神奇速算术-速算技巧-乘法速算技巧

神奇速算术-速算技巧-乘法速算技巧
神奇速算术-速算技巧-乘法速算技巧
神奇速算术
速算技巧Ａ、乘法速算
⼀、⼗位数是1的两位数相乘
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满⼗前⼀。

例：15×17
15 + 7 = 22
5 × 7 = 35
---------------
255
即15×17 = 255
解释：
15×17
=15 ×（10 + 7）
=15 × 10 + 15 × 7
=150 + （10 + 5）× 7
=150 + 70 + 5 × 7
=（150 + 70）+（5 × 7）
为了提⾼速度，熟练以后可以直接⽤“15 + 7”，⽽不⽤“150 + 70”。

例：17 × 19
17 + 9 = 26
7 × 9 = 63
连在⼀起就是255，即260 + 63 = 323
两个20以内数的乘法
两个20以内数相乘,将⼀数的个位数与另⼀个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。

如12×13＝156,计算程序是将12的尾数2,加⾄13⾥,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。

⼆、个位是1的两位数相乘
⽅法：⼗位与⼗位相乘，得数为前积，⼗位与⼗位相加，得数接着写，满⼗进⼀，在最后添上1。

例：51 × 31
50 × 30 = 1500
50 + 30 = 80
------------------
1580
因为1 × 1 = 1 ，所以后⼀位⼀定是1，在得数的后⾯添上1，即1581。

数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使⽤了。

例：81 × 91
80 × 90 = 7200
80 + 90 = 170
------------------
6 × 8 = 48
----------------------
3248
得数的排序是右对齐，即向个位对齐。

这个原则很重要。

六、被乘数⾸尾相同，乘数⾸尾和是10的两位数相乘。

乘数⾸位加1，得出的和与被乘数⾸位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有⼗位⽤0补。

例：66 × 37
（3 + 1）× 6 = 24--
6 ×
7 = 42
----------------------
2442
例：99 × 19
（1 + 1）× 9 = 18--
9 × 9 = 81
----------------------
1881
七、被乘数⾸尾和是10，乘数⾸尾相同的两位数相乘
与帮助6的⽅法相似。

两⾸位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有⼗位补0。

例：46 × 99
4 × 9 + 9 = 45--
6 × 9 = 54
-------------------
4554
例:82 × 33
8 × 3 + 3 = 27--
2 ×
3 = 6
-------------------
2706
⼋、两⾸位和是10，两尾数相同的两位数相乘。

两⾸位相乘，积加上⼀个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平⽅），得数作为后积，没有⼗位补0。

例：78 × 38
7 × 3 + 8 = 29--
8 × 8 = 64
-------------------
2964
例：23 × 83
2 × 8 +
3 = 19--
3 × 3 = 9
--------------------
1909
Ｂ、平⽅速算
⼀、求11～19 的平⽅
底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满⼗前⼀。

例：17 × 17
17 ＋ 7 = 24-
7 × 7 = 49
---------------
289
参阅乘法速算中的“⼗位是1 的两位相乘”
⼆、个位是1 的两位数的平⽅
底数的⼗位乘以⼗位（即⼗位的平⽅），得为前积，底数的⼗位加⼗位（即⼗位乘以2），得数为后积，在个位加1。

例：71 × 71
7 × 7 = 49--
7 × 2 = 14-
1
-----------------
5041
参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”
三、个位是5 的两位数的平⽅
⼗位加1 乘以⼗位，在得数的后⾯接上25。

例：35 × 35
（3 + 1）× 3 = 12--
25
----------------------
1225
四、21～50 的两位数的平⽅
在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平⽅时，若把它们记住了，就可以很省事了。

它们是：
21 × 21 = 441
22 × 22 = 484
23 × 23 = 529
24 × 24 = 576
求25～50 的两位数的平⽅，⽤底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平⽅作为后积，满百进1，没有⼗位补0。

例：37 × 37
37 - 25 = 12--
（50 - 37）^2 = 169
----------------------
1369
注意：底数减去25后，要记住在得数的后⾯留两个位置给⼗位和个位。

例：26 × 26
26 - 25 = 1--
（50-26）^2 = 576
-------------------
676
Ｃ、加减法
⼀、补数的概念与应⽤
补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某⼀数后所剩下的数。

例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。

补数的应⽤：在速算⽅法中将很常⽤到补数。

例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

Ｄ、除法速算
⼀、某数除以5、25、125时
1、被除数÷ 5
= 被除数÷ (10 ÷ 2)
= 被除数÷ 10 × 2
= 被除数× 2 ÷ 10
2、被除数÷ 25
= 被除数× 4 ÷100
= 被除数× 2 × 2 ÷100
3、被除数÷ 125
= 被除数× 8 ÷100
= 被除数× 2 × 2 × 2 ÷100
在加、减、乘、除四则运算中除法是最⿇烦的⼀项，即使使⽤速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。

