高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义课件2新人教A版选修1-1

答案:(2,8)或(-2,-4) y=11x-14或y=11x+18
例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h (t ) 4 .9 t 2 6 .5t 1 0 的图象. 根据图象, 请描述、
比较曲线 h(t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.
h l0
l1
o t3 t4 t0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1) lim
y = x 2 +1
x0
x
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
P
M
x
1j
x
-1 O 1
【总结提升】
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点的坐标； ②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； ③利用点斜式求切线方程.
【即时训练】
（2016·齐齐哈尔高二检测）曲线f(x)= x 2 6x 在
点（1，－5）处的切线斜率为 ( C )
A．k=3
B．k=－3
C．k=－4
D．k=4
例1 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：k lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
们称它为f x的导 函 数 (简称导 数 ). y f x
的导函数有时也记作y,即 f x y
f x x f x
lim
.
x 0
x
1.设f (x) x2 ,求f '(x), f '(1), f '(2)
解：由导数的定义有
f '(x)＝lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2
探究1:观察图形,思考下列问题,明确切线与割线的 关系.
(1)当P1,P2,P3,…,Pn的位置逐渐靠近点P时,割线 PPn的位置与PT的位置有什么关系?
提示:割线PPn逐渐接近PT.
【探究总结】 对切线的两点说明 (1)切线是否存在的判断:曲线上一点是否有切线, 要根据割线是否有极限位置来判断.如有极限,则 在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在 此点处无切线. (2)切线与曲线交点:曲线的切线,并不一定与曲 线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线 的切线.
k1=f′(1),k2=f′(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的
大小关系为
.(请用“>”连接)
【解题关键】
曲线的导数、曲线弯曲程度与 图象的变化快慢有什么关系?
提示:曲线的导数越大,曲线的弯曲程 度越大,图象变化得越快.
解：由导数的几何意义可知k1,k2分别为曲线在A,B处切 线的斜率,而

x0

2)
=
lim((Δ
x0
x)2+3x0Δ
x+3x02-1)=3x02-1.
所以切线方程为y-(x03-x0+2)=(3x02-1)(x-x0).
将点P(1,2)代入得:2-(x03-x0+2)=(3x02-1)(1-x0)
即(x0-1)2(2x0+1)=0,所以x0=1或x0=

1 2
【即时训练】
h
(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的
l0
切线l2的斜率h′(t2)<0.故在t=t2
附近曲线下降,即函数h(t)在
t=t2附近也单调递减.
来自百度文库l1
o t3 t4 t0
t1
t2
t
l2
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾
斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓
慢.
【总结提升】
t1
t2
t
l2
解:可用曲线h(t)在t0 ,t1 ,t2处 h
l0
的切线刻画曲线 h(t)在上述三
个时刻附近的变化情况.
(1)当t = t0 时, 曲线 h(t)
在 t0 处的切线l0平行于 t 轴.
l1
故在 t = t0 附近曲线比较平
坦, 几乎没有升降.
o t3 t4 t0
t1
t2
t
l2
(2)当t = t1时, 曲线 h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1 附近单调递减.
4
二、填空题
5．已知曲线 y＝1x－1 上两点 A(2，－12)，B(2＋Δx，
－12＋Δy)，当
Δx＝1
时，直割线
AB
-1 的斜率为_____6___．
6．P 是抛物线 y＝x2 上一点，若过点 P 的切线与直线 y＝－12x＋1 垂直，则过点 P 的切线方程为_y_＝__2_x_－__1．
1.曲线的切线定义.
若曲线C:y=x3-x+2上一点P处的切线恰好平行于直
线y=11x-1,则P点坐标为
,切线方程
为
.
【解析】设点P坐标为(x0,x03-x0+2),则曲线C在点P 处的切线的斜率为f′(x0)=3x02-1,又因为切线平行 于直线y=11x-1,所以3x02-1=11,即x02=4,即x0=±2, 所以P点坐标为(2,8)或(-2,-4),则切线方程为y8=11(x-2)或y+4=11(x+2),即y=11x-14或y=11x+18.
通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结 论? (1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致 可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的 切线近似代替. (2)函数的单调性与其导函数正负的关系. (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.
【变式练习】
已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲） 以简单对象刻画复杂的对象.
作t 0.8处的切线,并在切线上取两个点，如（0.7, 0.91），（1.0, 0.48），
则它的斜率约为 k 0.48 0.91 1.4, 1.0 0.7
lim x x0
f ( x) f ( x0) x x0
4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 ).
(2)求平均变化率 y f ( x 0 x) f ( x0 ) .
x
x
(3)取 极 限 ， 得 导 数
2.函数 f ( x ) 在 x x 0 处的导数 f / x 0 的几何意义，
就是函数 f ( x ) 的图象在点 P x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜
率（数形结合）
f /(x0)
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0)
＝切线的斜率k.
3.利用导数的几何意义解决实际生活问题，体会
“数形结合”和“以直代曲”的数学思想方法.
4.导函数(简称导数) f / ( x)
lim
f (x x)
f (x) .
x0
x
聪明出于勤奋，天才在于积累。 ——华罗庚
解：因为 lim
（f 2 x）
（f 2）
lim
1 2 x

