甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)

永昌县第一高级中学2023—2024—2期中试卷
高一数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章~第3章3.1~3.2。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数，则（ ）
A
B ．10
C
．D ．20
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A ．
B ．0
C ．1
D
．
3．计算：（ ）
A ．
B ．
C ．D
4．若四边形ABCD 是平行四边形，则下列结论错误的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．5．已知，且，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则为（ ）
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
7．设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ）
A ．－23
B ．23
C ．－27
D ．27
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，
3i z =-z =()2,a m = (),3b m =
5a b ⋅= m =43
sin80cos 20sin 20cos80︒︒+︒︒=12-
12
AD BC = DA DC DB
+= AB AD DB
-= 0
AD BC += π,02x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
4cos 5x =tan 2x =7247
24-24724
7
-ABC △()sin sin sin b B c A B a A =+-ABC △a b 13
-2a =
2b = ()
23a b b +⋅= 2AB BC CD ===
，，若，则（ ）
A ．B
C
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知复数（i 为虚数单位），复数z 的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A ．在复平面内复数z 所对应的点位于第四象限
B ．
C ．
D ．10．关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．若，且，则
D ．11．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的周长为3，，则（ ）
A ．若，则是等边三角形
B ．存在非等边满足
C ．
AB BC ⊥AC CD ⊥DB AB AC λμ=+
λμ+=202i
i i
z -=+z 13i 22z =
-5
2z z ⋅=
43i
55
z z =+a b c
()()22
a b a b a b
-⋅+=- ()a b c a c b c
+⋅=⋅+⋅ a b a c ⋅=⋅ 0a ≠ b c
= ()()
a b c a b c
⋅⋅=⋅⋅ ABC △ABC △60B =︒2b a c =+ABC △ABC △2b ac =ABC △
D ．可以完全覆盖
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知，其中x ，y 是实数，则______．
13．已知平面内A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足，则O 是的______
心．（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
14．如图，在扇形AOB 中，，，点C 在扇形AOB 内部
，，
，则阴影部分的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）
已知角的终边经过点，为第一象限角，．（1）求的值；（2）求的值．16．（本小题满分15分）
已知向量，．
（1）当k 为何值时，与垂直？（2）当k 为何值时，与平行？
17．（本小题满分15分）
在中，角A ，B ，C
的对边分别为a ，b ，c ，已知，，．（1）求
和a 的值；（2）求的面积．
ABC △()2i 4i x y -=+x y +=OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅
ABC △60AOB ∠=︒14m QA =OC AC ⊥AOC OBC ∠=∠2m α()4,3-βcos β=()sin αβ-()tan 2αβ-()2,3a = ()4,2b =-
ka b + 32a b -
ka b + 32a b -
ABC △b =2c =cos C =sin B ABC △
18．（本小题满分17分）
如图，在梯形ABCD 中，，，，点E ，F ，G ，H 分别为线段DC ，AB 上的
三等分点，点P 是线段BC 上的一点．
（1）求的值；
（2
）求的值；
（3）直线AP 分别交线段EG ，FH 于M ，N 点，若B ，N ，D 三点在同一直线上，求
的值．19．（本小题满分17分）
在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且．（1）求角
C 的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
