高考数学(理)一轮复习课件：统计与概率-8古典概型与几何概型(人教A版)

军的概率为( )
1
3
A.2
B.5
2
3
C.3
D.4
答案：D 解析：甲队获得冠军有二种情况，即需赛一场(甲胜)， 或需赛二场(第一场甲输，第二场甲胜)．由题知甲胜输的概 率都为12，故甲获得冠军的概率为：21＋12×12＝34.故选D.
4. [2011·湖北]在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质 期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质 期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
[解析] (1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球
都是白球的结果数为C
2 n
＝
n（n－1） 2
，从袋中任取2个球
的所有可能的结果为C27＝7×2 6＝21.
n（n－1）
由题意知17＝
2 21
＝n（n4－2 1），
∴n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)．
即袋中原有白球3个．
(2)设事件A“取球2次即终止”．取球2次即终止，即 乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是红球．
[规律总结] 求较复杂事件的概率问题，解题关键是 理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型；二 是合理利用计数原理、排列、组合的有关性质；三是将 所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立 事件的概率．
Hale Waihona Puke [变式探究1] [2012·广东模拟]甲、乙两个袋中均装 有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相 同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红 球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个 球，则取出的两球都是红球的概率为________．(答案用 分数表示)
答案：12485
解析：所取2瓶饮料全是未过保质期的概率为
C227 C320
＝
111475，
∴至少取到1瓶已过保质期的概率为1－111475＝12485.
5. [2011·江西]小波通过做游戏的方式来确定周末活
动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
离大于
1 2
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
例1 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球
都是白球的概率为
1 7
.现有甲、乙两人从袋中轮流摸
球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放
回，直到两人中有1人取到白球时即终止．每个球在每
一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率． [思路点拨] 因为袋中共有7个球，基本事件总数是 有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概 型．另外要注意的是不放回的摸球．
解析：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使 两人能在约定时间范围内相见，
当且仅当－23≤x－y≤23. 两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可 用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在 约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果 可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．
P(A)＝CC1174××CC6131＝47××36＝27. (3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球” 为事件Ai，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可 能在第1次，第3次和第5次取白球． ∴P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5) ＝37＋47××36××35＋47××36××25××14××33＝37＋365＋315＝2325.
■ ·考点自测· ■
1. [2012·威海模拟]某同学同时掷两颗骰子，得到点
数分别为a、b，则椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1的离心率e>
3 2
的概率是
()
1
5
A.18
B.36
1
1
C.6
D.3
答案：D 解析：当a>b时，e＝
1－ab22> 23⇒ab<12⇒a>2b，符合
a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3，4，5，6四种情况；当
举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
(2)事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总 数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个 方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本 试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含 的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才 不会出错．
②“从一等品零件中，随机抽取2个零件直径相 等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1， A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6 个．
∴P(B)＝165＝25.
[规律总结] 求古典概型概率的步聚
[变式探究2] 已知某运动员每次投篮命中的概率低 于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰 有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值 的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9， 0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮 的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
随机数与几何概型
例3 [2010·湖南]在区间[－1，2]上随机取一个数x， 则|x|≤1的概率为________．
[思路点拨] 此问题中试验是在[－1，2]上任取一个 数，基本事件个数是无限的，故考虑用几何概率求概 率．
[解析] 由|x|≤1，得－1≤x≤1.由几何概型的概率求法 知，所求的概率p＝区区间间[[－－11，，12]]的的长长度度＝32.
[答案]
2 3
[规律总结] (1)求与长度有关的几何概型的概率公式是 P(A)＝实验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域长度. (2)求与角度有关的几何概型的概率公式是 P(A)＝实验的构全成部事结件果A所的构区成域的角区度域角度. (3)求与面积有关的几何概型的概率公式是 P(A)＝实验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域（面体积积（）体积）.