因本⼈⽔平所限，上⾯的算法不⼀定是最好的⼼算法
⼆.⾸同尾互补的乘法
两个⼗位数相乘,⾸尾数相同,⽽尾⼗互补,其计算⽅法是:头加1,然后头乘为前积,尾乘尾为后积,两积连接起来,就是应求的得数。

如26×24＝624。

计算程序是:被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。

三.乘数加倍,加半或减半的乘法
在⾸同尾互补的计算上,可以引深⼀步就是乘数可加倍,加半倍,也可减半计算,但是:加倍、加半或减半都不能有进位数或出现⼩数,如48×42是规定的算法,然⽽,可以将乘数42加倍位84,也可以减半位21,也可加半倍位63,都可以按规定⽅法计算。

48×21＝1008,48×63＝3024，48×84=4032。

有进位数的不能算。

如87×83＝7221,将83加倍166,或减半41.5,这都不能按规定的⽅法计算。

四.⾸尾互补与⾸尾相同的乘法
⼀个数⾸尾互补,⽽另⼀个数⾸尾相同,其计算⽅法是:头加1,然后头乘头为前积,尾乘尾为后积,两积相连为乘积。

如37×33＝1221,计算程序是(3＋
1)×3×100＋7×3＝1221。

五.两个头互补尾相同的乘法
两个⼗位数互补,两个尾数相同,其计算⽅法是:头乘头后加尾数为前积,尾⾃乘为后积。

如48×68＝3264。

计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。

六.⾸同尾⾮互补的乘法
两个⼗位数相乘,⾸位数相同,⽽两个尾数⾮互补,计算⽅法:头加1,头乘头,尾乘尾,把两个积连接起来。

再看尾和尾的和⽐10⼤⼏还是⼩⼏,⼤⼏就加⼏个⾸位数,⼩⼏就减掉⼏个⾸位数。

加减的位置是:⼀位在⼗位加减,两位在百位加减。

如36×35＝1260,计算时(3＋1)×3＝12 6×5＝30 相连为1230 6＋5＝11,⽐10⼤1,就加⼀个⾸位3,⼀位在⼗位加，1230＋30＝1260 36×35就得1260。

再如36×32＝1152,程序是(3＋1)×3＝12,6×2＝12,12与12相连为1212,6＋2＝8,⽐10⼩2减两个3,3×2＝6,⼀位在⼗位减,1212－60就得1152。

七.⼀数相同⼀数⾮互补的乘法
两位数相乘,⼀数的和⾮互补,另⼀数相同,⽅法是:头加1,头乘头,尾乘尾,将两积连接起来后,再看被乘数横加之和⽐10⼤⼏就加⼏个乘数⾸。

⽐10⼩⼏就减⼏个乘数⾸,加减位置:⼀位数⼗位加减,两位数百位加减,如65×77＝5005,计算程序是(6＋1)×7＝49，5×7＝35,相连为4935,6＋5＝11,⽐10⼤1,加⼀个7,⼀位数⼗位加。

4935＋70＝5005
⼋.两头⾮互补两尾相同的乘法
两个头⾮互补,两个尾相同,其计算⽅法是:头乘头加尾数,尾⾃乘。

两积连接起来后,再看两个头的和⽐10⼤⼏或⼩⼏,⽐10⼤⼏就加⼏个尾数,⼩⼏就减⼏个尾数,加减位置:⼀位数⼗位加减,两位数百位加减。

如67×87＝5829,计算程序是:6×8＋7＝55,7×7＝49,相连为5549,6＋8＝14,⽐10⼤4,就加四个7,4×7＝28,两位数百位加,5549＋280＝5829
九.任意两位数头加1乘法
任意两个⼗位数相乘,都可按头加1⽅法计算:头加1后,头乘头,尾乘尾,将两个积连接起来后,有两⽐,这两⽐是⾮常关键的,必须牢记。

第⼀是⽐⾸,就是被乘数⾸⽐乘数⾸⼩⼏或⼤⼏,⼤⼏就加⼏个乘数尾,⼩⼏就减⼏个乘数尾。

第⼆是⽐两个尾数的和⽐10⼤⼏或⼩⼏,⼤⼏就加⼏个乘数⾸,⼩⼏就减⼏个乘数⾸。

加减位置是:⼀位数⼗位加减,两位数百位加减。

如:35×28＝980,计算程序是:(3＋1)×2＝8,5×8＝40,相连为840,这不是应求的积数,还有两⽐,⼀是⽐⾸,3⽐2⼤1,就要加⼀个乘数尾,加8,⼆是⽐尾,5＋8＝13,13⽐10⼤3,就加3个乘数⾸,3×2＝6,8＋6＝14,两位数百位加,840＋140＝980。

再如:28×35＝980, 计算程序是:(2＋1)×3＝9,8×5＝40,相连位940,⼀是⽐⾸,2⽐3⼩1,减⼀个乘数尾,减5,⼆是⽐尾,8＋5＝13,⽐10⼤3,加三个3,3×3＝9,9－5＝4,⼀位数⼗位加,940＋40＝980。

特殊两位数乘法速算
2009-03-15 18:40
速算是提⾼学⽣⼼算能⼒，发展学⽣思维的有效途径，在速算过程中，要使运算尽可能简便、快速、正确，就要注意培养学⽣对数字的感觉、直觉、熟记⼀些常⽤的数据。

同学们，三分学，七分练，只要耐⼼去练，熟能⽣巧，你⼀定会收到预期的效果，也相信你们⼀定会通过数学的学习，变得越来越聪明。

某些⼆位数的速乘法:两位数与两位数相乘是⽇常⽣活中经常遇到的事。

如去买菜，西红柿每⽄1.8元，买了1.2⽄，该付多少钱？⼀个3.5⽶见⽅的房间有多少平⽅⽶？某单位给员⼯的午餐补贴是每天15元，19个员⼯每天要补贴多少钱？等等。

这些问题看似简单，但在没有计算器和纸笔的情况下，要很快算出正确答案也不是⼀件⾮常容易的事。

这⾥介绍的“某些⼆位数乘法的速算（⼼算、⼝算）法”将两位数的乘法转化成了⼀位数的乘法以及加、减法，可以快
速⽽正确地得到答案，虽然不能涵盖所有的两位数乘法，但如能熟练掌握，仍可带来很⼤的⽅便。

⼀、“⼗位上数字相同，个位上数字互补”的两个两位数相乘
如43×47这样的两位数乘式，两个乘数⼗位上的数字相等（此例都是4），个位上的数字互补（所谓互补，就是其和为10。

此例是3和7），这⼀类两位数乘法的速算⼝诀是：
⼗位乘以⼤⼀数，个位之积后⾯拖。

就以43×47为例来说明⼝诀的运⽤。

⼝诀第⼀句“⼗位乘以⼤⼀数”的操作是：⽤4（⼗位上的数）乘以5（⽐⼗位上的数⼤1的数），得到20。

⼝诀第⼆句“个位之积后⾯拖”的操作是：⽤3乘7得积21，（个位之积）直接写在20的后⾯（后⾯拖），得2021就是答案。

需要注意的是当个位数是1和9时，它们的乘积9也是个⼀位数，在往⼗位数的乘积后⾯“拖”的时候，在9的前⾯要加⼀个0，即把9看成09。

例如91×99，答案不是909⽽应该是9009。

此速算法的代数证明如下：
任意⼀个两位数可以⽤10a＋b来表⽰，（例如56就是10×5＋6这⾥的a是5，b是6）另⼀个不同的⼗位数则可以⽤10c＋d来表⽰,两个不同的⼗位数相乘就可以写成：（10a＋b）（10c＋d）由于规定的条件是“⼗位上数字相同”所以上述代数式可以改写成（10a＋b）（10a＋d），把这个代数式展开如下：
（10a＋b）（10a＋d）＝100a2＋10ad＋10ab＋bd
＝100a2＋10a(d＋b) ＋bd
由于规定的另⼀个条件是“个位上数字互补（之和等于10）”，也就是式中的d＋b＝10所以上式可以演化为
＝100a2＋100a＋bd
这个式⼦中的a就是“⼗位上的数字”，⽽(a＋1)就是“⽐它⼤1的数”，它们的乘积再乘以100就是在后⾯添两个0罢了。

个位数的乘积bd“拖”在后⾯实际上是加在两个0位上。

这也正是bd＝9时要写成0 9的道理。

适⽤于此类速算法的乘式有如下45组：
11×19 12×18 13×17 14×16 15×15 21×29 22×28 23×27 24×26 25×25 31×39 32×38 33×37 34×36 35×35 41×49 42×48 43×47 44×46 45×45 51×59 52×58 53×57 54×56 55×55 61×69 62×68 63×67 64×66 65×65 71×79 72×78 73×77 74×76 75×75 81×89 82×88 83×87 84×86 85×85 91×99 92×98 93×97 94×96 95×95
速算中遇有⼩数点时，可先不考虑它，待算出数字后，看两个乘数中⼀共有⼏位⼩数点，在答案中点上就是了。

例如每⽄1.8元的西红柿，买了1.2⽄，该多少钱？1乘2得2，后⾯拖16（2乘8）得216。

点上两位⼩数点得2.16元。

⼆、“⼗位上数字互补，个位上数字相同”的两个两位数相乘
第⼀种速算法要求“”⽽这⼀类两位数乘法要求的条件恰恰相反，要求“⼗位上数字互补，个位上数字相同”。

这⼀类两位数乘法的速算⼝诀是：
个位加上⼗位积，个位平⽅后⾯接
就以47×67为例来说明⼝诀的运⽤。

⽤7（“个位”上的数字）加上24（⼗位上两个数字的乘积）得31（就是⼝诀“个位加上⼗位积”），在31的后⾯接着写上49（个位数的平⽅），得3149就是答案。

需要注意的是当个位数的平⽅也是个⼀位数时，在“接”的时候，在其前⾯要添⼀个0，即把1看成01；把4看成04；把9看成09。

例如23×83，答案不是199⽽应该是1909。

此速算法的代数证明如下：
(10a＋b)(10c＋b)＝100ac＋10ab＋10bc＋b2
＝100ac＋10b(a＋c) ＋b2
因为⼗位上数字互补，所以式中的a＋c等于10，于是上式演化为
＝100ac＋100b＋b2
＝100（ac＋b）
这（ac＋b）就是“个位加上⼗位积”，乘100等于后⾯添两个0。