永昌县第一高级中学2023—2024—2期中试卷·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．A ．故选A ．
2．C 向量，，则，解得．故选C ．
3．B ．故选B ．4．D
对于A ，平行四边形ABCD 对边平行且相等，所以，故A 正确；对于B ，利用向量加法的平行四边形法则得，故B 正确；
对于C ，利用向量减法的三角形法则得，故C 正确；
对于D ，∵与是相等的非零向量，∴，故D 错误．故选D ．
4AD =6DC CB ==2AB DC =
AB AD ⋅
EG
AM
AN
ABC △sin 1sin sin B a
A C b c
=-
++ABC △4b =ABC △z ==()2,a m =(),3b m =
2355a b m m m ⋅=+== 1m =()1
sin80cos 20cos80cos 80202
sin 20︒︒+︒︒=︒-︒=
AD BC =
DA DC DB +=
AB AD DB -=
AD BC
0AD BC +≠
5．D
因为，，所以．所以．所以．故选D ．6．C
根据正弦定理知，可化为，所以，则
，故为直角三角形．故选C ．7．B 设与的夹角为，则
，
又
，，
所以
，所以．故选B ．
8．B 以C 为坐标原点，CD ，CA 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，由题意得，
则
，
，
，，
，
，
．因为，所以解得所以
．故选B ．9．AC
复数，在复平面内复数z 所对应的点
位于第四象π,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
4cos 5x =3sin 5x =-sin 3tan cos 4x x x =
=-22tan 24
tan 21tan 7
x x x =
=-
-()sin sin sin b B c A B a A =+-222b c a =-222a b c +=π
2
C =
ABC △a b
θ1
cos 3
θ=-2a =
3b =
1cos 2323a b a b θ⎛⎫
⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
()
2
232342723a b b a b b +⋅=⋅+=-+=
AC
=(
A B
()0,0C ()2,0D
-AB =
(0,AC =-
DB =
+ DB AB AC λμ=+
2,,
+==-
1,
1λμ⎧=⎪⎨=--⎪
⎩λμ+=
()()()()20
2i 1i 2i 2i 13i i i 1i 1i 1i 22z ----=
===-+++-13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
限，故A
正确；，故B 错误；，故C 正确；
，故D 错误．故选AC ．
10．CD 对于A ，由向量的运算法则知正确，故A 正确；对于B ，向量数量积满足分配律，故B 正确；对于C ，向量数量积不满足消去律，故C 错误；
对于D ，是与共线的向量，是与共线的向量，故D 错误．故选CD ．
11．ACD
因为的周长为3，且，可得，由余弦定理得
．
对于A ，因为，所以
，即，则，所以为等边
三角形，故A 正确；
对于B ，假设，则，即，则，此时为等边三角形，故B 错误；
对于C ，由，可得，当且仅当时等号成立，
解得或（舍去），所以的面积，的内切圆半径为，所以
C 正确；对于
D ，设外接圆的半径为R ，因为，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，
所以可以完全覆盖
，故D 正确．故选ACD ．12．0
由，得，所以，，解得，，所以．
13．垂因为，同理，
13
i 22
z =
+13135
i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=
⎪⎪⎝
⎭⎝⎭2
1313
3
i i 2i 43i 2222213513135
i
i i 22
22222z z ⎛⎫---- ⎪
--⎝⎭=
===⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()a b c ⋅⋅ c ()
a b c ⋅⋅
a ABC △60B =︒3a
b
c ++=222222cos b a c ac B a c ac =+==+-2b a c =+()2
224
a c a c ac +=+-()2
0a c -=a b c ==ABC △2b ac =22ac a c ac =+-()2
0a c -=a b c ==ABC △()2
2223b a c ac a c =+-=--()233ac a c =+-≥a c =1ac ≤9ac ≥ABC △1sin 2S ac B =
≤
ABC △2S a b c ≤
++ABC △ABC △()2
232a c a c ac +⎛⎫+-=≤ ⎪
⎝⎭
()()28120a c a c +-++≥2a c +≤6a c +≥()2
231b a c =--≥1b ≥2sin 60b
R =
︒
R ≥ABC △()2i 4i x y -=+2i 4i x x y -=+24x =x y -=2x =2y =-0x y +=()
00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥
OA CB ⊥
，故O 为的垂心．
14．设，则，
，由，
，得，在中，由正弦定理得，即，所以，则，
，
则，
所以，又知扇形AOB 的面积为，
故阴影部分
的
面
积
为
．
15．解：（1）∵角的终边经过点，为第一象限角，，∴
，，
∴
（2）由（1）得，，∴，∴．16．解：（1）因为，，
OC AB ⊥ABC △98π3
