2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第01讲 导数的概念与运算(课件)

1
cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为ℎ = 3 3 + 2 ，当 = 0 时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当 = 0 + 1时，
液体上升高度的瞬时变化率为（
A．5cm/s
B．6cm/s
）
C．8cm/s
【答案】C
1
【解析】由ℎ = 3 3 + 2 ，求导得：ℎ′ = 2 + 2．
02
网络构建
03
知识梳理
题型归纳
1.函数的平均变化率
对于函数 y=f(x),设自变量 x 从 x0 变化到 x0+Δx,相应地,函数值 y 就从 f(x0)变
化到 f(x0+Δx) .这时,x 的变化量为 Δx
,y 的变化量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
Δ
Δ
我们把比值Δ ,即Δ
所以ℎ min = ℎ 1 = 3，且当 → 0+ 时，ℎ → +∞，所以函数ℎ
1
1
的值域为 3, +∞ ，所以 ≥ 3且 > 0，解得0 < ≤ 3，即实数的取
1
值范围为(0, 3]．
故选：A．
【解析】（1）因为 = −2 + 1
2
= 4 2 − 4 + 1，
所以′ = 8 − 4．
4
（2）因为 = ln 4 − 1 ，所以′ = 4−1．
（3）因为 = 23+2 ，所以′ = 3 × 23+2 ln2
1
（4）因为 = 5 + 4，所以′ = 2
率.
=
( 0 +Δ)-( 0 )
叫做函数
y=f(x)从
x
0 到 x0+Δx 的平均变化
Δ
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:如果当 Δx→0
Δ
Δ
时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极
Δ
Δ
限,则称 y=f(x)在 x=x0 处 可导
,并把这个确定的值叫做 y=f(x)在 x=x0 处的
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复
2′(0)e2 + e− ，当 = 0时， ′ (0) = 2 ′ (0) + 1，解得
′(0) = −1，
因此，() = −e2 − e− ，所以(0) = −2．
故答案为：-2
合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型三：导数的几何意义——方向1、在点P处切线
=1
= 6，
所以曲线 = 2 − 1 3 在点 1,1 处的切线斜率为6，
所以曲线 = 2 − 1 3 在点 1,1 处的切线方程为 − 1 =
6 − 1 ，即6 − − 5 = 0，
故答案为：6 − − 5 = 0．
题型三：导数的几何意义——方向1、在点P处切线
1
3
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数() = 3 + 2 + cos
导数(也称为瞬时变化率),记作 f'(x0)或 y'|= ,
0
即
y
f'(x0)= lim x
Δ→0
=
( 0 +Δ)-( 0 )

.
Δ
x→0
(2)几何意义:f'(x0)是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
3.函数f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一
1
= 2 − 1 ⋅ − 2 ⋯ − 5
1
+ 2 − 1 − 2 ⋯ − 5
1
所以′ 0 = − 2 1 2 ⋯ 5 ．
因为数列 为等比数列，所以1 5 = 2 4 = 32 = 4，
1
于是′ 0 = − 2 × 42 × 2 = −16．
1
2
(0 + )−(0 )
lim

→0
1
A．2
=（
）
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解题方法总结】
【解析】因为′ 0 = 2
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义
结构相同，然后根据导数定义直接写出．
1
所以 lim
(0 +2Δ)−(0 )
Δ→0
1
′(0 )
2
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
y'u·u'x
y' =
,即y对x的导数等于 y对u
的导数与
x
u对x
的导数的乘积.
题型一：导数的定义
【例1】（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：
题型三：导数的几何意义——方向3、公切线
1
【例5】（2023·云南保山·统考二模）若函数 = 4ln + 1与函数 = 2 − 2 > 0 的图象存在公切线，则实
数a的取值范围为（
A． 0,
）
1
3
1
3
2
3
B． , +∞
【答案】A
令ℎ =
4
【解析】由函数 = 4ln + 1，可得′ = ，
【对点训练5】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过点 − 3 , 0 作曲线 = 3 的切线，写出一条切线方程：__________．
【答案】 = 0或 = 3 + 2（写出一条即可）
故切点坐标为(0,0)或(−1, −1)，
【解析】由 = 3 可得′ = 3 2 ，
故切线方程为 = 0或 = 3 + 2，
π

2
，′ 为 的导函数．若′ 的
图象关于直线x＝1对称，则曲线 = 在点 2, 2 处的切线方程为______
7
1
3
【答案】 = − 3
则() = 3 − 2 + cos
π
2
【解析】′() = 2 + 2 − sin
π
2
π

2
令() = 2 + 2，ℎ() = − sin
【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）曲线 = 2 − 1 3 在点 1,1 处的切线方程为__________．
【答案】6 − − 5 = 0
【解析】函数 = 2 − 1 3 的导函数为′ = 6 2 − 1 2 ，
所以函数 = 2 − 1 3 在 = 1处的导数值′
故答案为：−16
1
+ 2 − 1 − 2 ⋯ − 5
′
，
′
题型二：求函数的导数
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数() = ′(0)e2 − e− ，则(0) =__________．
【答案】-2
【解题方法总结】
【解析】由函数() = ′(0)e2 − e− 求导得：′() =
5
5+4
=2
5
5+4
题型二：求函数的导数
1
2
【对点训练2】（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列 中，3 = 2，函数 = − 1 − 2 ⋯ − 5 ，
则′ 0 =__________．
【答案】−16
【解析】因为′ =
′
1