(3)几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区 别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果 在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随 机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有 关．
若求会面问题中的概率，可利用数形结合转化为面 积问题的几何概型，具体方法是把两个时间分别用x，y两 个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间问题转 化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型 问题．
[变式探究 3] [原创]两人约定在 20：00 到 21：00 之 间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如 果两人出发是各自独立的，在 20：00 至 21：00 各时刻相 见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品． (1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件 为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个． ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果． ②求这2个零件直径相等的概率．
[思路点拨] 正确找出所有的一等品是解题的基础， 对于第(1)题，可直接代入公式求解；对于第(2)小题，列 举时要做到不重不漏．
第十章 统计与概率
第8课时 古典概型与几何概型
考纲下载 1．理解古典概型及其概率计算公式． 2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生 的概率． 3．了解几何概型的意义． 4．了解日常生活中的几何概型．
请注意！ 1．若是从考查的内容来分析，集中考查一些常见的概率 模型，如摸球模型，分配模型，取数模型，从题的难度来看， 一般是中低档题，由于随机事件的概率与实际生活密切相关， 在高考中自然受到重视． 2．古典概型的概率是高考考查的重点，通常要结合互斥 事件、对立事件及排列、组合的有关知识求解． 3．纵观近几年高考涉及几何概型的考查内容特点是与实 际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不同 侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷．
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人 在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的 概率为
P＝S单S位阴正影方形＝1－（1213）2＝89.
思想方法导悟
1.方法与技巧
(1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出
来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝
m n
求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列
1 4
，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看
书的概率为________．
答案：1136
解析：∵去看电影的概率P1＝
π×12－π×（12）2 π×12
＝
34，
去打篮球的概率P2＝ππ×（×411）2 2＝116，
∴不在家看书的概率为P＝34＋116＝1136.
高考测点典例研习
用排列、组合解复杂事件的古典概型问题
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 和．
思考：在一次试验中，其基本事件的发生一定是等 可能的吗？
提示：不一定等可能．如试验一粒种子是否发芽， 其发芽和不发芽的可能性是不相等的．
2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型．
思考：如何确定一个试验是否为古典概型？ 提示：判断一个试验是否是古典概型，关键在于这 个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能 性．
3．古典概型的概率公式 P(A)＝AA包包含含基基的的本本基基事事本本件件事事的的件件总总的的数数个个数数．
4.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长长度 度((面面积积或或体体积积))成比例，则称这样的概率模型为几何概率 模型，简称几何概型．
答案：19 解析：P＝CC1614·CC1611＝19.
简单的古典概型的概率
例2 [2010·天津]有编号为A1，A2，…，A10的10个零 件，测量其直径(单位：cm)，得到下列数据：
编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
b＝2时，有a＝5，6两种情况，总共有6种情况，则概率为
366＝16.同理当a<b时，e> 23的概率也为16.
综上可知e> 23的概率为13.故选D.
2. [2012·山东泰安模拟]如图，设D是
图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y
＝x2图象下方的点构成的区域，在D中随
机取一点，则该点在E中的概率为( )
1
1
A.5
B.4
1
1
C.3
D.2
答案：C
解析：题图中阴影部分面积为S＝22x2dx＝136. 0 16
所以P(E)＝136＝13.故选C.
3. [2011·广东卷]甲、乙两队进行排球决赛，现在的
情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局
才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠
5．几何概型的概率公式 P(A)＝试试验验的的构构全全成成部部事事结结件件果果AA所所的的构 构区区成成域域的的长长区区度度域域（（长长面面度度积积（（或或面面体体积积积积或或））体体积积））．
6．几何概型的两个基本特点
思考：古典概型与几何概型有哪些异同点？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能 性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而 几何概型的基本事件有无限个．
[解] (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设 “从10个零件中随机抽取一个为一等品”为事件A，则 P(A)＝160＝35.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6. 从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果 有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1， A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5)，{A2，A6)，{A3， A4}，{A3，A5)，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5， A6}，共15个．
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率
为( )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
答案：B 解析：由题意知，在20组随机数中表示三次投篮恰有 两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机 数，故所求概率为250＝14＝0.25.