人教A版高中数学必修五河北省张家口第三章不等关系与不等式学案

3.1 不等关系与不等式（一）
一、教学目标
1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。

让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。

2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．
3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

二、教学重、难点
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

差值比较法：作差→变形→判断差
三、教学过程
（一）[创设问题情境]
下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？
1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。

2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不
少于2.3%。

3. a 与b 的和是非负数。

4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需
要满足什么条件？
5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

根据市场调查，若单价每
提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，
600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500
件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。

某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。

如何将不等关系表示成不等式（组）：
先读懂题意，找清不等词所连接的量，然后用适当的不等号连接起来，对含有多个不等关系的要用不等式组的形式表示，注意不重不漏。

练习：某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．
（二）知识拓展
从实数的基本性质出发，实数的运算性质与大小顺序之间的关系：对于任意两个实数a,b,
如果a>b,那么a-b 是正数;
如果a<b,那么a-b 是负数;
如果a-b 等于0.
它们的逆命题也是否正确？
(1)0;
(2)0;
(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了。

例1、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小
例2、比较2253x x ++与242x x ++的大小.
例3、已知a>0,b>0,
试比较M =
N =的大小。

例4、已知a>0且a ≠1, 比较3log (1)a p a =+与2log (1)a q a =+的大小。

例5、已知1a ≥
，比较M =
N =
归纳：作差比较法的步骤是：
1、作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化，分类讨论等方法；
3、判断符号；
4、作出结论．
（三）、课堂练习：
1在以下各题的横线处适当的不等号：
（1
）2
21)； （2
（3）251- 561-； (4)当a ＞b ＞0时，1
2
log a 12
log b
2选择题
若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )
Aa ＞ab ＞2ab B 2ab ＞ab ＞a Cab ＞a ＞2ab Dab ＞2
ab ＞a
3.1 不等关系与不等式（二）
一、教学目的：
1、掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2、理解证明不等式的逻辑推理方法．
3、通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯
二、教学重难点：
掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
三、教学过程：
1、复习引入：
初中我们学过的不等式的基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
其数学含义：
(1)若a ＞b ， 则a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ；
(2)若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，
a b c c
> (3)若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，a b c c < 另外不等式的性质还有：
（1）如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)
即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b
（2）如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)
即a>b ，b>c ⇒a>c
（3）如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)
即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．
（4）如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．（同向不等式的可乘性）
证明：
,0a b c >> ac bc ∴> ① 又,0,c d b >> ∴bc bd > ② 由①、②可得ac bd >
注：这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向
（5）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈≥（可乘方性）
（6）0,2)a b n N n >>⇒>∈≥ （可开方性）
点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法
来证明定理5，因为反面有两种情形，即
<和=，所以不能仅仅否定了
<
证明：假定n a 不大于n b <n n b a =
<a b <；当n n b a =时，显然有b a =
这些都同已知条件0a b >>矛盾 >点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．
2、讲解范例：
例1：已知0,0,a b c >><求证：
c c a b > 例2、已知a ，b ，x ，y 是正数，且b a 11>，x>y ．求证：b y y a x x +>+
例3、已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a
b 的大小 解：
)()()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-=+--+=-++
∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴0)()(>+-m a a b a m ∴m a m b ++>a
b 例3、如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及y
x 的取值范围. 例4、 已知函数
2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围。