2018-2019学年高中数学 第一章 集合与函数概念训练卷(二)新人教A版必修1

集合与函数概念（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合{|20}A x x =-<，{}1,2,3B =，则A B =（ ）
A ．{}1,2,3
B ．{}1
C ．{}3
D ．∅
2．设集合{}=1,2M ，则满足条件{}=1,2,3,4M N 的集合N 的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4
3．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．32y x =-+
B ．3y x
=
C ．245y x x -=+
D ．23810y x x +=-
4．若奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ） A ．增函数且最小值是1- B ．增函数且最大值是1- C ．减函数且最大值是1-
D ．减函数且最小值是1-
5．
已知集合{|P x y ==，
集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P Q = B ．P Q ⊆ C ．P Q ⊇
D ．P Q =∅
6．设()()()F x f x f x =+-，x ∈R ，若,2π⎡
⎤-π-⎢⎥⎣
⎦是函数F (x )的单调递增区间，
则一定是()F x 单调递减区间的是（ ） A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦
C ．23π⎡⎤π,⎢⎥⎣⎦
D ．,223π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦
7．已知函数()2f x x bx c =＋＋的图象的对称轴为直线x ＝1，则（ ） A ．()()1(12)f f f <<- B ．()()12()1f f f <<- C ．()())211(f f f -<<
D ．()())112(f f f -<<
8．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A ．()103
2
2y x x =-≤≤ B ．()123203
2
y x x --=
≤≤ C ．()1023
2
y x x =
-≤≤- D ．()1012y x x =-≤≤-
9．已知()()121,2
11
1,2
x x x f x f x +≥⎧
-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝，则1746f f ⎛⎫⎛⎫
+
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．16
-
B ．
16
C ．
56 D ．56
-
10．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(]0-∞，上是增函数，若()()2f a f ≤， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．2a ≥- C ．22a -≤≤
D ．22a a ≤-≥或
11．已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x ＝－－与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1
m
i x =∑（ ）
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
12．已知()32f x x =－，()22g x x x =－，()()()()()()()
,,g x f x g x F x f x f x g x ⎧⎪≥<⎨⎪⎩＝若若，则()F x 的
2
最值是 （ ）
A ．最大值为3，最小值1- B
．最大值为7- C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13
．函数2y x =+________．
14．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．
15．若函数()f x 的定义域为[12]-，则函数2(3)f x -的定义域为________． 16．规定记号“∆
”表示一种运算，即a b a b ∆=+，a ，b ∈R ，若13k ∆=， 则函数()f x k x ∆＝的值域是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知全集U =R ，集合{}|4A x x =>，{|66}B x x =-<<． （1）求A
B 和A B ；
（2）求U B ð；
（3）定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，求A B -，()A A B --．
18．（12分）已知函数()21
1
x f x x ++＝
． （1）判断函数()f x 在区间[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[1]4，上的最大值与最小值．
3
19．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤-a -1}，B ＝{x |x >a ＋2}，C ＝{x |x <0或x ≥4}都是U 的子集． 若()U A
B C ⊆ð，问这样的实数a 是否存在？若存在，求出a 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
20．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )＝ax 2
+bx ，f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等实根．
