推荐-高三数学一轮复习课件2.7 函数的图象及其变换

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1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)将函数y=lg(x+1)-1的图象上所有的点向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度即可得到函数y=lg x的图象. ( × ) (2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. ( × ) (3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. ( × ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线 x=1对称√. ( ) (5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1) 的图象. ( × )
解析:因为f(-x)=f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=logax+1(0<a<1)单调递减,并由 y=logax的图象向上平移1个单位长度而得到.故选A.
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4.关于函数f(x)=log222+-������������ 的图象,下列说法正确的是( A ) A.关于原点对称
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1.描点法作图的方法步骤: (1)研究函数特征
①确定定义域,
②化简解析式,
③讨论性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值); (2)列表(注意特殊点:与坐标轴的交点、极值点、端点); (3)描点(画出直角坐标系,准确画出表中的点); (4)连线(用平滑的曲线连结所描的点).

考点三
函数图象的应用 考情分析函数图象是函数的一种直观表达方式,它可以形象地 反映函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性,高 考中函数的图象主要有以下几种命题角度: (1)利用函数图象确定方程的根的个数; (2)利用函数图象求参数的取值范围; (3)利用函数图象求不等式的解集.
当 a>0 时,若函数 y=ln(x+a)的图象与 M(x)的图象有交点,则 ln a<12,则 0<a<√e.综上 a<√e.故选 B.
考点一
考点二
考点三
类型三 利用函数图象求不等式的解集
例3设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如 图所示,则不等式f(x)<0的解集(是-2,0)∪(2,5) .
解析:利用函数f(x)的图象关于原点对称,则不等式f(x)<0的解集 为(-2,0)∪(2,5).
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考点三
方法总结1.利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应 关系,如图象的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下 降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性;
2.有关方程解的个数问题,常常转化为两个熟悉的函数的图象交 点个数,利用此法也可由解的个数求参数值;
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对点练习 (2015课标全国高考Ⅱ)如图,长方形ABCD的边 AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x) 的图象大致为( B )
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解析:①当点 P 在线段 BC 上时,如图,x∈
0,
π 4
.
PB=OBtan x=tan x,PA=√������������2 + ������������2 = √tan2������ + 4,
所以 f(x)=PB+PA=tan x+√tan2������ + 4.
显然函数
f(x)在
0,
π 4
内单调递增,
故 f(0)≤f(x)≤f
π 4
,即 2≤f(x)≤1+√5.
2.7 函数的图象及其变换
考情概览
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考纲要求
命题角度分析
1.掌握基本初等函数的图象的 特征,能熟练运用基本初等函 数的图象解决问题. 2.掌握图象的作法:描点法和图 象变换法. 3.会运用函数图象理解和研究 函数性质,并会解决方程解的 个数或与不等式相关的问题.
函数的图象是高考的热点内容. 从历年高考试题来看,高考中通 常会以几类基本初等函数的图 象为基础,考查识图、画图以及 用图能力.特别是利用函数图象 进一步研究函数性质、解决方 程、不等式等问题在高考试题 中屡见不鲜.
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(2)(2015辽宁大连模拟)函数y=xcos x+sin x的图象大致为( D )
解析:因 f(-x)=-x·cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故该函数
为奇函数,排除 B,又 x∈
0,
π 2
,y>0,排除 C,而当 x=π 时,y=-π,排除 A,
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2.变换法作图
(1)平移变换 ①左右平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向 左 (+) 或向 右 (-)平移 a 个单位长度而得到. ②上下平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向 上 (+) 或向 下 (-)平移 b 个单位长度而得到. (2)对称变换 ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称. ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 x轴 对称. ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
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方法总结作函数图象的一般方法有: (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数 图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的 一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能 直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的 顺序对变换单位及解析式的影响. (3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过 描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、 奇偶性等性质讨论.
12 +
1-
1 tan������
2
,
PA=√������������2 + ������������2 =
12 +
1
+
1 tan������
2
.
