高中数学 第一章 数列 1_2_2_2 等差数列前n项和的性质课后演练提升 北师大版必修5

2016-2017学年高中数学 第一章 数列 1.2.2.2 等差数列前n 项和

的性质课后演练提升 北师大版必修5

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

解析： 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，

所以有S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，

即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.故选B.

答案： B

2．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )

A ．－9

B ．－11

C ．－13

D ．－15 解析： 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，

∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，

∴S 10＝10a 1＋a 102

＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15. 答案： D

3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－2 010，S 2 0072 007－S 2 0052 005

＝2，则S 2 010的值为( )

A ．2 010

B ．－2 010

C ．0

D ．1 解析： 在等差数列{a n }中，S n

n ＝a 1＋n －1d 2＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫

S n n 是以a 1为首项，d

2为公差的等差数列．

又S 2 007

2 007－S 2 0052 005＝2，即2×d 2＝2， 所以d 2

＝1.又a 1＝－2 010， 从而S 2 010

2 010

＝－2 010＋(2 010－1)×1＝－1， 所以S 2 010＝－2 010，故选B.

答案：B

4．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为( )

A ．5

B ．－5

C ．－2.5

D ．2.5

解析： 由题意知S 奇＋S 偶＝75，又S 偶＝25，

∴S 奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S 偶－S 奇＝10d ，即25－50＝10d ，∴d ＝－2.5.

答案： C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．

解析： 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.

或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋20d ＝155a 1＋25d ＝30求得d ＝3.

答案： 3

6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 、T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16

＝________.

解析： 利用等差数列性质，得

a 2＋a 5＋a 17＋a 22

b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22

＝22×

a 1＋a 22222×

b 1＋b 222

＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝15525＝315. 答案：

315 三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知数列{a n }是等差数列．

(1)S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n .

(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 解析： (1)因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，

所以S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.

(2)⎩⎪⎨⎪⎧ S 偶＋S 奇＝S n S 奇－S 偶＝a 中

S n ＝na 中⇒⎩⎪⎨⎪⎧ S n ＝77a 中＝11na 中＝S n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 中＝11，n ＝7.

8．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分

钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

解析： (1)设n min 后第1次相遇，依题意，有 2n ＋n n －1

2

＋5n ＝70. 整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7min.

(2)设m min 后第2次相遇，依题意有2m ＋

m m －12＋5m

＝3×70，整理得m 2＋13m －6×70＝0.

解得m ＝15，m ＝－28(舍去)．

∴第2次相遇是在开始运动后15 min.

尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝－4，S 8＝a 8，求数列{|a n |}的前n 项和T n .

解析： 设等差数列{a n }的公差为d ，

由S 8＝a 8得8a 1＋

8×8－12

d ＝a 1＋7d ， 则a 1＝－3d .

又a 2＝a 1＋d ＝－4.

∴d ＝2，a 1＝－6.

∴a n ＝－6＋(n －1)×2

＝2n －8. S n ＝n a 1＋a n 2＝n [－6＋2n －4]2

＝n (n －7)． 由a n ≤0解得n ≤4，即数列{a n }前3项为负数，第4项为0，从第5项开始为正数． ∴当n ≤4时，T n ＝－S n ＝n (7－n )，

当n >4时，T n ＝S n －S 4＋(－S 4)

＝S n －2S 4＝n (n －7)－2×4×(4－7)

＝n 2－7n ＋24

∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 7－n n ≤4n 2－7n ＋24 n >4.

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