式中的“＋b2”
就是加上个位数的平⽅。

由于个位数的平⽅最多也就是两位数，所以必定是加在两个0位上，实际效果就是“接”在前⾯数字的后⾯。

适⽤于此类速算法的乘式有如下45组：
11×91 21×81 31×71 41×61 51×51 12×92 22×82 32×72 42×62 52×52 13×93 23×83 33×73 43×63 53×5314×94 24×84 34×74 44×64 54×54 15×95 25×85 35×75 45×65 55×55 16×96 26×86 36×76 46×66 56×56 17×97 27×87 37×77 47×67 57×57 18×98 28×88 38×78 48×68 58×58 19×99 29×89 39×79 49×69 59×59
其中加⿊字体的55×55与第⼀种速算法重叠，也就是它既可以适⽤于第⼆种速算法，也适⽤于第⼀种速算法。

三、“⼗⼏乘⼗⼏”
如18×16这样的乘式，两个两位数⼗位上的数相等⽽且都是1，但个位上的两个数字则是任意的（并不要求其互补），这就是“⼗⼏乘⼗⼏”。

这⼀类两位数乘法的速算⼝诀是：
⼗⼏乘⼗⼏，好做也好记，⼀数加上另数个，⼗倍再加个位积
以18×16为例来说明⼝诀的运⽤。

⽤18（“⼀数”，即其中的⼀个数）加上6（另外⼀个数的个位数，简称“另数个”）得24并将其扩⼤10倍（后⾯添个0即可）成240，再加上两个个位数的乘积（6、8得48），所得288就是18×16的答案。

当个位数的乘积也是⼀位数时，由于这个积是加在前⾯⼀个已求出的和数扩⼤10倍后的那个0上的，所以实际上是直接“拖”在那个“和数”的后⾯就可以了。

例如12×13 眼睛⼀看或是脑⼦⼀转就知道是15（12加3）后⾯拖⼀个6（2×3）
答案是156了。

此速算法的代数证明如下：
（10+a）(10+b)＝100+10a+10b+ab
＝10(10+a+b)+ab
括号中的10+a+b可以看成（10+a）+b或(10+b)+a其中的（10+a）或(10+b)即是两个乘数中的⼀个，⽽所加的b或a就是另⼀个乘数的个位数，这就是⼝诀“⼀数加上另数个”的来由。

(10+a+b)的前⾯还有10相乘，所以第⼆句⼝诀⼀开始就是要求“⼗倍”，然后“再加个位积”（就是公式中的+ab）。

适⽤于此类速算法的乘式有如下45组：
11×11 11×12 11×13 11×14 11×15 11×16 11×17 11×18 11×19
12×12 12×13 12×14 12×15 12×16 12×17 12×18 12×19
13×13 13×14 13×15 13×16 13×17 13×18 13×19
14×14 14×15 14×16 14×17 14×18 14×19
15×15 15×16 15×17 15×18 15×19
16×16 16×17 16×18 16×19
17×17 17×18 17×19
18×1 8 18×19
19×19
其中加⿊字体的五组与第⼀种速算法重叠，也就是这五组乘式既可以适⽤于第⼆种速算法，也适⽤于第⼀种速算法。

四、⼆⼗⼏乘⼆⼗⼏
如26×27这样的乘式，两个两位数⼗位上的数相等⽽且都是2，但个位上的两个数字则是任意的（并不要求其互补），这就是“⼆⼗⼏乘⼆⼗⼏”。

这⼀类两位数乘法的速算⼝诀是：
⼀数加上另数个，廿倍再加个位积
以26×27为例来说明⼝诀的运⽤。

⽤26加7得33，“廿倍”就是乘2后再添0，所以得660。

再加上42（个位上的6乘7）答案是702。

当个位数的乘积也是⼀位数时，由于这个积是加在前⾯⼀个已求出的和数扩⼤20倍后的那个0上的，所以实际上是直接“拖”在那个翻倍后的“和数”的后⾯就可以了。

例如22×23 眼睛⼀看或是脑⼦⼀转就知道是25（22加3）翻倍后得50，后⾯拖⼀个6（2×3）答案是506了。

此速算法的代数证明如下：
（20+a）(20+b)＝400+20a+20b+ab
括号中的20+a+b可以看成（20+a）+b或(20+b)+a其中的（20+a）或(20+b)即是两个乘数中的⼀个，⽽所加的b或a就是另⼀个乘数的个位数，这就是⼝诀“⼀数加上另数个”的来由。

