高中数学人教B版必修四讲义：复习课(三) 平面向量 Word版含答案

复习课(三) 平面向量
(1)题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．
(2)向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．
[典例] 在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC A ，则x ＝________；y ＝________.
[解析] ∵AM ＝2MC ， ∴AM ＝2
3
AC .
∵BN ＝NC ，∴AN ＝1
2(AB ＋AC )，
∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－2
3AC
＝12AB －1
6
AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.
[答案] 12 －16
[类题通法]
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
[题组训练]
1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )
A ．13
B ．－13
C ．9
D ．－9
解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9.
2.如图，点A ，B ，C 是圆O 上不重合的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC ―→＝m OA ―→＋2m OB ―→，AP ―→＝λAB ―→
，则λ＝( )
A.56 B ．45
C.34
D ．23
解析：选D 由题意，设OP ―→＝n OC ―→
. 因为AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 故n OC ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，
n (m OA ―→＋2m OB ―→)－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)， 即(mn ＋λ－1) OA ―→＋(2mn －λ) OB ―→
＝0.
而OA ―→与OB ―→
不共线，故有⎩⎪⎨⎪⎧
mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，
解得λ＝23
.选D.
3.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且
∠COB ＝30°.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
，则λ＋μ＝________.
解析：由已知，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C (1,0)，A (0,1)，B (cos 30°，－sin 30°)，
即B
⎝⎛⎭⎫32
，－12.
于是OC ―→＝(1,0)，OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝⎝⎛⎭⎫
32，－12，
由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
，
得(1,0)＝λ(0,1)＋μ
⎝⎛⎭⎫32
，－12＝⎝⎛⎭⎫32μ，λ－12μ，
∴⎩⎨⎧
32μ＝1，
λ－12μ＝0，
解得⎩⎨
⎧
μ＝233，
λ＝33.
∴λ＋μ＝ 3. 答案： 3
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．
(2)解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．
[典例] (1)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－3
2
B ．－5
3
C.53
D.32
(2)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，
DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32
. (2)如图所示，由题设知：
AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋3
4AD ，
NM ＝NC －MC ＝13AB －1
4
AD ，
∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD ·⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －1
4AB ·AD ＝13×36－3
16×16＝9. [答案] (1)A (2)C [类题通法]
(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．
[题组训练]
1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．以上都不对
解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12
.
又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.
2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2
D ．2
解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.
3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________． 解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. 答案：1
4．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·
BE ＝1，
则AB 的长为________．
解析：设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝
1
2
x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12
. 答案：12
(1)题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．
(2)解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．
[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22
，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x
∈⎝⎛⎭
⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π
3，求x 的值．
[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －2
2
cos x ＝0， ∴tan x ＝1.
(2)∵m 与n 的夹角为π3，
∴m ·n ＝|m |·|n |cos π
3，
即
22sin x －22cos x ＝12
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1
2. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π
4∈⎝⎛⎭
⎫－π4，π4，
∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.
[类题通法]
在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
[题组训练]
1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1
2，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π
3 B.π
4 C.π6
D.π12
解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －1
2＝0，
所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π， 所以2x ＝π2，x ＝π
4
，故选B.
2．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－
3
3
. 又x ∈[0，π]，所以x ＝
5π6
. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤
π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤3
2
.
于是，当x ＋π6＝π
6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；
当x ＋π6＝π，即x ＝5π
6
时，f (x )取到最小值－2 3.
1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2(a ＋b ) D.1
3
(a ＋b )
解析：选A 如图，
OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，
∵AP ＝－BQ ，
∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .
2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D. 5
解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)
D ．(－6,3)
解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)， 而|b |＝35， 则
λ2＋4λ2＝35，
所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．
4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3
D.2π3
解析：选B ∵a ⊥(a －b )，
∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，
∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，
∴向量a 与向量b 的夹角为π
4
，故选B.
5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即
AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°
. 6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )
A ．6或 3
B ．6或 2 C. 2
D ．6
解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.
当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－3
2
， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－3
2＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.
7．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－6
8．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π
3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.
解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π
3＋9×32＝133，
∴|2a －3b |＝133. 答案：133
9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．
解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |
2
12
|a |2＝12
，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π
10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.
解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2，
∴θ＝120°. (2)|a ＋b |＝
a 2＋2a ·
b ＋b 2＝
16＋2×(－6)＋9＝13.
11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0. (1)用k 表示a ·b ；
(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．
解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2
＋k 2b 2－2ka ·b )，
∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2，
a ·
b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2
8k
.
∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2
＋1
4k
.
(2)∵k 2
＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2
＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12
.
设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ. 又|a |＝|b |＝1，∴1
2
＝1×1×cos γ，
∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.
12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；
(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．
解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0， ∴(a －b )⊥c .
(2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，
∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. ∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.
∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．tan 8π
3
的值为( ) A.
3
3
B ．－
33
C. 3
D ．－ 3
解析：选D tan
8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π
3
＝－ 3.
2．下列函数中最大值是1
2，周期是6π的三角函数的解析式是( )
A ．y ＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
x 3－π6
D ．y ＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝1
3
，故选A.
3.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ―→＝mAM ―→，AC ―→＝n AN ―→
，则m ＋n 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－2
D ．94
解析：选B 由AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，结合AB ―→＝mAM ―→，AC ―→＝n AN ―→，得AO ―→＝12mAM
―→
＋12n AN ―→
.又O ，M ，N 三点共线，所以12m ＋12
n ＝1，所以m ＋n ＝2.故选B. 4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＞0，2sin αcos α＜0. 即⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＞0，cos α＜0.
∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)
D ．(－2，－4)
解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.
∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2
2cos(π－α)的值为( ) A.22
5
B ．－25 C.25
D ．－
22
5
解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2
2cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋2
2cos α ＝
2
2
sin α＋2cos α. ∵sin α＝4
5，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－3
5.
∴
22sin α＋2cos α＝22×45－2×35 ＝－
2
5
. 7．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→＝－9，则λ的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF
―→
＝⎝⎛⎭⎫12BC ―→－BA ―→·⎝⎛⎭⎫BC ―→＋1λ BA ―→ ＝12BC ―→2－1λ
BA ―→2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭
⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3. 8．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴11π8－5π8＝T
4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1
，m ∈N ，
∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝
2π3π＝2
3
，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π
12，k ∈Z. 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝
π
12
.故选A. 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )
A ．2
B ．2＋ 2
C ．2＋2 2
D ．－2－2 2
解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2π
ω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π
4
x .
∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π
4＝2＋2 2.
10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－3
5
C.3
5
D ．－4
5
解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－3
5
.
11．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |
＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，
则(AB ＋DC )·AC 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．4 2
D ．2 2
解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC
＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )
＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2
＝AB 2＋2AB ·
DC ＋DC 2. ∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0， ∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ，
∴AB ·
DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2. 设|AB |＋|DC |＝x ， 则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2， ∴原式＝4，故选A.
12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )
A ．ω＝2，θ＝π2
B ．ω＝12，θ＝π
2
C ．ω＝12，θ＝π
4
D ．ω＝2，θ＝π
4
解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数， ∴θ＝π2
，
∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，
∴2π
ω
＝π，ω＝2，排除B ，选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，
则AE ＝a ＋12b ，AE ＝1
2a ＋b ，AC ＝a ＋b ，
代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝4
3.
答案：4
3
14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．
解析：∵∠ABO ＝90°， ∴AB ⊥OB ， ∴OB ·AB ＝0.
又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：5
15．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝3
5⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4 ＝
22(sin α＋cos α)＝7210
. 答案：72
10
16.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线
交于圆O 外一点D .若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→
，则m ＋n 的取值范围是________．
解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→(λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→
＋(1－λ) OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→(μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμOB ―→
(λ>1，
μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1
μ
∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.
(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝
22
. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
18．(本小题满分12分)已知tan α＝1
2，求
1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)
sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．
解：原式＝1＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2α
＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2
α
＝
(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α )
＝sin α＋cos α
sin α－cos α ＝tan α＋1
tan α－1
，
又∵tan α＝1
2，∴原式＝12＋11
2
－1＝－3.
19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2 α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝2
5，
求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
42cos 2 α2
.
解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.
∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，
∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π42cos 2 α2
＝
52sin 2α－22(cos α－sin α)
1＋cos α
＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭
⎫－45－351－45
＝－10 2.
20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦
⎤－π6，5π
6上的简图．
解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π
3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴π3≤2x ＋π3≤4π
3， ∴－
3
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时， ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π
2
，得T ＝π，列表：
图象如图所示．
21．(本小题满分12分)已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝
105
. (1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝3
5，求cos β的值．
解：(1)由|AB |＝105
， 得
(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝
105
， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2
5，
∴cos(α－β)＝4
5
.
(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝4
5，α，β为锐角，
∴sin α＝45，sin(α－β)＝±3
5
.
当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝24
25.
当sin(α－β)＝－3
5时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝
cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. ∵β为锐角，∴cos β＝24
25
.
22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π
2
的部分图象如图所示．
(1)求ƒ(x )的解析式；
(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
2倍，再将所得
函数图象向右平移π
6
个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；
(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π
2，
∴T ＝2π，∴ω＝2π
T
＝1.
又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π
6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.
又由ƒ(0)＝2，得A sin π
6＝2，∴A ＝4，
∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π
6
个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2(k ∈Z)得
k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z)，
∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π
3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2 ＝4⎝
⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x
高中数学必修四
＝22sin x ＋22cos x －42cos x
＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣
⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。