2021届高考数学人教B版一轮考点测试24 正弦定理和余弦定理 Word版含解析

姓名，年级：
时间：
考点测试24 正弦定理和余弦定理
概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题
高考
和解答题，分值5分、12分，中、低等难度
研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形
考纲
度量问题
一、基础小题
1．在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为4错误!，则BC＝( ）A．2错误!B．4错误!
C．2错误!D．4错误!
答案C
解析因为S△ABC＝错误!AB·AC·sin A＝4错误!，故AC＝2；由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝84，故BC＝2错误!.故选C.
2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B,C所对的边，若3b cos C ＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝（）
A．2∶3 B．4∶3
C．3∶1 D．3∶2
答案C
解析由正弦定理得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B，即3sin（B ＋C)＝sin C，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，故选C。

3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b sin2A ＝a sin B，且c＝2b，则错误!等于( ）
A.错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
答案D
解析由b sin2A＝a sin B,得2sin B sin A cos A＝sin A sin B，得cos A ＝错误!。

又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4b2－4b2×错误!＝3b2,得错误!＝错误!。

故选D.
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b,c,已知ac sin B＝10sin C,a＋b＝7，且cos错误!＝错误!，则c＝（）
A．4 B．5
C．2错误!D．7
答案B
解析∵ac sin B＝10sin C。

由正弦定理可得abc＝10c，即ab＝10.∵cos错误!＝错误!，∴cos C＝2×错误!2－1＝错误!，则c＝错误!＝错误!＝5。

故选B。

5．在△ABC中,a2∶b2＝tan A∶tan B，则△ABC一定是（)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
答案D
解析∵a2∶b2＝tan A∶tan B,由正弦定理可得,错误!＝错误!＝错误!＝错误!,∵sin A sin B≠0，∴错误!＝错误!，∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝错误!,即△ABC为等腰或直角三角形．故选D。

6．在锐角△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A ＝错误!，a＝2，S△ABC＝错误!,则b的值为（）
A.错误!B．错误!
C ．2错误!
D ．2错误!
答案 A
解析 因为△ABC 为锐角三角形,sin A ＝错误!,所以cos A ＝错误!。

由
S △ABC ＝错误!bc sin A ＝错误!,得bc ＝3。

①
由cos A ＝错误!得b 2＋c 2＝6。

② 联立①②，解得b ＝3，故选A 。

7．已知在△ABC 中,角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ,c ,若a ＝3b ，c ＝错误!,且cos C ＝错误!，则a ＝________.
答案 3
解析 ∵a ＝3b ，c ＝5，且cos C ＝5
6，由余弦定理可得，cos C ＝错误!
＝错误!＝错误!，解得b ＝1，a ＝3。

8．在△ABC 中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ,A ＝60°，且△
ABC 外接圆半径为错误!，则a ＝________，若b ＋c ＝3错误!，则△ABC
的面积为________．
答案 3
错误!
解析 ∵A ＝60°,且△ABC 外接圆半径R 为3,∴由正弦定理错误!＝2R ，可得a ＝2R sin A ＝2×错误!×sin60°＝3，∵b ＋c ＝3错误!，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得9＝b 2＋c 2－bc ＝（b ＋c )2－3bc ＝27－3bc ，解得bc ＝6，∴S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝错误!×6×错误!＝错误!。

二、高考小题
9．（2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－错误!，则错误!＝（ )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
答案A
解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2。

由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!,∴错误!＝6.故选A。

10．(2018·全国卷Ⅱ）在△ABC中,cos错误!＝错误!，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4错误!B．错误!
C．29 D．2错误!
答案A
解析因为cos C＝2cos2错误!－1＝2×错误!2－1＝－错误!，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C＝1＋25－2×1×5×错误!＝32，所以AB＝4错误!.故选A.
11．（2018·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c.若△ABC的面积为错误!，则C＝（）
A。

错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
答案C
解析由题可知S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!，所以a2＋b2－c2＝2ab sin C。

由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C，所以sin C＝cos C.因为C∈(0，π），所以C＝错误!，故选C.
12．（2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°,则BD＝________,cos∠ABD＝________.
答案错误!错误!
解析如图，
易知sin∠C＝错误!，
cos∠C＝错误!.
在△BDC中，由正弦定理可得
错误!＝错误!，
∴BD＝错误!＝错误!＝错误!。