（1）求函数f (x )的解析式； （2）当]2[1x ∈，时，求f (x )的值域；
（3）若F (x )＝f (x )-f (-x )，试判断F (x )的奇偶性，并证明你的结论．
4
21．（12分）设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为4(3)P ，且过点2(2)A ，的抛物线的一部分．
（1）求函数f (x )在(),2-∞-上的解析式；
（2）在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； （3）写出函数f (x )的值域和单调区间．
22．（12分）定义在R 上的函数f (x )，满足当x >0时，f (x )>1，且对任意的x ，y ∈R ，
有()()()·f x y f x f y +＝，f (1)＝2． （1）求f (0)的值；
（2）求证：对任意x ∈R ，都有f (x )>0； （3）解不等式f (3-2x )>4．
2018-2019学年必修一第一章训练卷
集合与函数概念（二）答 案
一、选择题 1．【答案】B
【解析】∵集合20{|}{|}2A x x x x =-=＜＜，3{}12B =，，∴{}1A B =，故选B ．
2．【答案】D
【解析】∵{}=1,2M ，{}=1,2,3,4M
N ．
∴{}{}{}{}=3,41,3,42,3,41,2,3,4N 或或或， 即集合N 有4个．故选D ． 3．【答案】D
【解析】显然A 、B 两项在()0,2上为减函数，排除； 对C 项，函数在()2-∞，上为减函数，也不符合题意；
对D 项，函数在4,3⎛+∞⎫
- ⎪⎝⎭
上为增函数，所以在()0,2上也为增函数，故选D ．
4．【答案】B
【解析】∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值相反． ∴()y f x =在[7,3]--上有最大值1-且为增函数．故选B ． 5．【答案】C
【解析】{[)1,|P x y ===-+∞
，{[)0,|Q y y ==+∞， 所以P Q ⊇．故选C ． 6．【答案】B
【解析】∵()()F x F x -=，∴()F x 是偶函数， 因而在,2π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
上()F x 一定单调递减．故选B ．
7．【答案】B
【解析】因为二次函数()f x f (x )的图象的对称轴为直线1x =，所以()()13f f -=． 又函数()f x f (x )的图象为开口向上的抛物线， 则()f x 在区间[1,)+∞上为增函数，
故()()()123f f f <<，即()()12()1f f f <<-．故选B ． 8．【答案】B
【解析】01x ≤≤，32y x =，12x ≤≤，3
32
y x =-．故选B ． 9．【答案】A
【解析】11121442f ⎛⎫
=⨯-=- ⎪⎝⎭，
7711111121166663f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=+=⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
∴171466f f ⎛⎫
⎛⎫
+
=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，故选A ．
10．【答案】D
【解析】∵()y f x =是偶函数，且在(]0-∞，上是增函数，
∴()y f x =在[0,)+∞上是减函数，由()()2f a f ≤，得()()2f a f ≤， ∴2a ≥，得22a a ≤-≥或，故选D ． 11．【答案】B
【解析】因为()y f x =，223y x x ＝－－都关于1x =对称， 所以它们交点也关于1x =对称， 当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯+=， 因此选B ．
12．【答案】B
【解析】作出F (x )的图象，如图实线部分， 知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B ．
二、填空题 13．【答案】(]4-∞，
【解析】
令t =()210x t t =-≥，
22222421()4y x t t t +=+=---+=．
又∵0t ≥，∴当1t =时，4max y =．故原函数的值域是(]4-∞，． 14．【答案】2
【解析】结合Venn 图可知，两种都没买的有2人．
15．【答案】1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】由1322x -≤-≤解得122x ≤≤，故定义域为1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 16．【答案】(1,)+∞
【解析】
由题意，113k k ∆=+=，得1k =．(
)11f x x x ∆=+=， 即(
)2
13124f x x ⎫+=+⎪⎭=，由于0x >
，∴2
13124⎫+>⎪⎭，
因此函数()f x 的值域为(1,)+∞． 三、解答题
17．【答案】（1）{|46}A B x x =<<，{}|6A B x x =>-；
（2）{|66}U B x x x =≥≤-或ð； （3）(){|6}U A B A
B x x -==≥ð，(){|46}A A B x x --=<<．
【解析】（1）∵{}|4A x x =>，{|66}B x x =-<< ∴{|46}A B x x =<<，{}|6A
B x x =>-．
（2）{|66}U B x x x =≥≤-或ð． （3）∵定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且， ∴(){|6}U A B A
B x x -==≥ð，(){|46}A A B x x --=<<．
18．【答案】（1）增函数，见解析；（2）95，3
2
．
【解析】（1）函数()f x 在[1,)+∞上是增函数． 证明：任取12,[,)1x x ∈+∞，且12x x <，
