2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案 (2)

顶点
A1(－a,0).A2(a,0)
A1(0.－a).A2(0.a)
轴
实轴：线段A1A2.虚轴：B1B2
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ .e∈(1.＋∞)
a.b.c的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝± x
y＝± x
三、离心率e的作用
(1)椭圆：e越大.图形越扁．
(2)双曲线：e越大.开口越小．
四、常见结论
答案：B
7．[20xx·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y＝x＋ (x>0)上的一个动点.则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：通解：设P .x>0.则点P到直线x＋y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4.当且仅当2x＝ .即x＝ 时取等号.故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时.曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时.曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时.轨迹为分别以F1.F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时.动点轨迹不存在．
(2)弦长公式：l＝2a＝2 .
3．切线长公式
圆的方程为f(x.y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.或f(x.y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0.圆外有一点P(x0.y0).由点P向圆引的切线的长为l＝ .
■自测自评——————————————
1．设a.b.c分别是△ABC中角A.B.C所对的边.则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是( )
(5)AB为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的弦.A(x1.y1).B(x2.y2).弦中点M(x0.y0).则
①弦长l＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|(其中k为直线AB的斜率)；
②直线AB的斜率kAB＝－ .
答案：D
6．[20xx·湖北重点中学]已知两点A(a,0).B(－a,0)(a>0).若圆(x－ )2＋(y－1)2＝1上存在点P.使得∠APB＝90°.则正实数a的取值范围为( )
A．(0,3]B．[1,3]
C．[2,3]D．[1,2]
解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2.则由题意知圆(x－ )2＋(y－1)2＝1与圆x2＋y2＝a2有公共点.则|a－1|≤ ≤a＋1.解得1≤a≤3.故选B.
1．椭圆
(1)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 .通径是最短的焦点弦．
(2)P是椭圆上一点.F为椭圆的焦点.则|PF|∈[a－c.a＋c].即椭圆上点到焦点的距离的最大值为a＋c.最小值为a－c.
(3)椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0.y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．
如图所示.设∠F1PF2＝θ.
解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1.－2).如图.连接PP′.P′Q.由对称性可知.P′Q与圆相切于点T.则|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为A(3,4).半径r＝2.连接AP′.AT.则|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52.|AT|＝r＝2.所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝ ＝4 .
C．2 D．4
解析：解法一：依题意.圆C的圆心为(2,1).圆心到直线的距离d＝ ＝ .又弦长为2 .所以2 ＝2 .所以r＝2.故选B.
解法二：联立得 .整理得2x2－12x＋20－r2＝0.设直线与圆的两交点分别为A(x1.y1).B(x2.y2).所以x1＋x2＝6.x1·x2＝ .所以|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝2 .解得r＝2.
二、方程和性质
1．椭圆的方程与性质
标准方程
＋ ＝1(a>b>0)
＋ ＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a.－b≤y≤b
－b≤x≤b.－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0).A2(a,0)；B1(0.－b).B2(0.b)
A1(0.－a).A2(0.a)；B1(－b,0).B2(b,0)
(2)斜截式：y＝kx＋b
(3)两点式： ＝
(4)截距式： ＋ ＝1
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
(6)参数式： (t为参数)
3．两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b12＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
优解：由y＝x＋ (x>0)得y′＝1－ .令1－ ＝－1.得x＝ .则当点P的坐标为( .3 )时.点P到直线x＋y＝0的距离最小.最小值为 ＝4.
答案：4
8．[20xx·唐山摸底]已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A.B两点.则|AB|的最小值为________．
②范围：0°≤α<180°.
(2)直线的斜率：
①定义：当α≠90°时.tanα表示直线l的斜率.用k表示.即k＝tanα；当α＝90°时.直线l的斜率k不存在．
②计算公式：给定两点P1(x1.y1).P2(x2.y2)(x1≠x2).经过P1.P2两点的直线的斜率公式为k＝ .
2．直线方程的形式
(1)点斜式：y－y0＝k·(x－x0)
(3)参数方程：
(θ为参数)
圆心(a.b).半径为r.
