2020春人教版八年级数学下册 第17章 17.1.3 勾股定理的几何应用 点拨习题
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人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
第1节 勾股定理 第3课时 勾股定理的几何应用
提示：点击 进入习题
1 3，2；斜边长 2B
3C 4 (－1，0) 5 2 021
6D 7D
Leabharlann Baidu答案显示
83 9 6＋2 2或 10 或 8＋2 2
10 见习题
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题
(2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°，点 D 的位置由△ABC 外的点 D1 转到其内的点 D2 处，连接 D1D2，如图②，此时∠AD2C＝ 135°，CD2＝60，求 BD2 的长．
解：如图，连接 CD1. 由题意知∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30， ∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2. ∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°.
(2)AD2＋AE2＝DE2.
证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC. ∵∠DBC＋∠DAC＝90°，∴∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°. ∴AD2＋AE2＝DE2. 【点拨】本题运用等角代换法可得∠EAD＝90°， 用勾股定理即可得证．
11．(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面 上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD＝30，DM ＝10.
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格 中的三角形 ABC，其边长为无理数的边数有( D ) A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条
7．(2019·枣庄)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置．若四边形 AECF 的面积为 20，DE＝2，则 AE 的长为( D ) A．4 B．2 5 C．6 D．2 6
5．如图，OP＝1，过点 P 作 PP1⊥OP，且 PP1＝1，得 OP1＝ 2； 再过点 P1 作 P1P2⊥OP1，且 P1P2＝1，得 OP2＝ 3；又过点 P2 作 P2P3⊥OP2，且 P2P3＝1，得 OP3＝2……依此法继续作 下去，得 OP2 020＝__2__0_2_1____．
(1)在旋转过程中， ①当 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的长；
解：AM＝AD＋DM＝40 或 AM＝AD－DM＝20.
②当 A，D，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长．
解：显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800， ∴AM＝20 2； 当∠ADM 为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1 000， ∴AM＝10 10. 综上所述，AM 的长为 20 2或 10 10.
【方法总结】证明三角形各边之间的平方关系的方法：先 观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定 理进行说明；若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中， 再利用勾股定理进行说明．
证明：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 在 Rt△ABE，Rt△ACE 和 Rt△ADE 中， 根据勾股定理，得 AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2， AE2＝AD2－DE2， ∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2 ＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2 ＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD·DE＋DE2＋CD2＋2CD·DE＋DE2
3．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝3，AD＝1，点 A，B 在数 轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴 的正半轴于点 M，则点 M 表示的数为( C ) A．2 B． 5－1 C． 10－1 D． 5
4．(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)， 以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C， 则点 C 的坐标为_(_－__1_，__0_)．
m/s，并在离该
公路 100 m 处设置了一个监测点 A.在如图所示的平面直角
坐标系中，点 A 位于 y 轴上，测速路段 BC 在 x 轴上，点 B
在点 A 的北偏西 60°方向上，点 C 在点 A 的北偏东 45°方向
上．另外一条公路在 y 轴上，AO 为其中的一段．
(1)求点 B 和点 C 的坐标；
∴CD1＝ CD22＋D1D22＝ 602＋（30 2）2＝30 6. ∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°， ∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2， 即∠BAD2＝∠CAD1. ∵AB＝AC，AD2＝AD1， ∴△BAD2≌△CAD1(SAS)． ∴BD2＝CD1＝30 6.
12．如图，AD 是△ABC 的中线． 求证 AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
(2)一辆汽车从点 B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 s，通过计 算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据： 3≈1.7)．
【思路点拨】由(1)可知 BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车 在这段限速路上的速度，并与530 m/s 比较即可．
解：∵BC＝BO＋CO＝(100 3＋100) m， 100 135＋100≈18(m/s)＞530 m/s， ∴该汽车在这段限速路上超速．
【点拨】由题易得四边形 AECF 的面积等于正 方形 ABCD 的面积，进而可求出正方形 ABCD 的边长，再利用勾股定理求解即可．
8．(2018·德州)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝ 5，OM＝4，则点 C 到射线 OA 的距离为___3_____．
9．(2019·绍兴)把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四 块，其中点 O 为正方形的中心，点 E，F 分别为 AB，AD 的 中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)，则四边形 MNPQ 的 周长是_6_＋__2__2_或___1_0_或___8_＋__2__2_．
＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD·DE＋2CD·DE. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD. ∴AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2， 即 AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
13．在某段限速公路 BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定
汽车的最高行驶速度不能超过
60
km/h即530
答案显示
1．在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别 为正整数的直角三角形的斜边的长．例如：在数轴上找表示 ± 13的点时，是以原点 O 为圆心，以两直角边长分别为 ____3_, _2__的直角三角形的__斜__边__长__为半径画弧，与数轴的两 个交点即为表示± 13的点．
2．(中考·台州)如图，数轴上的点 O，A，B 分别表示数 0，1，2， 过点 B 作 PQ⊥AB，以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于 点 M，则点 M 表示的数是( B ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
10．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝ ∠DCE＝90°，D 为 AB 边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD； 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CE＝CD. ∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
【思路点拨】要求点 B 和点 C 的坐标，只要分别求出 OB 和 OC 的长即可； 解：在 Rt△AOB 中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°.∴OA＝12AB. ∵OA＝100 m，∴AB＝200 m. 根据勾股定理，得 OB＝ AB2－OA2＝ 2002－1002＝100 3(m)． 在 Rt△AOC 中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°. ∴OC＝OA＝100 m，∴B(－100 3，0)，C(100，0)．
第十七章 勾股定理
第1节 勾股定理 第3课时 勾股定理的几何应用
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1 3，2；斜边长 2B
3C 4 (－1，0) 5 2 021
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(2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°，点 D 的位置由△ABC 外的点 D1 转到其内的点 D2 处，连接 D1D2，如图②，此时∠AD2C＝ 135°，CD2＝60，求 BD2 的长．
解：如图，连接 CD1. 由题意知∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30， ∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30 2. ∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°.
