打一份~竞赛中的向量和向量方法

BA BC BC
2
的目的是化 BC 为 BA ，将两个向量的模长统一，由
AD AC 结合距离的定义即得 AC BC ．
A
思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以 直接考虑条件的几何意义来证明． BA tBC （ t R ）的几何意义：表示以 A 为终点，起点 在直线 BC 上的所有向量（如图 3） ．
第3页
则 AD ( AB BC CD)2 AB CD BC 2( AB BC ) ( BC CD)
2 2 2
2
2 AC BD AD AB CD BC 0 故 AC BD 只有一个值 0． 故选 A． 【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当 两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特 别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直． 用传统方法， 向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有 向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势． 类似的， 我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂 直于另两组棱中点的连线．
竞赛中的向量和向量方法立体几何中的向量方法平面几何中的向量方法平面向量竞赛题向量的表示方法向量表示方法向量计算方法求特征向量的方法高中向量高中向量知识点总结
向量和向量方法
李智伟 林绍华
（湖北省宜昌市第一中学，443000）
（本讲适合高中） 空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中 多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001 年高中课改后，这个更 接近现代数学的数学工具， 被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数 与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的 图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛 试题中涉及的一些向量问题作一些探究． 一、有关知识： （1） 共线向量定理： a b(b 0) 存在唯一的实数 使得 a = b ． （2） 平面向量基本定理：设向量 e1 , e2 为平面内两个不共线的向量，则对于平 面内任意一个向量 a ，有且仅有唯一的有序实数对 1 , 2 使得 a 1e1 2e2 ． （3） 若 OP OA OB( , R) ， 则 P, A, B 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是
HA BC HB CA HC AB ；
2 2 1 1 AB , AO AC AC ； 2 2 结合垂心有： OH OA OB OC ； 内心：若 I 为 ABC 的内心，则 BC IA CA IB AB IC 0 ．
2 2 2 2 2 2
外心：若 O 为 ABC 的外心，则 AO AB
BA t BC AC 则说明 AC 为这些向量的最小值，
故由距离最小性得 AC BC ，故选 C．
第4页
B
图 3
C
思路３：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代 数问题求解． 由 BA t BC AC 得
BA BC (t 1) BC AC ，即 CA (t 1) BC AC ．
an n
（其中 a 是以点 A 为起点，以平面 内任意
一点为终点的一个向量， n 是平面 的一个法向量） ． （8） 三角形中“四心”的向量形式： 重心：若 G 为 ABC 的重心，则 GA GB GC 0 ； 垂心：若 H 为 ABC 的垂心，则(1) HA HB HB HC HC HA ； (2)
a 1 e1 2e 2 3e． 3
若 OP OA OB OC ( , , R) ，则 P, A, B, C 四点共面的充要条件是 1 ． ab （7） 两向量的夹角公式：cos a, b ； 向量模长公式： a a a ； 点A a b 到平面 的距离公式： d
于是 CA (t 1) BC AC ，
CA 2(t 1)CA BC (t 1)2 BC AC BC (t 1) 2 (2CA BC ) (t 1) 0
2 2 2 2
2 2
t R, t 1 R ． 所以关于 t 1 的二次不等式应满足 4( BC AC )2 0 ，
例 3.（2006 年全国高中联赛）已知 ABC ，若对任意 t R ， BA t BC AC ， 则 ABC 的形状是（ ） A．必为锐角三角形 B．必为钝角三角形 C．必为直角三角形 D．不确定 【分析及解答】 思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于 t 的任意性，故可考虑取适 当的 t 将原式化为与向量相关的不等式． 令 ABC ，点 A 作 AD BC 于 D ，由 BA t BC AC
OA OC 2OE ， 故 OA 2OB 3OC OA OC 2(OB OC ) 0 ，
即 2OD OE 0 ， 所以 O、D、E 三点共线且 2 OD OE ，
B
E
O C
2 2 S CDE 3 2 1 1 2 S ABC S ABC . 3 4 3 故选 C． 【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种 方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广． S
1 ．定比分点公式：若点 P 在直线 AB 上，且 AP PB ， O 为任意