(20+a+b)的前⾯还有20相乘，所以第⼆句⼝诀⼀开始就是要求“廿倍”，然后“再加个位积”（就是公式中的+ab）。

适⽤于此类速算法的乘式有如下45组：
21×21 21×22 21×23 21×24 21×25 21×26 21×27 21×28 21×29
22×22 22×23 22×24 22×25 22×26 22×27 22×28 22×29
23×23 23×24 23×25 23×26 23×27
23×28 23×29
24×24 24×25 24×26 24×27 24×28 24×29
25×2 5 25×26 25×27 25×28 25×29
26×26 26×27 26×28 26×29
27×27 27×28 27×29
28×28 28×29
29×29
其中加⿊字体的五组与第⼀种速算法重叠，也就是这五组乘式既可以适⽤于第三种速算法，也适⽤于第⼀种速算法，⽽且是⽤第⼀种速算法更快捷，更不容易出错。

不难看出，“⼆⼗⼏乘⼆⼗⼏”的⼝诀与“⼗⼏乘⼗⼏”的⼝诀极为相似。

所不同的是“⼗⼏乘⼗⼏”速算时，在求出“⼀数加上另数个”之后，要求“⼗倍”“再加个位积”，⽽是“⼆⼗⼏乘⼆⼗⼏”是“廿倍（⼆⼗倍）”，然后“再加个位积”。

实际上，这种⽅法⼀直可以适⽤到“九⼗⼏乘九⼗⼏”。

但是“⼀数加上另数个”之后要乘以9，数字就⽐较⼤了，⼀般⼈容易出错。

那就真正是“欲速则不达”了。

⼼算底⼦好的⼈不妨练习⽤此法去做“三⼗⼏乘三⼗⼏”、“四⼗⼏乘四⼗⼏”……
五、四⼗⼏的平⽅
所谓“四⼗⼏”，就是⼗位数是4的两位数，它的个位数可以是1——9的任意⼀个数。

这样的数⼀共有9个，即41、42、43、44、45、46、47、48、49。

求它们平⽅的速算⼝诀有两种。

⽅法⼀的⼝诀：
廿五减去个位补，个补平⽅后⾯拖。

以求43的平⽅为例说明⼝诀的运⽤。

⽤基数25减去个位数的补数（即减去“个位补”此例的个位数是3，其补数是7）得到差数18后，在后⾯接着写上个位数补数的平⽅（7的平⽅）49，得到1849就是答案了。

当“个位数补数的平⽅”是个⼀位数时，在“拖”的时候前⾯要添⼀个0。

例如求47的平⽅。

个位补是3，被25减得22，个补的平⽅是9，答案应该是2209⽽不是229。

这9个数字中，求45平⽅的速算法与第⼀种速算法重叠，也就是45的平⽅既
可以适⽤于第五种速算法，也适⽤于第⼀种速算法。

此速算法的代数证明如下：
“四⼗⼏”的平⽅的代数式是（40＋a）2
设b是的a补数, 即a＋b＝10 于是a可以⽤b来表⽰: a＝10-b 这样就有：（40＋a）2＝[40＋（10－b）]2
＝(50－b)2
＝2500－100b＋b2
＝100(25－b)＋b2
括号内的25－b就是“廿五减去个位补”，再乘100就是后⾯添两个0，b2就是“个补平⽅”，所谓“后⾯拖”实际是加在两个0位上。

此⽅法前后两句⼝诀都⽤个位数的“补数”。

⽅法⼆的⼝诀：
⼗五加上个位数，个补平⽅后⾯拖
同样以求43的平⽅为例说明⼝诀的运⽤。

⽤15加上个位数3得18，个位数3的补数是7，7的平⽅是49，把49写在18后⾯得1849就是答案了。

此速算法的代数证明如下：
⽅法⼀已经证明了
（40＋a）2＝100(25－b)＋b2
现在⽤10－a 代⼊括号中的b就得到
（40＋a）2＝100[25－（10－a)]＋b2
＝100（25－10＋a) ＋b2
＝100（15＋a）＋b2
⽅法⼆的两句⼝诀就是根据最后100（15＋a）＋b2这个式⼦来的。

