高考题型专题冲刺精讲(数学)专题四：函数与导数(学生版)

2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题四函数

与导数

【命题特点】

函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值 26 分左右，函数的解答题在文、理两卷中往往分别命制，这不仅是由教学内容要求的差异所决定的，也与文理科考生的思维水平差异有关。文科卷中函数和导数的解答题，其解析式只能选用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；

②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.

复习建议：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化

而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识。【试题常见设计形式】

函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大，考查时有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对数学思想方法进行深入的考查，这种综合地统揽各种知识、方法和能力，在函数的考查中得到了充分的体现，函数与导数解答题在文、理两卷中往往分别命制，这既是由教学内容要求的差异所决定的，也与文、理科考生的思维水平差异有关，文科卷中的解答题，其解析式一般选用多项式函数；理科卷则常在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；2考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.

【突破方法技巧】

1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.

2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.

3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.

4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.

5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若()

f x在（a，b）内有极值，那么()

f x在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④

一般的情况，当函数()

f x在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数()

f x在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.

6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即/()

f x＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与()

f a，f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当()

f x在（a，()

b）内只有一个可疑点时，若在这一点处()

f x有极大（小）值，则可以确定()

f x在该点处了取到最大（小）值.

7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：

①'()

f x＜0亦是如

f x＞0是()

f x递增的充分条件而非必要条件（'()

此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据'()

f x＞0（或'()

f x＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.

8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；

(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.

【典型例题分析】

考点一、利用导数求解函数的单调性问题

若f(x)在某区间上可导，则由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出

f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x 3在R 上递增，而f

(x)≥0.f(x)在区间D 内单调递增(减)的充要条件是f (x 0)≥0(≤0)，且f (x)在(a ，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.

【例1】2010课标全国Ⅰ、设函数2()1x f x e x ax =---。（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（II ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

【例2】2010北京、已知函数f (x )=In(1+x )-x +22x x (k ≥0)。(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间。

【例3】2010天津、已知函数()f x =xe -x （x ∈R ）.(Ⅰ) 求函数()f x 的

单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=()g x 的图象与函数y=()f x 的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，()f x >()g x (Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>

【例4】2010山东已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+

-()a R ∈.(Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数

b 取值范围. 考点二、 求函数的极值问题

极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的