由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD ＝sin[π－(∠C＋∠BDC)］
＝sin(∠C＋∠BDC）
＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC
＝4
5
×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
13．(2018·浙江高考）在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c。

若a＝7,b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________。

答案错误!3
解析由错误!＝错误!得sin B＝错误!sin A＝错误!，由a2＝b2＋c2－2bc cos A,得c2－2c－3＝0,解得c＝3(舍去负值)．
三、模拟小题
14．（2019·黄山一模）已知△ABC的三边满足条件错误!＝3，则A ＝（)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案D
解析 ∵错误!＝3整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝错误!＝错误!＝－错误!,∵A ∈（0°，180°），∴A ＝120°。

故选D.
15．（2019·赣州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ,C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ,C 依次成等差数列，且a ＝1,b ＝错误!.则S △ABC ＝( ）
A 。

2
B ．错误!
C ．错误!
D ．2
答案 C
解析 ∵A ,B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°，∴由余弦定理得b 2
＝a 2＋c 2－2ac cos B ,得c ＝2,∴S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!.故选C.
16．（2019·广东化州市高三模拟）在△ABC 中,三个内角A ,B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若S △ABC ＝2错误!,a ＋b ＝6，错误!＝2cos C ，则c ＝（ ）
A ．2错误!
B ．4
C ．2 3
D ．3错误!
答案 C 解析
错误!＝错误!＝错误!＝1，即有2cos C ＝1，可得C ＝60°，若S
△ABC
＝2错误!,则错误!ab sin C ＝2错误!，即有ab ＝8，又a ＋b ＝6，由c 2＝
a 2＋
b 2－2ab cos C ＝(a ＋b ）2－2ab －ab ＝(a ＋b ）2－3ab ＝62－3×8＝12，
解得c ＝2错误!。

故选C 。

17．(2019·曲靖一中质量监测)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ,C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，且b ＋a cos C ＋c cos A ＝2错误!
R ,则B ＝( ）
A 。

π
6
B ．错误!
C．错误!D．错误!
答案B
解析由正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!＝2R,则a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC，由b＋a cos C＋c cos A＝2错误!R，得2R sin B＋2R sin A cos C＋2R sin C cos A＝2错误!R,即sin B＋sin A cos C＋sin C cos A＝错误!，则sin B＋sin(A＋C）＝错误!，即sin B＋sin(π－B）＝sin B＋sin B ＝2sin B＝错误!，则sin B＝错误!，因为△ABC是锐角三角形,所以B＝错误!,故选B。

18．(2019·长春二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝错误!，a cos B＋b sin A＝c，则△ABC的面积的最大值为________．答案错误!
解析∵a cos B＋b sin A＝c，
∴由正弦定理得sin C＝sin A cos B＋sin B sin A,①
又A＋B＋C＝π,
∴sin C＝sin(A＋B）＝sin A cos B＋cos A sin B，②
∴由①②得sin A＝cos A，即tan A＝1，
又A∈(0,π）,∴A＝π
4。

∵a＝2，
∴由余弦定理可得2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2bc≥2bc－错误!bc＝（2－错误!)bc,
可得bc≤2＋错误!，当且仅当b＝c时等号成立，
∴△ABC的面积S＝错误!bc sin A＝错误!bc≤错误!×（2＋错误!）＝错误!,当且仅当b＝c时，等号成立，即面积的最大值为错误!。

一、高考大题
1．(2019·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c。

设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C。

(1)求A；
（2)若错误!a＋b＝2c，求sin C.
解（1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc。

由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!.
因为0°<A<180°,所以A＝60°.
(2）由(1）知B＝120°－C,
由题设及正弦定理得错误!sin A＋sin（120°－C)＝2sin C，
即错误!＋错误!cos C＋错误!sin C＝2sin C，
可得cos（C＋60°)＝－错误!.
因为0°〈C〈120°，所以sin(C＋60°）＝错误!，
故sin C＝sin（C＋60°－60°）
＝sin（C＋60°)cos60°－cos(C＋60°）sin60°＝错误!。

2．（2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2,cos B＝－错误!.
（1)求b，c的值；
（2）求sin（B－C）的值．
解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得
b2＝32＋c2－2×3×c×错误!。