则()()()()
1212
12121221211111x x x x f x f x x x x x ++--=
+++=
+-． 易知120x x -<，12()11(0)x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在[1,)+∞上是增函数．
（2）由（1）知函数()f x 在[1]4，上是增函数，
则函数()f x 的最大值为()9
45
f =
，最小值为()312f =．
19．【答案】存在，3|2a a ⎧
⎫-⎨⎩
≤⎬⎭．
【解析】因为()U A B C ⊆ð，所以应分两种情况．
（1）若() U A B =∅ð，则A ∪B ＝R ，因此a +2≤-a -1，即a ≤3
2-．
（2）若() U A
B ≠∅ð，则a +2>-a -1，即a >3
2
-．
又A ∪B ＝{x |x ≤-a -1或x >a +2}， 所以()|2{}1U A B x a x a -<≤=-+ð，
又()U A
B C ⊆ð，所以a +2<0或-a -1≥4，
即2a <-或a ≤-5，即2a <-． 又a >3
2
-，故此时a 不存在．
综上，存在这样的实数a ，且a 的取值范围是3|2a a ⎧
⎫-⎨⎩
≤⎬⎭．
20．【答案】（1）f (x )＝12-x 2+x ；（2）201⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，；（3）F (x )是奇函数，见解析．
【解析】（1）由f (2)＝0，得4a +2b ＝0，即2a +b ＝0．①
方程f (x )＝x ，即ax 2
+bx ＝x ，即ax 2
+(b -1)x ＝0有两个相等实根，
且a ≠0，∴b -1＝0，∴b ＝1，代入①得a ＝1
2-．
∴f (x )＝12
-x 2
+x ．
（2）由（1）知f (x )＝12-(x -1)2
＋12
．显然函数f (x )在[1]2，上是减函数，
∴x ＝1时，f (x )max ＝
1
2
，x ＝2时，f (x )min ＝0． ∴]2[1x ∈，时，函数f (x )的值域是201⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
（3）F (x )是奇函数．
证明：()()2211()()(222)F x f x f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤
=--=-+----= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
＋，
∵F (-x )＝2(-x )＝-2x ＝-F (x )，∴F (x )是奇函数．
21．【答案】（1）()23)24(f x x ++＝-，,2()x ∈∞--；（2）见解析；
（3）{y |y ≤4}，单调增区间为(],3-∞-和[0]3，．单调减区间为[30]-，和[3,)+∞． 【解析】（1）当x >2时，设f (x )＝a (x -3)2
+4．
∵f (x )的图象过点A (2，2)，∴f (2)＝a (2-3)2+4＝2，∴a ＝-2， ∴()23)24(f x x --+＝-．
设,2()x ∈∞--，则-x >2，∴()2()234f x x ---+＝-． 又因为f (x )在R 上为偶函数，∴f (-x )＝f (x )， ∴()23)24(f x x --+＝-，
即()23)24(f x x ++＝-，,2()x ∈∞--． （2）图象如图所示．
（3）由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}．
单调增区间为(],3-∞-和[0]3，．单调减区间为[30]-，和[3,)+∞． 22．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）1,2⎛∞-⎫ ⎪⎝
⎭．
【解析】（1）对任意x ，y ∈R ，()()()·f x y f x f y +＝． 令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)·f (0)，即f (0)·[f (0)-1]＝0． 令y ＝0，得f (x )＝f (x )·f (0)，对任意x ∈R 成立，
所以f (0)≠0，因此f (0)＝1．
（2）证明：对任意x ∈R ，有2
·22
22()()02x x
x x x f x f f f f ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
=≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
+． 假设存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，
则对任意x >0，有f (x )＝f [(x -x 0)＋x 0]＝f (x -x 0)·f (x 0)＝0．
这与已知x >0时，f (x )>1矛盾．所以，对任意x ∈R ，均有f (x )>0成立． （3）令x ＝y ＝1有f (1+1)＝f (1)·f (1)， 所以f (2)＝2×2＝4．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2-x 1)＋x 1]-f (x 1)＝f (x 2-x 1)·f (x 1) -f (x 1)＝
f (x 1)·[f (x 2-x 1)-1]．
∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0，由已知f (x 2-x 1)>1，∴f (x 2-x 1)-1>0． 由（2）知x 1∈R ，f (x 1)>0．所以f (x 2)-f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)． 故函数f (x )在(,)-∞+∞上是增函数．
由f (3-2x )>4，得f (3-2x )>f (2)，即3-2x >2．解得x <1
2
． 所以，不等式的解集是1,2⎛
∞-⎫ ⎪⎝
⎭．。