OA OB ． 1 （4） 对于向量 a = ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ， a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0 ．
一点，则 OP （5） 设 a, b 为两个向量，则 a b a b a b ， a b a b ． （6） 空间向量基本定理：设向量 e1 , e2 , e3 为空间中三个不共面的向量，则对于 空 间 中 任 意 一 个 向 量 a ， 有 且 仅 有 唯 一 的 有 序 实 数 组 1 , 2 , 3 使 得
BPC APB C PA APB
,
推论１：设 P 点在 ABC 的内部，则 S BPC PA S CPA PB S APB PC 0 （*） ． 对（*）可以有以下的理解： 1 1 S BPC b c b c sin b, c , 2 2 1 1 由 S CPA c a c a sin c, a , (其中PA a, PB b, PC c ) 2 2 1 1 S APB a b a b sin a, b . 2 2 得 bc a c a b ab c 0 ……………… （1）
【拓展】 命题：设 P 点在 ABC 的内部，则 1 PA 2 PB 3 PC 0(i 0, i 1, 2,3) 成立的
第2页
充要条件是 1 : 2 : 3 S
BPC
:S
CPA
:S
APB
．
S S ,
命题证明与思路 2 类似，设 PA 1 PA, PB 2 PB, PC 3 PC ， 则 PA PB PC 0 ，故 P 为 ABC 的重心， S 由 S BPC 23 S BPC , S CPA 31S CPA , S APB 12 S 得 S BPC : S CPA: S APB 1 : 2 : 3 ．
BA 2t BA BC t 2 BC AC
2 2 2
2
2
2
2
令t
2
BA BC BC
2
代入上式得：
2 2 2
BA 2cos 2 BA cos 2 BA AC
2 2 2
sin 2 BA AC sin 2 BA AC
2
从而有 AD AC ，由此得 AC BC ．故选 C． 【说明】此处令 t
S S
C OB BOA
A
O
2 3S
COB
6S
COB
,
B
2S BOA , S AOC:S COB:S BOA 2:: 1 3,
S
AOC
B
C
图 2
C
1 S ABC . 3 故选 C． 【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重 心相关的三角形的面积关系．和思路 1 比较起来，思路 2 适合将原命题做更一般 的推广．
第1页
二、赛题分析： §１几何中的运用 例 1.（2004 年全国高中联赛）设 O 点在 ABC 的内部，且有 OA 2OB 3OC 0 ， 则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比为（ ） 3 5 A． 2 B． C． 3 D． 2 3 【分析及解答】 思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性 和，继而得到共线向量． 如图 1， 取 BC 中点 D ， 则有 OB OC 2OD ， A AC 中点 E ，
推论２：设 P 点在 ABC 的内部，若 1 PA 2 PB 3 PC 0(i 0, i 1, 2,3) ，若 (1) 1 : 2 : 3 1:1:1 ，则 P 为 ABC 的重心，反之也成立； (2) 1 : 2 : 3 sin BPC : sin CPA : sin APB ， 则 P 为 ABC 的外心， 反之也成立； (3) 1 : 2 : 3 BC : CA : AB ，则 P 为 ABC 的内心，反之也成立； (4) 1 : 2 : 3 tan A : tan B : tan C ，则 P 为 ABC 的垂心，反之也成立． 注 ： 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 ， 对 于 给 定 的 ABC 内 部 的 任 意 一 点 P ， 1 PA 2 PB 3 PC 0(i 0, i 1, 2,3) 中的 1 : 2 : 3 的比值是唯一的，而推论２ 即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值． 例 2.(2005 年全国高中联赛）空间四点，满足 AB 3, BC 7, CD 11, DA 9 ， 则 AC BD 的取值（ ） A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无 穷多个 【分析及解答】 题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易 想到利用向量模长公式： a a a 来处理． 注意到 32 112 130 72 92 ，由于 AB BC CD DA2S
COE
思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G 为三角形 的重心的充要条件是 GA GB GC 0 ，于是可以考虑构造满足此形式的三个向 量． 如图 2，延长 OB, OC 到点 B 和点 C ，使得 OB 2OB, OC 3OC ， 故由已知有： OA OB OC 0 ， 即 O 为 ABC 的重心， 所以 S AOC S COB S BOA , 又 S AOC 3S AOC ,
sin b, c
若设 e1
a a
sin c, a b b , e3 c c
b b
sin a, b
c c
0
……
（2）
a a
, e2
, 即 e1 , e2 , e3 为平面内不共线的三个单位向量．
…… （3）
（2）化为 sin e2 , e3 e1 sin e3 , e1 e2 sin e1 , e2 e3 0 注： （3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明．