直线与双曲线的位置关系(文)_基础学案

直线与双曲线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义
在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：
焦点在x 轴上的双曲线的标准方程
说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2
双曲线
双曲线的定义
与标准方程 双曲线的几何
性质 直线与双曲线的位
置关系 双曲线的综合
问题
双曲线的弦问题
双曲线离心率及渐近线问题
2
2221(0,0)
y a x b b a -=>>2
2221(0,0)x a y b b
a -=>>
要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.
要点二、双曲线的几何性质
要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系
将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22
221x y a b
-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x
或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.
222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=
若2220,b a k -=即b
k a =±
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点； 若2220,b a k -≠即b
k a
≠±，
①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦
设直线y kx m =+交双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则
12||PP =
12|x x -
同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
12||x x -=
12||y y -=双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20
20
b x k a y =-；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题
对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解
双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质
（3） 转化为函数求最值 【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质 例1.求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆22
11625x y +=共焦点，且过点(－2的双曲线；
(2)与双曲线
22
1164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线． 【解析】(1)∵椭圆22
11625x y +=的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：22
22
19y x a a -
=-，
又点(－2在双曲线上， ∴
2210419a a
-=-，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为22
154
y y -=.
(2)∵双曲线22
1164x y -=的焦点为(±0)， ∴设所求双曲线方程为：22
22
120x y a a -
=-，
又点2)在双曲线上， ∴
22184120a a
-=-，解得a 2
＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为
22
1128
x y -=. 【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。

举一反三：
【变式1】设双曲线焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±1
2x ，则该双曲线的离心率为( )
A ．5 B.
C.
2
D.
54
【答案】C
【变式2】双曲线与椭圆
22
11664
x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( ) A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80
D ．y 2－x 2＝24
【答案】D
类型二：直线与双曲线的位置关系
例1．已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【解析】联立方程组⎩
⎨⎧=--=4)
1(2
2y x x k y 消去y ，并依x 聚项整理得： (1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =
2
5
，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点. (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±
3
3
2，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况). (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点. 综上所述，当k =±1或k =±3
3
2时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点.
【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：
举一反三：
【变式1】过原点的直线l 与双曲线3
42
2y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A.⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛
-
23,23 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡-
23,33 D.⎪⎪⎭
⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B
【变式2】直线y =x +3与曲线－
x 1x ·|x |+9
1y 2=1的交点个数是 (
)
【答案】D
例2.
过点P 与双曲线
221725
x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

【解析】若直线的斜率不存在时，则x =
，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=
则5y kx =+-
217x =，
∴22257(5725x kx -+-=⨯，
222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，
当k =
时，方程无解，不满足条件；
当k =
21075⨯⨯=方程有一解，满足条件； 当2
25
7
k ≠
时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条x =
107
y x =-
+。

【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点. 举一反三：
【变式】双曲线22221-=x y a b 的右焦点到直线x-y-1=0
,且223=a c .
(1)求此双曲线的方程；
(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C 、D ，若点A 坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k 取值范围。

【答案】（1）2
213
x y -= （2
）(,()-∞⋃⋃+∞ 类型三：双曲线的弦
例3.（1）求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦中点轨迹方程. 解：由2
214
1y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
得22
4(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225
,33
x x x x +=
=- 得，
12|d x x =-===（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，
由22114
y kx y x =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）
设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->
∴21680,||k k <<
且1212
22
25
,44k x x x x k k +=
=---， ∴12121222
1114
(),()()124224k x x x y y y x x k k
=+==+=++=--， 2
2444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨
⎪=
⎪-⎩
得2
2
40(4x y y y -+=<-或0)y >.
方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则
22
1122224444
x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴
12121212
4()
y y x x x x y y +-=
+-， 即41y x x y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）
【总结升华】（1
）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法. 举一反三：
【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=
l 的方程 【答案】210y x =± 类型四：双曲线的综合问题
例4.设双曲线C ：22
21x y a
-=(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心
率的取值范围．
【解析】由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组22
21
1x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
有两组不同的实根，
消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①.
所以2
422
1048(1)0
a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得0<a
a ≠1. 双曲线的离心率e
，因为0<a
a ≠1.
所以e
>
2
e
即离心率e
的取值范围为∪
∞)． 【总结升华】求离心率的范围应以双曲线几何量的限制为准，构建关于a ，b ，c 的不等关系，从前求出离心率的范围.
举一反三：
【变式】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )
A ．1<e
2
B ．1<e <2
C ．1<e <3
D ．1<e <2
【答案】 D
例5.设P 是双曲线x 2
－2
3
y ＝1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知A (3,1)，则|P A |＋|PF |的最
小值为________．
【答案】
2
【解析】设双曲线的另一个焦点为F ′，则有F ′(－2，0)，F (2,0)，连结AF ′交双曲线的右支于点P 1，连结P 1F ，则|P 1F ′|－|P 1F |＝2a ＝2.
于是(|P A |＋|PF |)min ＝|P 1A |＋|P 1F |
＝|P 1A |＋(|P 1F ′|－2)＝|AF ′|－2
2.
【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据 举一反三：
【变式1】设)2,3(A ，F 为双曲线2
x 32
y -=1的右焦点，在双曲线上求一点P ，使得||2
1||PF PA + 取
得最小值时，求P 点的坐标.
【答案】P 点的坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2,321
【变式2】一条斜率为1的直线l
22
221(0,0)-=>>x y a b a b
交于P 、Q 两点，直
线l 与y 轴交于R 点，且-3,3OP OQ PR RQ ⋅==，求直线和双曲线方程.
【答案】直线方程1y x =+；
双曲线方程2
2
12
y x -=。