2．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.直线l：Ax＋By＋C＝0.圆心C(a.b)到直线l的距离为d.由 消去y(或x).得到关于x(或y)的一元二次方程.其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
答案：C
5．[20xx·广州调研]若点P(1,1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点.则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0
D．2x－y－1＝0
解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0).又P(1,1).所以kPC＝ ＝－ .易知MN⊥PC.所以kMN·kPC＝－1.所以kMN＝2.根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y－1＝2(x－1).即2x－y－1＝0.故选D.
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a.且2a>|F1F2|}.|F1F2|＝2c.其中a>c>0.且a.c为常数．
(3)当2a>|F1F2|时.轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时.轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时.轨迹不存在．
2．双曲线的定义及理解
(1)定义：平面上到两定点F1.F2的距离之差的绝对值为非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两定点叫做双曲线的焦点.两焦点间的距离叫做焦距．
解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1).经过定点P(1,2).由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8.可知圆心C(0,1).半径r＝2 .由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小.因为|CP|＝ ＝ .故|AB|min＝2 ＝2 .
答案：2
9．[20xx·广东六校联考]已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4.一光线从点P出发.经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T.则|PQ|＋|QT|的值为________．
①当P为短轴端点时.θ最大．
② ＝ |PF1|·|PF2|·sinθ＝b2· ＝b2tan ＝c|y0|.当|y0|＝b.即P为短轴端点时. 取最大值.最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(4)设F1.F2是椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点.AB是过F1的弦.则|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a.
2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案 (2)
编 辑：__________________
时 间：__________________
9讲 解析几何
调研一 直线与圆
■备考工具——————————————
一、直线方程的相关概念
1．表示直线方向的两个量
(1)直线的倾斜角：
①定义：在平面直角坐标系中.当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准).x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
3.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R.r.R>r.圆心距为d.则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
几何特征
d>R＋r
d＝R＋r
R－r<d<R＋r
d＝R－r
0<d<R－r
d＝0
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
无实数解
公切线条数
解法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0.m)为圆心的圆相切.且切点为A(－2.－1).所以 ×2＝－1.所以m＝－2.r＝ ＝ .
答案：－2
调研二 椭圆、双曲线
■备考工具——————————————
一、定义
1．椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1.F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
A．1B．－3
C．0或－ D．1或－3
解析：由题设可得a(a＋2)＝3.解得a＝1或a＝－3.当a＝－3时两直线重合.应舍去.故选A.
答案：A
3．[20xx·合肥调研]已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2 .则圆C的半径r＝( )
A. B．2
4
3
2
1
0
0
三、重要公式
1．中点坐标公式
若点P1.P2的坐标分别为(x1.y1).(x2.y2).则线段P1P2的中点M(x.y)的坐标满足
若线段的中点为M(x0.y0).一个端点坐标为(a.b).则另一个端点坐标为(2x0－a,2y0－b)．
2．弦心距公式和弦长公式
(1)弦心距公式：直线截圆所得的弦长为2a.圆的半径为r.弦心距为d.则弦心距公式为d＝ .
d＝
二、圆的方程及相关概念
1．圆的方程
(1)圆的标准方程与一般方程：
名称
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心
(a.b)
半径
r
(2)A(x1.y1).B(x2.y2).以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－ .bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝ .故k1k2＝－ · ＝－1.所以直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直.故选C.
答案：C
2．若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行.则a的值为( )
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
或
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
4．距离
距离
公式
点P0(x0.y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离
答案：4
10．[20xx·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0.m).半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2.－1).则m＝________.r＝________.
解析：解法一：设过点A(－2.－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0.所以－2－2＋t＝0.所以t＝4.所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0.得m＝－2.则r＝ ＝ .
答案：B
4．[20xx·河北九校联考]圆C的半径为2.圆心在x轴的正半轴上.直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切.则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0
D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0).则 ＝2.解得m＝2或m＝－ (舍去).故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.即x2＋y2－4x＝0.故选C.
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ ∈(0,1)
a.b.c的关系
a2＝b2＋c2
2.双曲线的方程与性质
标准方程
－ ＝1
(a>0.b>0)
－ ＝1
(a>0.b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a.y∈R
x∈R.y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点