教学大纲_实变函数与泛函分析

《实变函数与泛函分析》教学大纲
课程编号：120233B
课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课
□专业必修课□专业选修课
□√学科基础课
总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0
学分：3
适用对象：经济统计学
先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何
毕业要求：
1.应用专业知识，解决数据分析问题
2.可以建立统计模型，获得有效结论
3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用
4.关注国际统计应用的新进展
5.基于数据结论，提出决策咨询建议
6.具有不断学习的意识
一、课程的教学目标
本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。

本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。

本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。

本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论
证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。

二、教学基本要求
（一）教学内容及要求
《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。

其中要求同学们：
1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。

2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。

3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。

4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。

5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。

（二）教学方法和教学手段
在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。

课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。

（三）实践教学环节
本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。

（四）学习要求
学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。

（五）考核方式
本课程采用闭卷考试的方式进行考核。

考核成绩包括平时成绩与期末考试成
绩。

平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现及期中考试）占40%，期末考试成绩占60%。

三、各教学环节学时分配
教学课时分配
四、教学内容
第一章集合与运算
第一节集合及其运算
1、集合及其运算
2、上极限与下极限
第二节映射
1、映射
2、势
第三节 n维欧氏空间R^n
1、n维欧氏空间R^n
2、闭集、开集和Borel集
3、开集的结构，连续性
4、n维点集连续性的基本定理
本章重点和难点：映射及其性质，集的对等，可数集合，了解集族的交并关系，理解映射，集的对等，可数集合，会求上下极限，利用上下极限求解问
题。

课程考核要求：掌握集合的运算，上下极限的运算，理解映射和势的概念（包括了有关概念），了解直线上点集的构造区间，熟悉Cantor三分集。

复习思考题：P13，1，2，3，4，5，8，10，11，12；P25，1－6，9，10，11，15，18，20，21，22，23；P42，1－7，10，12，15，18，20，22，23，25.
第二章Lebesgue测度
第一节 Lebesgue外测度和可测集
1、外测度
2、Lebesgue可测集
3、测度空间
第二节 Lebesgue可测函数的性质
1、Lebesgue可测函数
2、可测函数的基本性质
3、测度空间上可测函数的性质
第三节可测函数列的收敛性
1、可测函数列的几乎一致收敛与处处收敛性
2、可测函数列的依测度收敛性
3、可测函数与连续函数
4、测度空间上可测函数的收敛性
本章重点和难点：简单函数和可测函数，可测函数的性质和构造，可测函数列的极限。

课程考核要求：了解Lebesgue测度和测度空间的概念，了解可测函数的性质，运算，和构造，理解Lusin定理，了解三个定理和依测度收敛的概念。

复习思考题：P60，1－7，9，10，11，14，15，19，20，24，25，28，29，33，36；P74，1，2，3，4，6，9，12，13，16，18，20，23；P87，1－24.
第三章Lebesgue积分
第一节Lebesgue可测函数的积分
1、非负可测函数的积分
2、一般可测函数的积分
3、黎曼积分与Lebesgue 积分的关系
4、测度空间上可测函数的积分 第二节 Lebesgue 积分的极限定理
1、 Lebesgue 积分与极限运算的交换定理
2、 黎曼可积性的刻画
3、 L （X ，F ，u ）中积分的极限定理 第二节 重积分与累次积分
1、Fubini 定理
2、测度空间上的重积分与累次积分
本章重点和难点： Lebesgue 积分的概念与性质，积分收敛定理，Lebesgue 积分与Riemann 积分的关系，积分与微分， Fubini 定理。

课程考核要求：了解积分的定义，了解积分的性质，掌握计算可测函数的积分，理解四个定理的作用，了解L 及其上的测度，了解重积分和交换积分次序的Fubini 定理。

复习思考题：P110，1－8，11，14，16，17，18，21，22；P129，1-14，17-24；28-30；P148，1-10，12－15，17-20.
第四章L^P 空间 第一节 L^P 空间
1、L^p 空间的定义
2、L^p 空间的性质
3、L^p 空间的完备性
4、L^p 空间的可分性 第二节 L^2空间
1、L^2空间的内积
2、L^2空间的性质 第三节 卷积与Fourier 变换
2()R
1、卷积
2、L^2(R^n)上的Fourier变换
本章重点和难点：L^p空间的各有关知识和概念，包括收敛性，完备性，
列紧性，不动点定理和拓扑空间简介；
课程考核要求：L^P空间定义，性质，完备性和可分性，理解线性空间的范数，距离，掌握Hölder不等式和Minkowski不等式，理解卷积和Fourier变换，掌握Fourier变换和数学分析中所学Fourier变换的不同。

复习思考题：P168，1-6，9，11，13－18，23；P185，1-12，16，19，20，2125，29；P206，1-7，9，10，11，14，17，18，19。

第五章 Hilbert空间
第一节距离空间
1、距离空间定义和完备化
2、列紧性与可分性
3、连续映射与压缩影射原理
第二节 Hilbert空间理论
1、定义
2、正交性
3、Riesz表示定理
第三节 Hilbert空间上的算子
1、线性算子的连续性和有界性
2、共轭算子
3、投影算子
第四节 Hilbert空间上的紧算子
1、紧算子定义
2、Fredholm理论，紧算子的谱
3、Hilbert－Schmidt理论
本章重点和难点：内积空间与Hilbert空间，正交与正交补，正交分解定理，内积空间中的Fourier级数。

课程考核要求：理解距离空间的定义，理解列紧性和可分性，了解几个常见Hilbert空间，了解常见Hilbert空间，正交性和子空间的正交补，掌握Riesz引理，了解算子的性质，掌握共轭算子和投影算子，了解正交化方法和Fourier级数。

复习思考题：P222，1-8，10-14，17-28；P239，1-25；P255，1-6，7－17，20-25；P273，1-7，10-15，17-19.
第六章 Banach空间
第一节 Banach空间
1、Banach空间定义
2、线性赋范空间上的模等价
3、有界线性算子
第二节 Banach空间上的有界线性算子
1、逆算子定理
2、闭图像定理
3、共鸣定理
4、应用
第三节 Banach空间上的连续线性泛函
1、连续线性泛函的存在性
2、共轭空间以及它的表示
3、共轭算子
第四节 Banach空间的收敛性和紧致性
1、弱收敛与＊弱收敛
2、弱列紧性与＊弱列紧性
本章重点和难点：Banach空间的有界线性算子，泛函三大定理，共轭空间与共轭算子以及几种收敛性。

课程考核要求：理解Banach空间，线性算子和线性泛函的概念，理解三大定理的内容，理解共轭空间，共轭算子，Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭算子，理解强收敛性，弱收敛性，泛函序列的收敛性。

复习思考题：P286，1-10，12-19；P297，1-7，10，11，13，15-23；P312，1-14，16-26；P323，1-11，13，14，16，17.
五、其它
本课程总学时为48学时（主要为讲课与习题），在执行时可以根据学生的掌握情况适当调整教学大纲。

六、主要参考书
教材：
郭懋正编著，实变函数与泛函分析，北京大学出版社，2007。

教学参考资源：
［1］程其襄等，实变函数论与泛函分析基础，高等教育出版社，1983。

［2］郭大钧等，实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986。

［3］胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999。

［4］胡适耕，泛函分析，高等教育出版社，2001。

［5］江泽坚，吴智泉，实变函数论，高等教育出版社，1994。

［6］江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社，1994。

［7］夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987。

［8］郑维行，王声望，实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989。

执笔人：范林元教研室主任：系教学主任审核签名：。