此⽅法的前⼀句⽤“个位数”，后⼀句⽤“个位数的补数”。

各⼈可根据⾃⼰习惯选⽤⽅法⼀或⽅法⼆。

六、五⼗⼏的平⽅
所谓“五⼗⼏”，就是⼗位数是5的两位数，它的个位数可以是1——9的任意⼀个数。

这样的数⼀共有9个，即51、52、53、54、55、56、57、58、59。

求它们平⽅的速算⼝诀是：
廿五加上个位数，个位平⽅后⾯拖。

以求58的平⽅为例说明⼝诀的运⽤。

⽤基数25加上个位数8得33，个位数8的平⽅是64，把64写在33后⾯得3364这就是答案了。

（此法不⽤“补数”）
此速算法的代数证明如下：
（50＋a）2＝2500 ＋100a＋a2
＝100（25＋a）＋a2
此式与⼝诀的关系已经是⼀⽬了然了。

七、“⼗位数相差1，个位数互补”的两位数相乘
如37×43、62×58、81×99这样的乘式就是“⼗位数相差1，个位数互补”的
两位数相乘。

这类乘式的速算⽅法也有两种。

⽅法⼀的⼝诀：
⼤⼗平⽅减去⼀，⼩个添零加个积，前后相接在⼀起。

以求62×58为例说明⼝诀的运⽤。

因为62⽐58⼤，所以把62叫做“⼤数”，58叫做“⼩数”。

⼝诀中的“⼤⼗”指的是“⼤数”⼗位上的数字；“⼩个”指的是“⼩数”个位上的数字，⽽不⼀定是⽐较⼩的那个各位数。

如本例中的“⼩个”是8⽽不是2，“个积”是指个位数的乘积。

⽤6（“⼤⼗”）的平⽅36减去1得35。

再⽤80（“⼩个添0”）加上16（“个积”）得96。

答案就是3596。

此速算法的代数证明如下：
设⼤数为10a＋b,⼩数为10c＋d。

(10a＋b)(10c＋d) ＝100ac＋10bc＋10ad＋bd
因为⼗位数相差1，b和d互补，所以c＝a－1 ，b＝10－d 以此代⼊上式得：
＝100a(a－1)＋10（a－1）（10－d）＋10ad＋bd
＝100a2－100a＋10(10a－ad－10＋d)＋10ad＋bd
＝100a2－100a＋100a－10ad－100＋
10d＋10ad＋bd
＝100a2－100＋10d＋bd
＝100(a2－1) ＋10d＋bd
式中的(a2－1)就是⼝诀的第⼀句“⼤⼗平⽅减去⼀”，乘100是在后⾯添两个0，为“前后相接”提供了⽅便。

式中的10d＋bd，就是⼝诀的第⼆句“⼩个添0加个积”。

⽅法⼆：
由于任意两个两位数相乘的通式是(10a＋b)(10c＋d),现在的已知条件是⼗位
数相差1，个位数互补，即c＝a－1, d＝10－b 所以
(10a＋b)(10c＋d)＝(10a＋b)[10（a－1）＋10－b]
＝(10a＋b)（10a－10＋10－b）
＝(10a＋b)（10a－b）
＝100a2－10ab＋10ab－b2
＝100a2－b2
式中的a和b分别是数值⽐较⼤的那个两位数⼗位和个位上的数字，上式的意思就是⽤数值⽐较⼤的那个两位数⼗位上的数字平⽅后在后⾯添两个0（即乘以100），然后减去个位上数字的平⽅。

例如76×64，⼗位上的6和7相差1，个位上的6和4互补，符合此速算法的条件。

此题实际上是（70＋6）（70－6）
根据⽅法⼆，选定76（数值⽐较⼤的数），⽤49（⼗位数上7的平⽅）添两个0，得4900，然后减去36（个位数6的平⽅）得4864就是答案了。

所以⽅法⼆就是：⽤数值⽐较⼤的那个两位数⼗位上的数字平⽅后添两个0（即乘以100），然后减去个位上那个数字的平⽅。

⼋、九⼗⼏乘九⼗⼏
九⼗⼏乘九⼗⼏，虽然数字挺⼤，却也有速算的办法。

这个命题的代数式是：（90＋a）(90＋b)考虑到九⼗⼏已经接近100了（差⼀个补数），因此可以利⽤⼀下补数。

令a的补数是c,b的补数是d, 则有：
（90＋a）(90＋b)＝（100－c）(100－d)
＝10000－100c－100d＋cd
＝100(100－c－d)＋cd
这个式⼦表明：九⼗⼏乘九⼗⼏可以这样来速算：⽤100减去两个乘数个位数的补数，再在后⾯拖上两个乘数个位数补数的乘积即可。

例如97×98，⽤100减去3（7的补数）和2（8的补数）得95，⽽补数的乘积是6（06）所以答案就是9506。

为了便于记忆，可以编成这样的⼝诀：
两个个补被百减，个补乘积后⾯写。

由于100(100－c－d)＋cd这个式⼦还可以变化，所以“九⼗⼏乘九⼗⼏”还有⼀种速算法。

因为c和a互补，b和d互补，所以c＝10－a,d＝10－b代⼊到上式的括号中得：
100(100－c－d)＋cd＝100[100－(10－a)－(10－b)]＋cd
＝100(100－10＋a－10＋b)＋cd
＝100(80＋a＋b)＋cd
这个式⼦表明：九⼗⼏乘九⼗⼏也可以这样来速算：⽤80（基数）加上两个乘数的个位数，后⾯再接写个位数补数的乘积即可。