-AOC OBC θ∠=∠=14cos OC θ=14sin AC θ=60AOB ∠=︒AOC OBC ∠=∠120OCB ∠=︒BOC △sin sin OB OC
OCB OBC
=
∠∠1414cos sin120sin θ
θ
=
︒tan θ=cos θ=sin θ=OC =AC =1
2
OAC S =
⨯=△()1sin sin 60sin 60cos cos60sin 2BOC θθθ∠=︒-=︒-︒=
-=
11sin 1422BOC S OB OC BOC =
⋅∠=⨯⨯=△221198
π14ππ663
AOB S r =
=⨯=扇形9898
ππ33OAC BOC AOB S S S --=-=-△△扇形α()4,3-βcos β=
4
cos 5α=
=-3sin 5α=sin β==
()34sin sin cos cos sin 55αβαβαβ⎛⎫-=-=
-=
⎪⎝⎭sin 3
tan cos 4
ααα=
=-sin 1tan cos 2βββ=
=23
2tan 242tan 291tan 7
116
ααα-
=
==---()241tan 2tan 1172tan 22411tan 2tan 2
172
αβαβαβ-
-
--===+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭()()()2,34,224,32ka b k k k +=+-=-+
()()()3232,324,214,5a b -=--=
，
若可得，
即，得，即，与垂直．
（2）当时，有，
解得，即时，与平行．
17．解（1）在中，由，可得
又由
及，，可得．由余弦定理得，得，因为，故解得．所以
，．8分（2）由（1）知，，
所以的面积．18．解：（1）设，，
∵，
∴，即．
（2），
，
．
(
)()3
24346ka b
a b k +⋅-=-
()()32ka b a b +⊥- ()()320ka b a b +⋅-=
43460k -=4643
k =
46
43
k =ka b + 32a b - ()()
32ka b a b +-∥
()()24532140k k -⨯-+⨯=32
k =-
3
2
k =-ka b + 32a b - ABC △cos C =sin C ==sin sin c b
C B
=
b =2
c
=sin B =2222cos c a b ab C =+-2
360a +-=0a >a =
sin B =
a =a =
sin C =ABC △11sin 22ABC S ab C =
==
△AB a = AD b =
1122
CB CD DA AB a b a a b =++=--+=- 222152364CB a a b b a b =-⋅+=-⋅=
16AB AD a b ⋅=⋅= 11113326AE AD DC b a a b =+=+⨯=+ 16
EG AG AE a b =-=- EG ===
（3）连接BD ，∵B ，N ，D 三点共线，，∴，∴N 为BD 的中点，
∴．
设，则．
设．
在中，，
∴，∴，∴解得，
∴
，．
19．解：（1）由正弦定理得
，整理得，所以，
又，所以．（2）法一：由（1）知，即．因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理
，得，BH DF =DFN BHN ≌△△11112222AN AB AD a b =+=+ AM AN λ= 22
AM a b λλ=+ 16GM GE b a μμ⎛⎫
==- ⎪⎝
⎭ AMG △MG AG AM =-
116322
b a a a b λλμ⎛⎫-+
=-- ⎪⎝⎭ 116322a b λλμμ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0,2
10,
632
λμμλ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩47λ=47AM AN = 4
7
AM AN =1b a
a c
b c
=-
++2
2
2
a b c ab +-=2221
cos 22
a b c C ab +-==()0,πC ∈π
3
C =
2π3A B +=
π23
A B =-ABC △20,ππ32
,
π02
B B ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩π6π2B <<sin sin sin a b c A B
C ==sin sin sin sin a b c b A B C B
++=
++
则，
当时，，则．又，所以，所以
所以
所以周长的取值范围是．法二（数形结合）
过点A 作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形．∵为锐角三角形，
∴点B 在线段
上（不含端点）．在中，，，易得
，，周长为；
在中，，，易得，，周长为，所以周长的范围是．
4243sin sin sin sin 3sin 2πa b c B B B B
B B ⎡⎛⎫
++
=-+=++⎢ ⎪⎝⎭⎣
666=+=+
=π6π2B <<π124π2B <<tan tan tan 122π4
πB <<tan tan
ππ34tan tan 212341tan ta πππππn 34
-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭+2tan
12B <<6<<+6612+<+
<+612a b c +<++<+ABC △(6++11AB CB ⊥1B 1CB 2B 2B A AC ⊥1AB C △2AB C △ABC △12B B 1Rt AB C △π
3
C =
4b =12B C =1AB =6+2Rt AB C △π
3
C =
4b =28B C =2AB =12+ABC △(6++。