课件《圆周角》优质课堂课件_人教版1

二、在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弦相等，所对的弧也相等．
几何语言：
在⊙O中 ∵∠AOB=∠A'OB' ∴A⌒B=A⌒'B',AB=A'B'
A′ B
B′
·
O
A
想一想 可以去掉限制条件吗？
不能去掉 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弦相等，所对的弧也相等．
D 如图，在两个半径不相
A
等的同心圆O中，圆心
①AD=BD ②AC=BC
③⌒AC=B⌒C
④∠AOC=∠BOC ⑤∠OAB=30°
巩固小练习
3.如图，AB是直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E,∠COD=34°,
则∠AEO的度数是_5__1_°__.
ED C
A
B
O
综合运用
1.如图，在⊙O中，A⌒B=2C⌒D,则下列结论正确
的是（ C ）
典例精析
例2.如图，AB是⊙OA的弦，半径OC,OD分别
交AB于E,F，且AE=BF，猜想AC和BD的数量关
系，并说明理由. 解：AC=BD
方法二：
理由：连接OA,OB,做OM⊥AB于点M ∵OA=OB,OM⊥AB
∴∠AOM=∠BOM，AM=BM
∵AE=BF
O
∴EM=FM，而OM⊥AB
∴OE=OF
圆心角∠AOB与∠A'OB'重合.
结论
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的 两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要 有一组量相等，其他两组量就分别相等.
几何语言：
A′ B
③②①在在在⊙⊙⊙OO中O中中
B′
∵ABA∵∴⌒=BAA∵∴⌒A=BBA∠'A⌒B==B⌒A'AA'B，=O⌒'''ABB,B⌒∠'''B=,AA∠',⌒OCAABBB'O===∠BAA'A''CB⌒'OB' 'B'
A.等弧所对的圆心角相等； B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等； C.等弦所对的圆心角相等； D.相等的圆心角所对的弧相等.
注意：
等弧只存在于同圆或等圆中 而相等的圆心角及相等的弦未必在同圆或等圆中.
巩固小练习
2.如图，已知OC是⊙O的半径，过OC的中点D作DC
的垂线交⊙O于点A,B,以下结论正确的是_①__②__③__④_. ⑤
·
O
A
∠AOB=∠A'OB'
C ●
结论
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的 两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要 有一组量相等，其他两组量就分别相等.
解读：“圆心角”、“弧”、“弦”是不 同种的图形，通过圆心角的性质这一条性 质，就在角、线段、弧之间架起了一座桥 梁.如：解决圆心角的问题可以转化为求弦 或弧的问题.
下B与列B说′重法合正．确的是（ ） 圆一的、每 圆个心圆角心：角顶都点对在应圆唯心一的的角一叫条做弧圆和心一角条. 弦，即圆心角确定时，它所对的弧及弦也确定下来. 由圆旋心转 角可是得顶，点两在弦圆重心合，，且角的两边是两半径所在的射线的角.
B 等求弧所 相对等的可圆以心转角化相为等求；角相等或线段相等；
冀教版九上
第二十八章 相等的圆心角所对的弧相等.
同圆中相等弦所对的弧相等
圆
理由：连接OA,OB,做OM⊥AB于点M
（2）在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弧是否相等？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等．
28.3圆心角和圆周角 又有OA=OB,AE=BF
两交点所连的弦是圆心角所对的弦. 三下角列形 说的法外正心确到的这是个（三角）形的三边距离相等；
同圆圆心中 角相就等是弦在所圆对心的弧角相. 等 A∠BA、OBA所'B对'所的对弦的是优A弧B与. 劣弧分别重合，
A 在旋同转圆 后或，等由圆于中∠A，O相B＝等∠的A圆'O心B′角，所对以的射弦线相OA等与，O所A′对及的射弧线也OB相与等O．B′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，
AC=BD
A⌒C=B⌒D
典例精析
例2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC,OD分别交
AB于E,F，且AE=BF，猜想AC和BD的数量关系，
并说明理由.