1 x
x0
x
x0
x

lim
x0
（2 21x）

1 4
，
所以，这条双曲线过点（2，1）的切线斜率为 1 .
2
4
故所求切线方程为y 1 1 (x 2)，即y 1 x 1.
24
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2. 3 x0
2
1
x
y |x2 22 4.
-2 -1 O -1
12
即点P处的切线的斜率等于4.
-2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y16=0.
4.求双曲线ｙ＝ｘ １过点（２，１ ２）的切线方程．
f
(
x0
)

lim
x 0
y x
.
1.根据导数的几何意义描述实际问题. 2.求曲线上某点处的切线方程.（重点） 3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解.
（难点）
探究点1 切线 平面几何中我们是怎样判断直线是否是
圆的割线或切线的呢？
提示：按照交点的个数。
观察：如图，当Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x) 趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
f ' 0.8 1.4.
t 药物浓度的 瞬时变化率
0.2
0.4
0.6
0.8
0.3
0 0.5 1.4
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以
看到,当 x x0 时, f x0 是一个确定的数.这
样,当 x 变化时, f x 便是 x的一个函数,我
【互动探究】 2.已知曲线C:y=x3-x+2,求曲线过点P(1,2)的切线 方程.
【解题关键】 注意题中信息为过点P(1,2)的切线方程,故 需要注意验证其是否为切点.
解：设切点为(x0,x03-x0+2)，
则得y′|x=x0
lim［(x0
x0

x)3

(x0

x) x

2］
(x03
5π C. 4
D．－π4
3.已知曲线y = 1 x3上一点P(2,8 )，求：
3
3
(1)点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程
解：(1) y

1
x3 ,
y

lim
y

lim
1 (x 3

x)3

1 3
x3
3
x x0
x0
x
1 3x2x 3x(x)2 (x)3
yy 1 x3
k3=f(2)-f(1)= f 2 f（1） 为直线AB的斜率,
2 1
由图象易知k1>k3>k2. 答案:k1>k3>k2
例3 如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单 位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图 象，根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管 中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式 列出.(精确到0.1)
用 kPPn近似地表示kPT.
导数的几何意义
函数 y f (x) 在 x x0 处的导数就是曲线
在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 k ， 即：
k
lim x0
f
x0
x
x
f (x0 )

f (x0 )
曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为：
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
f(x1) O
A
x2-x1=△x
x1
x2 x
3.导数的概念
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
或 y |x x0, 即
f ( x0 )
lim
x0
f (x0
Δx) x
f ( x0)
3.1.3 导数的几何意义
1.平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:
y f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
y=f(x)
2.平均变化率的几何意义： 割线的斜率
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
k y f(x2 ) f ( x1) .
x
x2 x1
x0
x
x0
x
x(2x x)
lim
2x
x0
x
所以f '(1)＝f '(x) x1 2 (1) 2 f '(2) f '(x) x2 2 2 4
2．曲线 y＝12x2－2 在点(1，－32)处切线的倾斜角为
(B)
A．1
π B.4
【即时训练】
如图,直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?
y
l1
l2
A
B
O
x
解答：直线l1 不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线。
探究点2 导数的几何意义 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线
斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？
提示： 平均变化率 x 0 瞬时变化率（导数）
割线的斜率 x 0 切线的斜率
(2)设点P(x0,y0),Pn(xn,yn),则 kPPn 是多少? 你能知道kPT是多少吗? 提示:据两点间的斜率公式知
k PPn

yn xn
y0 x0

f xn f x0，
xn x0
kPT的值不知道,但当Pn接近于点P时,割线PPn接近于 PT,可以