(2)AD2＋AE2＝DE2.
证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC. ∵∠DBC＋∠DAC＝90°，∴∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°. ∴AD2＋AE2＝DE2. 【点拨】本题运用等角代换法可得∠EAD＝90°， 用勾股定理即可得证．
11．(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面 上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD＝30，DM ＝10.
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格 中的三角形 ABC，其边长为无理数的边数有( D ) A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条
7．(2019·枣庄)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置．若四边形 AECF 的面积为 20，DE＝2，则 AE 的长为( D ) A．4 B．2 5 C．6 D．2 6
5．如图，OP＝1，过点 P 作 PP1⊥OP，且 PP1＝1，得 OP1＝ 2； 再过点 P1 作 P1P2⊥OP1，且 P1P2＝1，得 OP2＝ 3；又过点 P2 作 P2P3⊥OP2，且 P2P3＝1，得 OP3＝2……依此法继续作 下去，得 OP2 020＝__2__0_2_1____．
(1)在旋转过程中， ①当 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的长；
解：AM＝AD＋DM＝40 或 AM＝AD－DM＝20.
②当 A，D，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长．
解：显然∠MAD 不能为直角． 当∠AMD 为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800， ∴AM＝20 2； 当∠ADM 为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1 000， ∴AM＝10 10. 综上所述，AM 的长为 20 2或 10 10.
【方法总结】证明三角形各边之间的平方关系的方法：先 观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定 理进行说明；若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中， 再利用勾股定理进行说明．
证明：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 在 Rt△ABE，Rt△ACE 和 Rt△ADE 中， 根据勾股定理，得 AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2， AE2＝AD2－DE2， ∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2 ＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2 ＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD·DE＋DE2＋CD2＋2CD·DE＋DE2
3．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝3，AD＝1，点 A，B 在数 轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴 的正半轴于点 M，则点 M 表示的数为( C ) A．2 B． 5－1 C． 10－1 D． 5
4．(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)， 以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C， 则点 C 的坐标为_(_－__1_，__0_)．
m/s，并在离该
公路 100 m 处设置了一个监测点 A.在如图所示的平面直角
坐标系中，点 A 位于 y 轴上，测速路段 BC 在 x 轴上，点 B
在点 A 的北偏西 60°方向上，点 C 在点 A 的北偏东 45°方向
上．另外一条公路在 y 轴上，AO 为其中的一段．
(1)求点 B 和点 C 的坐标；
∴CD1＝ CD22＋D1D22＝ 602＋（30 2）2＝30 6. ∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°， ∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2， 即∠BAD2＝∠CAD1. ∵AB＝AC，AD2＝AD1， ∴△BAD2≌△CAD1(SAS)． ∴BD2＝CD1＝30 6.
12．如图，AD 是△ABC 的中线． 求证 AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
(2)一辆汽车从点 B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 s，通过计 算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据： 3≈1.7)．
【思路点拨】由(1)可知 BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车 在这段限速路上的速度，并与530 m/s 比较即可．
解：∵BC＝BO＋CO＝(100 3＋100) m， 100 135＋100≈18(m/s)＞530 m/s， ∴该汽车在这段限速路上超速．
【点拨】由题易得四边形 AECF 的面积等于正 方形 ABCD 的面积，进而可求出正方形 ABCD 的边长，再利用勾股定理求解即可．
8．(2018·德州)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝ 5，OM＝4，则点 C 到射线 OA 的距离为___3_____．
9．(2019·绍兴)把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四 块，其中点 O 为正方形的中心，点 E，F 分别为 AB，AD 的 中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)，则四边形 MNPQ 的 周长是_6_＋__2__2_或___1_0_或___8_＋__2__2_．
＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD·DE＋2CD·DE. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD. ∴AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2， 即 AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
13．在某段限速公路 BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定
汽车的最高行驶速度不能超过
60
km/h即530
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1．在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别 为正整数的直角三角形的斜边的长．例如：在数轴上找表示 ± 13的点时，是以原点 O 为圆心，以两直角边长分别为 ____3_, _2__的直角三角形的__斜__边__长__为半径画弧，与数轴的两 个交点即为表示± 13的点．
2．(中考·台州)如图，数轴上的点 O，A，B 分别表示数 0，1，2， 过点 B 作 PQ⊥AB，以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于 点 M，则点 M 表示的数是( B ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
10．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝ ∠DCE＝90°，D 为 AB 边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD； 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CE＝CD. ∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
【思路点拨】要求点 B 和点 C 的坐标，只要分别求出 OB 和 OC 的长即可； 解：在 Rt△AOB 中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°.∴OA＝12AB. ∵OA＝100 m，∴AB＝200 m. 根据勾股定理，得 OB＝ AB2－OA2＝ 2002－1002＝100 3(m)． 在 Rt△AOC 中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°. ∴OC＝OA＝100 m，∴B(－100 3，0)，C(100，0)．