江苏省苏南四校2013届高三第二次(12月)考试数学试题

苏南四校2013届高三年级12月考试
数学试卷
四校：辅仁高中 宜兴一中 镇江中学 江阴高中
一、填空题
1．{}{}002A=sin90cos180B=x|x +x=0A B=⋂————已知集合，，,则
2、不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，-2)∪(-1，＋∞)，则a ∶b ∶c ＝__________.
3、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．
4、函数)(log 132
1-=
x y 的定义域为
5、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的________条件．（填充分必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分又不必要条件之一）
6、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在
[50,60)的汽车大约有 辆．
7、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．
4
频
8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则
6
3
S S 的值是 ． 9、函数x x x f cos sin )(+=的图象向左平移)0(>m m 个单位后，与x x y sin cos -=的图象重合，则实数m 的最小值为 .
10. 一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是 .
11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz 中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．
第5图
第6图
（化简后用关于x ，y ，z 的一般式方程表示） 12.数列{}n a 的通项222(cos sin )33
n n n a n ππ
=-，其前n 项和为n S ，则30S 为 .
13．设正实数,,x y z 满足21x y z ++=，则
19()x y x y y z
++++的最小值为 ．
14．对任意x ∈R ，函数f (x )的导数存在，()()0f x f x a '若＞且＞，
则()()·a
f f a e 0与的大小关系为：()()__________·(a f f a ≤≥e 0用，，<,>之一填空）
二、解答题
15、已知向量),(cos ),,(sin 31x n x m =-= （1）当//时，求
x
x x
x cos sin cos sin 23-+的值；
（2）设函数m n m x f ⋅+=)()(，求()f x 的单调增区间；
（3）已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，)sin(B A a c +=23，对于（2）中的函数()f x ，求)(8
π
+
B f 的取值范围。

16、已知函数()()f x ax bx x a b ∈323R ＝＋－，在点()(11)f ，处的切线方程为
20.y ＋＝
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x x 12，，都有()()||f x f x c ≤12－，
求实数c 的最小值．
17、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为36平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）要最小．
（１）求外周长的最小值，并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米？
（２）如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内，外周长最小为多少米？
18、设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：
①当x R ∈时, ()f x 的最小值为0，且(1)(1)f x f x -=--恒成立； ②当(0,5)x ∈时，2()4|1|2x f x x ≤≤-+恒成立． （I ）求(1)f 的值； （Ⅱ）求()f x 的解析式；
A
D
（Ⅲ）求最大的实数m （m>1），使得存在实数t ，只要当[1,]x m ∈时，就有()2f x t x +≤成立
19. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .
(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；
(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为
4的⊙M 的方程；
(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切
线，切点为Q . 试探究：平面内是否存
在一定点R ，
使得PQ PR
为定值？若存在，请举出一例，
并指出相应
的定值；若不存在，请说明理由.
20、设数列n a ｛｝满足：n a n N *∈（）
是整数，且n 1n a a +－是关于x 的方程 2n 1n 1x ( a 2)x 2a 0++＋－－＝的根．
（1）若1a 4＝，且n≥2时，n 4a 8≤≤，求数列{a n }的前100项和S 100；
第19
（2）若16a 8a 1＝－，＝，且*∈n n 1a a n N ＋＜（），
求数列{}n a 的通项公式．
参考答案
1、{-1}
2、 1:3:2
3、1
4、
(12
33,⎤⎦ 5、
必要不充分条件 6、 60 7、 5 8、 12 9、 2π
10 、 3
8.
11、 x ＋2y －z －2＝0 12、470 13、 7 14、 <
15、解：（1）由//，可得3sin x =-cos x ，于是tan x =3
1
-． …………………
2分
∴
9
22)3
1(31
312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分
（2）∵ )(x f =m n m ⋅+)(
=(sin x +cos x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x cos x -2
=
22sin 2
1
22cos 1-+-x x =
2
3
)42sin(22--πx ， …………………………6分
2222
42
3+)88k x k k k k Z π
π
π
ππππππ-
≤-
≤+
⎡
⎤∴-∈⎢⎥⎣
⎦所求增区间为：，（
…………………………8分
（无k Z ∈扣1分）
（3）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+, 由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=，
∴23sin =
A ，可解得3
π
=A ． ………………………………………………10分
又△ABC 为锐角三角形，于是
2
6
π
π
<
<B ，
∴ 2
32sin 2223]4)8(2sin[22)8
(-=--+=
+B B B f πππ
． 由
2
6
π
π
<
<B 得
ππ
<<B 23
，
∴ 0<sin2B ≤1，得23
-<
2
32sin 22-B ≤
23
22-． 即]2
3
2
22
3()8
(--∈+，πB f ． (14)
分
16、解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3. 根据题意，得⎩⎨
⎧
f 1＝－2，f ′1＝0，
即⎩⎨
⎧
a ＋
b －3＝－2，3a ＋2b －3＝0，解得⎩⎨
⎧
a ＝1，
b ＝0.
所
以
f (x )＝x 3－
3x . …………………………4分
(2)令f ′(x )＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.
x
－
2
(－2，－
1)
－1
(－
1,1) 1
(1,2
) 2
f ′(x
)
＋
－
＋
所以当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2. ……………………………10分
（ 需列表格或者说明单调性，否则扣2
分）
则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝4，
所以c ≥4.即c 的最小值为4. ……………………………………14分
17（1）h BC AD )(21
36+=，AD ＝BC+2×0
tan 60h =BC+h 332， h
h BC )33
22(2136+=，
h h BC 3336-=．…………………………2分 设外周长为l ，则h h h BC AB l 33
3660
sin 22-+=
+=
， 263
63≥+
=h h …………………………6分
当h
h 3
63=
，即6=h 时等号成立．外周长的最小值为26米，此时堤高h 为
6米．
…………………………8分
(2)),6(3363h h h h +=+
设3232
1≤<≤h h ，则=--+1
12266h h h h 0)6
1)((2
112>-
-h h h h ,l 是h 的增函数，…………………………12分
3533
633min =+
⨯=∴l (米)．（当3=h 时取得最小值）…………………
14分
18、解： (1)在②中令x=1,有2≤f(1)≤2,故f(1)=2 ……………………2分
(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上 故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=2,∴a=12
∴f(x)= 1
2
(x+1)2 (8)
分
(3)假设存在t ∈R,只需x ∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.
f(x+t)≤2x ⇒1
2(x+t+1)2≤2x ⇒x 2+(2t-2)x+t 2+2t+1≤0.
令g(x)=x 2+(2t-2)x+t 2+2t+1,g(x)≤0,x ∈[1,m].
40(1)0()011t g g m t m t -≤≤⎧≤⎧⎪⇒⎨
⎨≤--≤≤-+⎪⎩⎩ ∴m ≤1－t+2t -≤1－(－4)+2)4(--=9
t=-4时,对任意的x ∈[1,9] 恒
有
g(x)
≤
0,
∴
m
的
最
大
值
为
9. …………………… 16分
（画图用数形结合视解答情况给分）
19、解:(Ⅰ)设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得
11
|24|2
=+-k k ，解
得
k =
……4分 ∴切线l
方程为82(4)15
y x ±-=
- ……………………………………6分 （Ⅱ）圆心到直线12-=x y 的距离
为
,设圆的半径为r ，则
9)5(2222=+=r ,
∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x ………………………………… 10分 （Ⅲ）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ， 根据题意可得122-+=y x PQ ，∴
λ=-+--+2
2
22)
()(1b y a x y x ,
即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），
又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：
[]
)11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ
若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(2222
2b a b a λλλ，
解
得
3
10,51,522,1,2===
===λλb a b a 或………………………………14分
∴可以找到这样的定点R ，使得PR
PQ
为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2；
点R 的坐标为)5
1
,52(时，比值为310………………………16分
20（1）由a n+1－a n 是关于x 的方程x 2＋( a n+1－2)x －2a n+1＝0的根，
可得：()()*
11220()n n n n a a a a n N ++---=∈，
所以对一切的正整数n ，12n n a a +=+或112n n a a +=， …………………………4分
若a 1＝4，且n≥2时，4≤a n ≤8，则数列｛a n ｝为：4,6,8,4,6,8,⋅⋅⋅
所以，数列{a n }的前100项和10033(468)8598
S =+++=；…………………………
8分
（2）若a 1＝－8，根据a n （n ∈N*）是整数，a n ＜a n ＋1（n ∈N*），且12
n n a a +=+或11
2
n n a a +=
可知，数列{}n a 的前6项是：8,6,4,2,0,2----或8,6,4,2,1,1-----或
8,6,3,1,1,3----或8,6,2,0,2,4---或8,6,2,1,1,3----
因为a 6＝1，所以数列
{}
n a 的前6项只能是8,6,4,2,1,1-----且*
4,n n N ∈＞时，
12
n n a a +=+ ……………………
……12分
所以，数列{a
n }的通项公式是：
210,4
211,5
n
n n
a
n n
-≤
-≥ (16)
分。