仍以97×98为例。

80加上7和8得95，后⾯接写06（7和8的补数2和3的乘积）得9506就是答案了。

为了便于记忆，也可以编成这样的⼝诀：
⼋⼗加两个位数，个补乘积后⾯拖。

附
九、⼀百零⼏乘⼀百零⼏
这种乘法极容易做。

只要将其中⼀个数加上另⼀个数的个位数，后⾯再写上两个个位数的乘积就是了。

例如：108×107
⽤108加上7（或⽤107加上8）得115 再在其后写上56（7×8的积）得11556就是答案了。

如果⼀定要编两句⼝诀，那么可以这样说：
⼀数加上另数个，个位乘积后⾯凑。

此速算法的代数证明相当简单，这⾥就不赘述了。

⼗、某数乘以⼗五
某数乘以15可以看作乘以1.5再乘以10。

⽽某数乘以1.5就是原数加上它的⼀半。

所以某数乘以15只要⽤原数加上原数的⼀半后后⾯加个0（原数是偶数）或⼩数点往后移⼀位就可以了。

如246×15 ⽤246加上它的⼀半123得369 后⾯加个0得3690就是答案了。

如151×15 ⽤151加上它的⼀半75.5得226.5 把⼩数点往后移⼀位得2265就是答案了。

个位数和为10的两位数乘法速算
2009-02-27 06:49
我在做乘法运算的过程中发现：两位数乘以两位数，如果个位数的和等于10，⼗位数相同，这两个数的乘积，等于⼗位数乘以⼗位数加1，在后⾯续写上个位数的乘积。

（论点）
譬如说，求34×36的积。

个位数4+6=10，⼗位数都是3，符合我这个发现的条件。

根据我这个发现，那么34×36的积应该是，在4×3的积12的后⾯续写上4×6的积24，就是1224.（解释论点）
1．直接利⽤乘法结合律的速算
利⽤乘法结合律，可以把两个因数相乘积是整⼗、整百、整千的先进⾏计算，使计算简便。

为了计算迅速，可以把有些较常⽤的乘法算式记熟，例如：25×4＝100，125×8＝1000，12×5＝60，……例1 计算236×4×25
解：236×4×25
＝236×（4×25）
＝236×100
＝23600
2．乘法交换律、结合律同时运⽤的速算
⼏个因数相乘，先交换因数的位置，使因数相乘积为整⼗、整百、整千的凑在⼀起，根据结合律分组计算⽐较简便。

例2 125×2×8×25×5×4
解：原式＝（125×8）×（25×4）×（5×2）
＝1000×100×10
＝1000000
3．直接利⽤乘法分配律的简算
例3 计算：
（1）175×34×175×66
（2）67×12＋67×35＋67×52＋67
解：（1）根据乘法分配律：
原式＝175×（34＋66）
＝175×100
＝17500
（2）把67看作67×1后，利⽤乘法分配律简算。

原式＝67×（12＋35＋52＋1）
＝67×100
＝6700
4．把⼀个因数拆分成两个因数，利⽤交换律、结合律进⾏巧算例4 计算（1）28×25
（2）48×125
（3）125×5×32×5
解：（1）原式＝4×7×25
＝7×（4×25）
＝7×100
＝700
（2）原式＝6×8×125＝6×（8×125）
＝6×1000
＝6000
（3）原式＝125×8×4×5×5
＝（125×8）×（4×25）
＝1000×100
＝100000
5．间接利⽤乘法分配律进⾏巧算
例5 计算（1）26×99
（2）1236×199
（3）713×101
解：（1）由99＝100－1，
原式＝26×（100－1）
＝26×100－26×1
＝2600－26
＝2574
（2）由199＝200－1，
原式＝1236×（200－1）
＝1236×200－1236×1
＝247200－1236
＝246000－36
＝245964
（3）原式＝713×（100＋1）
＝713×100＋713×1
＝71300＋713
＝72013
6．⼏种常见的特殊因数乘积的巧算
（1）任何⼀个⾃然数乘以0，其积都等于0。

例6 计算1326＋427×9×42×0－315
解：原式＝1326＋0－315
＝1011
（2）在乘法算式中，任何⼀个数乘以1，还得原来的数。

例7 8736×49＋8736×40－8736×88
解：根据乘法分配律，
原式＝8736×（49＋40－88）
＝8736×1
＝8736
（3）求⼀个数乘以5的积
例8 计算12864732×5
解：⼀个数乘以5，实际上就是乘以10的⼀半，因此可以把被乘数末尾添上⼀个0（扩⼤10倍），再把所得的数除以2（减半）即可。

原式＝128647320÷2
＝64323660
（4）求⼀个数乘以11的积
例9 13254638×11
解：把被乘数依次排开，先写上这个数⾸尾两数字，中间再添上相邻两数之和（够10进1），就是这个数乘以11的积。

