝90°，
∴PQ⊥AB；
（2）∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝1，
由（1）知，PQ⊥AB，
∴∠AQP＝90°，
∴∠PQD＜90°，
∵△PQD是直角三角形，
∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，
∴sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，
∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，
∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，
②当∠PDQ＝90°时，
∴∠ADQ+∠PDC＝90°，
如图2，
过Q作QE⊥AC于E，
∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，
∴∠ADQ+∠DQE＝90°，
∴∠DQE＝∠PDC，
∴△EQD∽△CDP，
∴，
∴，
设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，
在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，
∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，
在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，
∴，
∴t＝或t＝（大于2，舍去）
∴BP＝；
即BP＝或；
（3）；
理由：如图3，
①当点D'恰好落在边BC上时，
由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，
由（1）知，PQ⊥AB，
∴DD'∥AB，
∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，
∴CD'＝CD＝，
设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，
∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，
∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，
∴m＝，
②当点D'落在D时，即PQ过点D，
在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，
∴CP'＝＝＝，
∴BP'＝BC+CP'＝，
综上：．
18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；
当BN最长时，BN＝＝＝，
综合以上可得BN的长为或；
（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，
∴△AN'C≌△BNC，
∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，
∵∠MCN＝45°，
∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，
∴∠MCN'＝∠BCM，
∴△MN'C≌△MNC（SAS），
∴MN'＝MN，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠CAM＝45°，
∴∠CAN'＝45°，
∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，
在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，
∴BN2+AM2＝MN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
19．问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠P AC＝90°，P A＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠P AE＝∠CAD，
∴△CAD≌△P AE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
当且仅当P、E、B三点共线时取等号，
∴BP的最大值为+1．
20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，
∵DE∥CB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得：x＝；
如图②，设加工桌面的边长为ym，
过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，
∵AC＝1.5m，BC＝2m，
∴AB＝＝＝2.5（m），
∵△ABC的面积为1.5m2，
∴CM＝m，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
解得：y＝，
∴x＞y，
即S1＞S2，
故答案为：＞．
（2）①函数图象如图6所示：
②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．
（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．
故答案为：S5＜S4＜S3．
②如图7，△A1B1C1即为所求作．。