因为b＝c＋2，
所以(c＋2）2＝32＋c2－2×3×c×错误!，
解得c＝5，所以b＝7.
（2）由cos B＝－错误!，得sin B＝错误!。

由正弦定理得sin C ＝错误!sin B ＝错误!。

在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角， 所以cos C ＝错误!＝错误!。

所以sin(B －C ）＝sin B cos C －cos B sin C ＝错误!。

3．（2019·江苏高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c 。

(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝错误!，求c 的值; （2）若错误!＝错误!，求sin 错误!的值． 解 （1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，
由余弦定理，得cos B ＝错误!，
即错误!＝错误!,解得c 2＝错误!。

所以c ＝错误!. (2）因为错误!＝错误!,
由正弦定理错误!＝错误!，得错误!＝错误!， 所以cos B ＝2sin B .
从而cos 2B ＝（2sin B )2，即cos 2B ＝4（1－cos 2B ）， 故cos 2B ＝错误!。

因为sin B >0,所以cos B ＝2sin B 〉0，从而cos B ＝错误!。

因此sin 错误!＝cos B ＝错误!。

二、模拟大题
4．(2019·湖北四地七校联考）如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，∠A 为钝角且sin A ＝错误!，BA ＝BC ＝10，BD ＝6错误!。

（1)求边AD的长；
（2）设∠BDC＝α，∠CBD＝β，求sin（2α＋β)的值．
解(1)∵sin A＝错误!，且∠A为钝角，
∴cos A＝－错误!＝－错误!。

在△ABD中,由余弦定理得，
AD2＋AB2－2AD·AB cos A＝BD2,
∴AD2＋16AD－80＝0,
解得AD＝4或AD＝－20(舍去），故AD＝4。

（2）如图,连接AC,则∠BDC＝∠BAC＝∠ACB＝∠ADB＝α，∠CBD ＝∠CAD＝β，
则2π＝∠BCD＋∠CDA＋∠BAD＋∠CBA，
即2π＝4α＋2β＋2∠ABD，
故2α＋β＋∠ABD＝π，
则2α＋β与∠ABD互补，于是sin(2α＋β)＝sin∠ABD，
在△ABD中，由正弦定理,得错误!＝错误!
∴sin∠ABD＝错误!.
∴sin(2α＋β)＝错误!。

5．（2019·宁夏二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知错误!＝错误!。

（1)求角A；
（2）若b＝2，c＝4，点D在△ABC内，且BD＝错误!，∠BDC＋∠A＝π,求△BDC的面积．
解(1）∵错误!＝错误!，
∴a cos B＝错误!c cos A－b cos A，
∴由正弦定理,可得sin A cos B＝错误!sin C cos A－sin B cos A，
可得sin(A＋B）＝sin C＝错误!sin C cos A，
∵sin C≠0，∴cos A＝错误!,∵A∈(0，π)，∴A＝错误!。

（2）∵A＝错误!，b＝错误!，c＝4，
∴由余弦定理可得,
BC＝错误!
＝错误!＝错误!，
∵∠BDC＋∠A＝π，∴∠BDC＝错误!，又BD＝错误!，
∴由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC，即10＝2＋CD2－2×错误!×CD×错误!,
可得CD2＋2CD－8＝0，∴解得CD＝2或－4（舍去），
∴S△BDC＝错误!BD·CD·s in∠BDC＝错误!×错误!×2×错误!＝1。

6．(2019·太原一模）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b,c,且a sin A＋(c－a)sin C＝b sin B,点D是AC的中点,DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝错误!.
(1)求角B的大小；
（2)求△ABC的面积．
解(1）∵a sin A＋(c－a)sin C＝b sin B，
由错误!＝错误!＝错误!，得a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理，得cos B＝错误!＝错误!，
∵0＜B＜π，
∴B＝错误!。

（2）连接CE,如图，
∵D是AC的中点，DE⊥AC，
∴AE＝CE,
∴CE＝AE＝错误!＝错误!,
A＝∠ACE，
在△BCE中，由正弦定理,得
错误!＝错误!＝错误!,
∴错误!＝错误!，∴cos A＝错误!,
∵0＜A＜π，∴A＝错误!，∴∠ACB＝错误!，
∴∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝错误!，∠BEC＝错误!，
∴CE＝AE＝错误!，BE＝1，∴AB＝AE＋BE＝错误!＋1，∴S△ABC＝错误!AB·CE＝错误!.。