2
− 1 − 2 ⋯ − 5
大．重点考查导数的计算、四则运算
数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数
的运算法则求简单函数的导
数，能求简单的复合函数的
导数．
2022年I卷第15题，5分
2021年甲卷第13题，5分
2021年I卷第7题，5分
法则的应用和求切线方程为主．
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1
【解析】由题意可得′ = ，
设该切线方程 = ，且与 = ln相切于点 0 , 0 ，
0 = 0
0 = ln0
= ′ 0 =
1
0
，整理得ln0 = 1，
1
1
∴0 = e，可得 = ，∴ = ．
e
e
题型三：导数的几何意义——方向2、过点P的切线
2
2024
高考一轮复习讲练测
第01讲 导数的概念与运算
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
（1）了解导数的概念、掌握
高考对集合的考查相对稳定，考查内
基本初等函数的导数．
容、频率、题型、难度均变化不
（2）通过函数图象，理解导
2
2
= 1，解得b＝－1，
π

2
π
2
，′() = 2 − 2 − sin
π

2
，
题型三：导数的几何意义——方向2、过点P的切线
【例4】（2023·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线 = ln相切，则该直线的方程是______．
1
e
故答案为： = ．
1
【答案】 = e
7
(2) = − ，′ 2 = 0，
3
，
π

2
7ห้องสมุดไป่ตู้
故切线方程为 = − 3．
，
7
3
故答案为； = − ．
则′ = + ℎ ，
π
π
令 2 = π + 2， ∈ Z，解得x＝2k＋1， ∈ Z，
当k＝0时，x＝1，所以直线x＝1为ℎ 的一条对称轴，
故 的图象也关于直线x＝1对称，则有−
，
4
3
令 = + 4ln − 1，可得′ = 1 + > 0，函数 在 0, 4 上
单调递增，且 1 = 0，
当0 < < 1时， < 0，即ℎ′ < 0，此时函数ℎ 单调递减，
3
当1 < < 4 时，ϕ > 0，即ℎ′ > 0，此时函数ℎ 单调递增，
1
f'(x)= .

1
f'(x)=ln ;
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x)
;
(2)[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
(3)
()
()
'()()-()'()
'=
(g(x)≠0).
[()]2
6.复合函数的导数
3
>0
又由
，可得3 − 4ln > 0，解得0 < < e4 ，
>0
D． ,
2
2
+1

3−4ln
可得ℎ′ =
4
因为 > 0，设切点为 , 4ln + 1 ，则′ = ，
4

1 2
3 3
C． , 1
3
，其中0 < < e4 ，
4 2
+4ln−1
+1 ⋅


3−4ln 2
(3)若f(x)=sin x,则f '(x)=cos x;
(4)若f(x)=cos x,则f '(x)=-sin x;
(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f '(x)=axln a;
特别地,若f(x)=ex,则f '(x)=ex;
(6)若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则
特别地,若 f(x)=ln x,则
确定的数.这样,当x变化时,y=f '(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数
(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
(+Δ)-()
f'(x)=y'= lim
.
Δ
Δ→0
4.基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)=c(c为常数),则f '(x)=0;
(2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f '(x)=axa-1;
=1
故选：B
Δ
1
=
(0 +2Δ)−(0 )
1
lim
1
2 Δ→0
Δ
2
=
题型二：求函数的导数
【例2】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
（1） = −2 + 1 2 ；
（2） = ln 4 − 1 ；
（3） = 23+2
（4） = 5 + 4；
当 = 0 时，ℎ′ = 02 + 20 = 3，
解得0 = 1（0 = −3舍去）．
故当 = 0 + 1 = 2时，液体上升高度的瞬时变化率为
22 + 2 × 2 = 8 cm/s．
故选：C
D．10cm/s
题型一：导数的定义
【对点训练1】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数 的导函数是′ ，若′ 0 = 2，则
故答案为： = 0或 = 3 + 2
2
设过点 − 3 , 0 作曲线 = 3 的切线的切点为(0 , 0 )，则
0 = 03 ，
则该切线方程为 − 0 = 302 ( − 0 )，
2
2
将 − 3 , 0 代入得−03 = 302 (− 3 − 0 )，
解得0 = 0或0 = −1，
则公切线方程为 − 4ln − 1 =
1
1

− ，即 =
与 = 2 − 2联立可得 2 − 2 +
所以 = 2 + 4

整理可得1 =

2
4

4


2
2
+1

+ 4ln − 3，
− 4ln + 3 = 0，
1

− 4 × × 3 − 4ln = 0，
，
3−4ln