所以 f(x)=PB+PA=
1+
1-
1 tan������
2
+
所以 f(x)在
π 4
,
π 2
上单调递减.
1+
1
+
1 tan������
2
.
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(3)翻折变换 ①要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变而得到. ②要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函 数的图象关于 y轴 的对称性,作出x<0部分的图象而得到. (4)伸缩变换 ①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为 原来的A 倍,横坐标不变而得到. 为②原y=来f(a的x)1���(���a>,纵0)坐的标图不象变,可而将得y=到f(.x)图象上所有点的横坐标变
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2.函数 y=1-������1-1 的图象是( B )
解析:将 y=-1������的图象向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单 位长度,即可得到函数 y=1-������1-1的图象.
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3.函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为( A )
B.关于直线y=-x对称
C.关于y轴对称
D.关于直线y=x对称
解析:∵f(x)=log222+-������������,x∈(-2,2),∴f(-x)=log222+-������������=-log222+-������������, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.故选 A.
在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( B )
A.
-∞,
1 √e
B.(-∞,√e)
C.
-
1 √e
,√e
D.
-√e,
1 √e
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解析:由已知得函数 f(x)的图象关于 y 轴对称的函数为 h(x)=x2+e-x-12(x>0).
令 h(x)=g(x),得 ln(x+a)=e-x-12,作函数 M(x)=e-x-12的图象,显然当 a≤0 时,函数 y=ln(x+a)的图象与 M(x)的图象一定有交点.
3.有关不等式的问题,常常转化为两函数图象的上、下关系来解.
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对点练习1函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交 点个数为( C )
③当点 P 在点 E 处时,f(x)=PB+PA=2√2<1+√5.
④当点 P 在线段 DE 上时,x∈
π 2
,
3π 4
.
由图形的对称性可知,此时函数图象与当点 P 在线段 CE 上时的
图象关于 x=π2对称.
⑤当点 P 在线段 DA 上时,x∈
3π 4
,π
.
由图形的对称性可知,此时的函数图象与当点 P 在线段 BC 上时
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5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围 是 (0,+∞) .
解析:在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示. 由图象知,当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.
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作函数的图象 作出下列函数的图象: (1)y=2x+2; (2) y=������������+-12 ; (3)y=|log2x-1|.
考点一
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识图与辨图 例题(1) (2014课标全国高考Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的 定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函 数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致C为( )
解析:由题意|OM|=|cos x|, f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知 C 正确.
故选 D.
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方法总结识图辨图的常用方法: (1)从函数的定义域判断图象的左右位置,从函数的值域判断图 象的上下位置; (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)从函数的周期性判断图象的循环往复; (5)必要时可求导研究函数性质. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项. 提醒:注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除时,代入特 殊值,或从某些量上也能寻找突破口.
可验证当x=10时,y=|lg 10|=1; 当0<x<10时,|lg x|<1; 当x>10时,|lg x|>1. 结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个.
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类型二 利用函数图象求参数的取值范围
例 2 已知函数 f(x)=x2+ex-12(x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存
解:(1)将y=2x的图象向左平移2个单位长度,图象如图.
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(2)y=1+������3-1,先作出 y=3������的图象,将其图象向右平移 1 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度,即得 y=������������+-12的图象,如图.
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(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移1个单位长度,保 留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x1|的图象,如图.
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②取线段 CD 的中点 E,当点 P 在线段 CE 上时,x∈
π 4
,
π 2
.
如图,过点 P 作 PH⊥AB,垂足为 H.
则 OH=ta1n������,BH=1-ta1n������,AH=1+ta1n������.
所以 PB=√������������2 + ������������2 =
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类型一 利用函数图象确定方程的根的个数
例1已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,g(x)=|lg x|, 那么方程f(x)=g(x)的解的个数为A( )
A.10 B.9 C.8 D.1
解析:根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式,可作图如下: