2018大二轮高考总复习理数文档：大题速练手不生2 含解

大题速练手不生(02)

时间：75分钟 满分：70分

17．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－1

2，函数f (x )＝(m ＋n )·m ． (1)求f (x )的最小正周期T ；

(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦

⎤0，π

2上的最大值，求A 和b ． 解：(1)∵向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－1

2， ∴f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋1

2

＝

1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －1

2

cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∵ω＝2，

∴函数f (x )的最小正周期T ＝

2π

2

＝π； (2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π

6

， ∴当2x －π6＝π2时，f (x )取得最大值3，此时x ＝π3，

∴由f (A )＝3得：A ＝π

3

，

由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴12＝b 2＋1 6－4b ，即(b －2)2＝0， ∴b ＝2．

18．(12分)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4 (1)请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有

关，并说明理由；

(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．

下面的临界值表仅参考：

(参考公式：K 2＝

n (ad －bc )

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )

解：(1)由题意知列联表为：

K 2

＝100(45×25－15×15)2

60×40×60×40

≈14.063＞10.828，

∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2，

P (X ＝0)＝C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 12C 1

3C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23

C 25＝310

，

∴X 的分布列为：

E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝6

5

．

19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB ＝2EA ＝2ED ，EF ∥BD ．

(1)证明：AE ⊥CD ；

(2)在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为6

3

？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，

又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面AED ，∵AE ⊂平面AED ， ∴AE ⊥CD ．

(2)解：取AD 的中点O ，过O 作ON ∥AB 交BC 于N ，连接EO ，

∵EA ＝ED ，∴OE ⊥AD ，又平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，OE ⊂平面AED ，

∴OE ⊥平面ABCD ，

以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示：

设正方形ABCD 的边长为2，EM

ED

＝λ，

则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D (－1,0,0)，E (0,0,1)，M (－λ，0，λ) ∴AM →＝(－λ－1,0，λ)，DE →＝(1,0,1)，DB →

＝(2,2,0)， 设平面BDEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·DB →＝0n ·

DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋2y ＝0x ＋z ＝0，

令x ＝1得n ＝(1，－1，－1)，

∴cos 〈AM →

，n 〉＝AM →

·n |AM →||n |＝－2λ－13×2λ2＋2λ＋1， 令⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－2λ－13×2λ2

＋2λ＋1＝63，方程无解， ∴棱ED 上不存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为

63

． 20．(12分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1、C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．

(1)设e ＝1

2

，求|BC |与|AD |的比值；

(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，求椭圆离心率e 的取值范围． 解：(1)因为C 1、C 2的离心率相同，

故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2

a 2＝1，(a ＞

b ＞0)．

设直线l ：x ＝t (|t |＜a )分别和C 1、C 2的方程联立， 求得A (t ，a

b

a 2－t 2)，B (t ，b

a

a 2－t 2)．

当e ＝12时，b ＝3

2a ，分别用y A 、y B 表示A 、B 的纵坐标，

∴|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34． |BC |与|AD |的比值3

4

；

(2)t ＝0时的l 不符合题意，t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，

即

b a

a 2－t 2t ＝a

b a 2－t 2

t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b

2＝－1－e 2e 2·a ． 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1， 所以1－e 2e 2＜1，解得2

2＜e ＜1．

∴当

22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭

⎫2

2，1， ∴椭圆离心率e 的取值范围⎝⎛

⎭

⎫

22，1．

21．(12分)已知函数f (x )＝(ax ＋2)ln x －(x 2＋ax －a －1)(a ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线的斜率为2

e －2e ，求

f (x )的极值；

(2)当x ＞1时，f (x )的图象恒在x 轴下方，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝ax ＋2x ＋a ln x －(2x ＋a )＝a ln x －2x ＋2

x

，x ＞0，