13254638×11＝145801018
同学们把这种乘以11的速算总结成⼀句话，叫作“两边⼀拉，中间相加”。

（5）求⼗⼏乘以⼗⼏的积
例10 计算18×12
解：如果两个因数都是⼗⼏的数，可以⽤⼀个因数加上另⼀个因数个位上的数，乘以10，再加上它们个位数的积。

原式＝（18＋2）×10＋2×8
＝200＋16
＝216
1、⼗位是1的两位数相乘
⼝诀：先加后乘，满⼗左进。

解释：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积；乘除的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满⼗左进。

[例] 14×12=？
14+2=16
2×4=8
14×12=168（16和8连写）
16×18=？
16+8=24
6×8=48（满⼗左进）
16×18=288 （连写）
2、个位是1的两位数相乘
⼝诀：先乘后加再添⼀，满⼗左进。

[例] 31×41=？
3×4=12
3+4=7
最后添上1
31×41=1271（连写）
71×91=？
7×9=63
7+9=16（满⼗左进）
最后添上1
71×91=6461（连写）
3、两⾸位相同，两尾数和是10的两位数相乘
⼝诀：⼗位加⼀乘⼗位，个位乘积接着写（没有⼗位⽤0补）
解释：⼗位数加上⼀，得出的和与⼗位数相乘，得数为前积；两个个位数相乘，得数为后积（没有⼗位⽤0补）。

[例1]63*67=？
（6+1）*6=42
3*7=21
（连写）4221
即63*67=4221
[例2]71*79=？
（7+1）*7=56
1*9=09（没有⼗位⽤0补）
（连写）5609
即71*79=5609
4、11与多位数相乘
⼝诀：⾸尾放⾸尾，中间挨次加，满⼗向左进。

[例1]23*11=？
2+3=5
2和3分开，5插中间，得253
即23*11=253
[例2]8 9*11=979（满⼗向左进）
8+9=17（8和9分开⾸尾，7插中间，10向左进加⼊前⾯8）
[例3]3245*11=35695
⾸尾分别为3和5，中间依次是5（3+2）、6（2+4）、9（4+5）
5、被乘数⾸尾相同，乘数⾸尾和是10的两位数相乘
⽅法：乘数⾸位加⼀，所得的和与被乘数⾸位相乘，得数为前积；两尾数相乘，得数为后积（没有⼗位⽤0补）例：44*28=？
（2+1）*4=12
8*4=32
（连写）1232
即44*28=1232
22*91=？
（9+1）*2=20
1*2=02（没有⼗位⽤0补）
（连写）2002
即22*91=2002
6、两⾸位和是10，两尾数相同的两位数相乘
⽅法：两⾸位相乘之积加上⼀个尾数，得数当前积；两尾数相乘（尾数平⽅），得数当后积（没有⼗位⽤0补）例：26*86=？
2*8+6=22
6*6=36
（连写）2236
26*86=2236
21*81=？
2*8+1=17
1*1=01（没有⼗位⽤0补）
21*81=1701（连写）
7、多位9与多位的数相乘
⽅法：多位数减⼀得前积，多位9减前积得后积。

[例]2865*9999=？
2865-1=2864（前积）
9999-2864=7135（后积）
2865*9999=28647135（连写）
8、⼀百零⼏乘⼀百零⼏
⽅法：被乘数加上乘数个位，得前积；被乘数个位与乘数个位相乘，得后积。

[例]104*103=？
104+3=107（前积）
4*3=12（后积）
104*103=10712（连写）
尾数带5的数的平⽅等于除开5以后的数乘以⽐它⼤1的数后，在后⾯加上“25“
例如：
15*15 1*(1+1)=2 即 225
25*25 2*(2+1)=6 即 625
35*35 3*(3+1)=12 即 1225
45*45 4*(4+1)=20 即 2025
125*125 12*(12+1)=156 即 15625
加减法中的速算(⼀)
加减法，在我们⽇常⽣活和学习中应⽤最⼴泛，⼤约占到全部计算量的70%左右，掌握⼀些速算⽅法，可以使你的学习事半功倍，计算负担⼤减，学习效率⼤增。

也可以使⼈们的⽇常计算变得不那么烦⼈。

在加减法的速算中，我们的主要⽬的有两个：⼀是将⼤数运算化为⼩数运算；⼆是在进位加和退位减上作⽂章，简化其过程和步骤。

下⾯我只讲算理，希望能抛砖引⽟，请各位朋友举⼀反三。

⼀、利⽤补数，强数将⼤化⼩
例1： 359+98=359+100-02=457
点评 98是由两个⼤数组成的，运算中在个位和⼗位都是进位加，涉及到的是20以内的加法，通过补数的应⽤变为百位加⼀个位减⼆，涉及到的是10以内的加减法，⼤数划⼩了，计算的难度是不是减轻了呢？况且我们记忆10以内的加减组合⽐记忆20以内的加减组合是不是更快更准呢？
例2：463-96=463-100+04=367。