方法一：
解：AC=BD 理由：连接OA,OB
∵OA=OB
O
∴∠OAB=∠OBA
又有OA=OB,AE=BF
AE C
B F
D
∴△OAE≌△OBF ∴∠AOC=∠BOD ∴AC=BD
圆掌的握每 圆个心圆角心的角概都念对及应圆唯心一角的与一弧条、弧弦和之一间条的弦关，系即. 圆心角确定时，它所对的弧及弦也确定下来.
O· ∠AOB所对的弦是AB. 观AB察、三A个'B'圆所中对的锐优角弧∠与A劣O弧B,分钝别角重∠C合O，D,平角∠EOF,它们有什么共同特征？
旋转后，由于∠AOB＝∠A'OB′，所以射线OA与OA′及射线OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合， B与B′重合． 下弦列AB说与法弦正A确′B′的重是合（． ） 圆心角是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角.
圆的每个圆心角都对应唯一的一条弧和一条弦， 即圆心角确定时，它所对的弧及弦也确定下来.
想一想
当圆心角确定时，它所对的弧及弦就确定下来，那 当两个圆心角相等时，它们所对的弧及弦之间会具 有怎样的关系呢？
如图：在⊙O中， ∠AOB=∠A'OB',⌒AB与A⌒'B', B′ 弦AB与弦A'B'有什么关系？
B 解读：“圆心角”、“弧”、“弦”是不同种的图形，通过圆心角的性质这一条性质，就在角、线段、弧之间架起了一座桥梁.
∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM
B′ （1）在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦是否相等？
圆心角是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角.
（2）在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弧是否相等？
典例精析 例1.（变式）已知，如图，AB为⊙O的直径，
点M,N分别是AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB, 垂足分别为M、N.求证：⌒AC=⌒BD.
方法一：连接OC、OD
C
D
OA=OB M,N为AO、BO中点
A
●
MO
N
OM=ON (OC=OD)
B
△COM≌△DON(HL)
∠AOC=∠BOD
同圆中相等的圆心角 所对的弧相等
O
角∠AOB=∠DOE,但弧AB
B E 与弧DE并不相等，弦AB
与弦DE也不相等.
一起探究
（1）在同圆或等圆中，若两条弧相等，则 当圆心角确定时，它所对的弧及弦就确定下来，那当两个圆心角相等时，它们所对的弧及弦之间会具有怎样的关系呢？
∴AB=A'B',AB=A'B'
它们所对的圆心角是否相等，所对的弦是否 掌握圆心角的概念及圆心角与弧、弦之间的关系.
思考：例题中用到了哪条结论？ 一、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
相等？ 相等 在△ABM中可得，AB＜AM+BM,即AB＜2CD.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等．
A′ ∠AOB=∠A'OB'
二、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等．
观察三个圆中的锐角∠AOB,钝角∠COD,平角∠EOF,它们有什么共同特征？
典例精析
例1.（课本154页例1.）已知，如图，AB为⊙O的直径，
点M,N分别在AO,BO上，CM⊥AB,DN⊥AB,分别
交⊙O于点C,D,且A⌒D=⌒BC.求证：CM=DN. 相等的圆心角所对的弧相等.
圆心角就是在圆心的角. （2）在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弧是否相等？
A⌒C=⌒BD
典例精析 例1.（变式）已知，如图，AB为⊙O的直径，
点M,N分别是AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB, 垂足分别为M、N.求证：A⌒C=B⌒D.
方法二：连接OC、OD、AC、BD
C
D
CM⊥OA M为OA的中点
A
●
MO
N
CM垂直平分AO
B
OC=AC 同理OD=BD
同圆中相等弦所对的 弧相等
A.如果一个角的一边过圆心，则这个角是圆心角. B.圆心角α的取值范围是0°＜α＜180°. C.圆心角是顶点在圆心，且角的两边是两半径所 在的射线的角. D.圆心角就是在圆心的角.
新课学习
圆心角的两边分别与圆相交， 两交点间的弧为圆心角所对的弧， 下列说法正确的是（ ）
相 AB等、的A圆'B'心所角对所的对优的弧弧与相劣等弧.分别重合， 如OA图=，OBABM是,N⊙为OAAO的、弦B，O中半点径OC,OD分别交AB于E,F，且AE=BF，猜想AC和BD的数量关系，并说明理由.
