线性代数习题及解答完整版

线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线性代数习题一
说明：本卷中，A -1
表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT
表示向量α的
转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式11
121321
222331
3233a a a a a a a a a =2，则1112
13
31323321312232
2333
333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3
D ．6
2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1
B ．E -A
C ．E +A
D ．
E -A -1
3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）
A ．??
A B 可逆，且其逆为-1-1
A B B ．??
A B 不可逆 C ．??
A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???
B A
D ．??
A B 可逆，且其逆为-1-1??
A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是
（）
A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关
B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0
C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T
+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T
B ．（-2，0，-1，1）T
C ．（1，-1，-2，0）T
D ．（2，-6，-5，-1）T
6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是
（）
A ．α+β是Ax =0的解
B ．α+β是Ax =b 的解
C ．β-α是Ax =b 的解
D ．α-β是Ax =0的解
8．设三阶方阵A 的特征值分别为11
,,324
，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．
111,,243
C ．
11,,324
D ．2,4,3
9．设矩阵A =1
21
-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）
A ．1112
3
--
B ．0110
2
C ．
2
11
- D ．
1
2
1
-
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零
D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3
)=__________．
12．设3阶矩阵A =122
43311
t --，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．
13．设方阵A 满足A k
=E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1
=__________． 14．实向量空间R n
的维数是__________．
15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．
17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A αβ=__________．
18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．
20．二次型2
2
2
123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯
性指数是__________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式
1112114
12461124
2
-----． 22．设矩阵A =
2
35
，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1
，求矩阵B ．
23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组，并将
其余向量通过极大线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵A =143
253242
----，求矩阵A 的特征值和特征向量．
25．求下列齐次线性方程组的通解．
26．求矩阵A =
2242030
611
0300111210
----的秩．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵A =11
1213
21
2223313233
a a a a a a a a a 的行列式不等于0，证明：131112121222323313233,,a a a a a a a a a
=== ? ? ? ? ? ???????
ααα线性无关．
线性代数习题二
说明：在本卷中，A T
表示矩阵A 的转置矩阵，A *
表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。

A 表示方阵A 的
行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A 的行列式为2，则
1
2
A -
=( ) B.14
-
C.
14
2.设
2
12
()22
2122,323235
x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为（）
3.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若,≠A B 则必有（）
A.0=A
B. 0+≠A B
0A ≠
D.
0-≠A B
4.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（） A.2
22()
2+=++A B A AB B
B.22()()+-=
-A B A B A B
C.()()()()-+=+-A E A E A E A E
D.2
22()
=AB A B
5.设11121321
222331
32
33,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??
= ? ???
A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A 的秩为（） 6.设6阶方阵
A 的秩为4，则A 的伴随矩阵A *的秩为（）
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（）
8.已知线性方程组1231231
243224
x x x x ax x x ax ++=??
++=??+=?无解，则数a =( )
A.1
2
- C.
12
9.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( )
10.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（）
，-2，-3 ，-2，3 ，2，3
，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设行列式30
4
22
2,532
D
=-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
12.设,,a a b b a a b b -==
---
A B 则=AB __________.
13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ??
== ? ?-??
A B 则()r =AB __________.
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr 可由向量组β1，β2，…,βs 线性表示，则r 与s 的关系为__________.
16.设方程组12312312
30
00
x x x x x x x x x λλλ++=??
++=??++=?有非零解，且数0,λ<则λ=__________.
17.设4元线性方程组
x =A b 的三个解α1
，α3
，已知
T 1(1,2,3,4),=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解是__________.
18.设3阶方阵A 的秩为2，且2
50,+=A
A 则A 的全部特征值为__________.
19.设矩阵21100413a -?? ?= ? ?-??A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ??
= ? ???
则数a =__________.
20.设实二次型T 123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为
__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B
其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且
18, 2.==A B 求.-A B
22.解矩阵方程11101110221011.1104321--?????? ? ? ?
+= ? ? ? ? ? ?-
X 23.设向量组α1=（1，1，1，3）T
，α2=（-1，-3，5，1）T
，α3=（3，2，-1，p+2）T
，α4=（3，2，-1，p+2）T
问p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组1231231
2321
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?,
（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 25.已知2阶方阵A 的特征值为11λ=及21
,3
λ=-方阵2.=B A
（1）求B 的特征值；（2）求B 的行列式. 26.用配方法化二次型222
1231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形，并写出所作的可
逆线性变换.
四、证明题(本题6分)
27.设A 是3阶反对称矩阵，证明
0.
=A
习题一答案
习题二答案
线性代数习题三
说明:在本卷中,A T
表示矩阵A 的转置矩阵,A *
表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表
示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T
|=( )
2.设矩阵A=
-11,B=(1,1),则AB=( )
B.(1,-1)
C.
-11
D.
--1111
3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) +BA
4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=
4321,则A -1
= ( )
A.21-
--1234 B. 21- ???? ??--4321 C. 21- ???
4321 D. 21-
1324 5.下列矩阵中不是．．
初等矩阵的是( )
A.????? ??000010101
B. ????? ??001010100
C. ????? ??100030001
D.
102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( ) +B 可逆可逆可逆
+BA 可逆
7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )
A. α1, α2,β线性无关
B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一
D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一
8.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )
9.设齐次线性方程组
=++λ=--=+-0
x x x 0x x x 0x x x 2321
321321有非零解,则λ为( )
10.设二次型f(x)=x T
Ax 正定,则下列结论中正确的是( )
A.对任意n 维列向量x,x T
Ax 都大于零的标准形的系数都大于或等于零的特征值都大于零的所有子式都大于零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式
2
110的值为_________.
12.已知A=
3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
13.设矩阵A=???? ??--42
31
,P=
1011,则AP 3
=_________. 14.设A,B 都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A -1
B|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________. 16.已知Ax=b 为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3
为该方程组的3个解,且
,9753,4321311
=α+α??????? ??=α则该线性方程组的通解是_________.
17.已知P 是3阶正交矩,向量=βα
=β????? ??=α)P ,P (,201,231则内积_________.
18.设2是矩阵A 的一个特征值,则矩阵3A 必有一个特征值为_________.
19.与矩阵A=
3021相似的对角矩阵为_________.
20.设矩阵A=
--k 2
21
,若二次型f=x T
Ax 正定,则实数k 的取值范围是_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21.求行列式D=
.0
120101*********的值
22.设矩阵A=,000012021B ,100001010
---=????? ??-求满足矩阵方程XA-B=2E 的矩阵X.
23.若向量组
--=α ??-=α ??-=α ??=αk 202,k 62,311,1114321的秩为2,求k 的值.
24.设矩阵.012b ,121011322A
=????? ??--=
(1)求A -1
;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,设B=A 2
+2A-E,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.
(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.
26.求二次型f(x 1,x 2,x 3)=- 4 x 1x 2+ 2x 1x 3+2x 2x 3经可逆线性变换
=+-=++=33
32123
211y 2x y y 2y 2x y y 2y 2x 所得的
标准形.
四、证明题(本题6分)
27.设n 阶矩阵A 满足A 2
=E,证明A 的特征值只能是1±.
线性代数习题三答案。