A⌒C=⌒BD OC=OD
C
D
△OMC≌△OND ∠AOC=∠BOD
CM=DN
典例精析
方法二：连接OC、OD，AC、BD
⌒⌒
A
M ON
AD=BC
●
B
OA=OB ∠AOC=∠BOD
A⌒C=⌒BD OC=OD
C
D
△AOC≌△BOD ∠AOC=∠BOD
CM=DN
思考：例题中用到了哪条结论？
同圆中相等的弧所对的圆心角相等
A′ B
·
O
A
想一想
旋转后，由于∠AOB＝∠A'OB′，所以 射线OA与OA′及射线OB与OB′重合．而 同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′， 从而点A与A′重合，B与B′重合．
A′
则A⌒B与A⌒'B' 重合，
B′
B 弦AB与弦A′B′重合．
·
O
A
即 ⌒AB =A⌒'B'
AB=A'B'
结论
· ∴EM=FM，而OM⊥AB
同圆中相等的弧所对的圆心角相等
O
A
一起探究
（2）在同圆或等圆中，若两条弦相等，则
它们所对的圆心角是否相等，所对的弧是否
相等？ 相等 A′
B B′
·
O
A
如图，在⊙O中，当AB=A'B'时， 由旋转可得，两弦重合， 则点A与A'，点B与B'分别重合， AB、A'B'所对的优弧与劣弧分 别重合，
第一课时 圆心角及其性质
弦AB与弦A′B′重合．
M 下列说法正确的是（ ） A 下列说法正确的是（ ）
O
●
N
⌒⌒
AD=BC
B
∠AOC=∠BOD ∠OMC=∠OND
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.
AB、A'B'所对的优弧与劣弧分别重合， ∠AOB所对的弦是AB.
AE MFB 来自∠EOM=∠FOM ∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM
C
D 即∠AOC=∠BOD
∴AC=BD
巩固提升
圆心角性质的应用 在圆中 1.求弧相等可以转化为求角相等或线段相等； 2.求线段相等可以转化为求角相等或弧相等； 3.求角相等可以转化为求线段相等或弧相等.
巩固小练习
1.下列说法正确的是（ A ）
︵ 理掌由握： 圆连心接角O的A概,O念B及,做圆O心M角⊥与AB弧于、点弦M之间的关系.
如观图察， 三在个⊙圆O中中的，锐A角B∠=2ACODB,,则钝下角列∠C结O论D正,平确角的∠是EO（F,它）们有什么共同特征？
如图,∠AOB所对的弧是AB 在∴A同B圆=A或'B等',A圆B=中A，'B两' 个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.
三角形的外心到这个三角形的三边距离相等； 两交点所连的弦是圆心角所对的弦.
如图,∠AOB所对的弧是AB
一、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
第一课时 如：解决圆心角的问题可以转化为求弦或弧的问题.
下列说法正确的是（ ） 第一课时 圆心角及其性质
圆心角及其性质
圆的每个圆心角都对应唯一的一条弧和一条弦，即圆心角确定时，它所对的弧及弦也确定下来.
新课学习
唯一的判定 条件
一、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
D
B
O·
·O
F
·O
C
E
观察三个圆中的锐角∠AOB,钝角∠COD,平
角∠EOF,它们有什么共同特征？顶点都在圆心
巩固小练习 1.下面的图形中，是圆心角的是（ D ）
A B
A B
O·
O·
P
P
A
B
A B
O·
C
A B
O·
D
巩固小练习
2.下列说法正确的是（ C ）
AB、A'B'所对的优弧与劣弧分别重合，
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.
而相等的圆心角及相等的弦未必在同圆或等圆中.
∴AB=A'B',AB=A'B'
学习目标
1.掌握圆心角的概念及圆心角与弧、 弦之间的关系.
2.会用圆心角与弧、弦之间的关系解 决问题.
AB、A'B'所对的优弧与劣弧分别重合，
圆心角的两边分别与圆相交，
方法一：连接OC、OD 观察三个圆中的锐角∠AOB,钝角∠COD,平角∠EOF,它们有什么共同特征？
二、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等． 相等的圆心角所对的弧相等.
∴AB=A'B',AB=A'B'
AB、A'B'所对的优弧与劣弧分别重合，