高中数学：1.4.2 正弦、余弦函数的性质(第2课时) Word版含答案
人教A版高中数学必修四 1-4-2 正弦函数、余弦函数的性
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）（学案）一、学习目标1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． 二、自主学习三、合作探究知识点一 求正、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°； (2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．四、学以致用1. 求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2的单调增区间．2. 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π6，sin 49π3.3. 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cos bx 的最值和最小正周期．五、自主小测1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)7．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．参考答案1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．] 5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.。
2019A新高中数学必修第一册：1.4.2 正余弦函数的性质(第2课时)
∴ sin250>sin260.
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两
个三角函数值的大小:
(1) sin250与sin260; (2) cos185 与 cos194;
解:
(3) (2)
cos515与cos530;
习题 1.4 A组
第 2、4、5 题.
练习: (课本40页)
1. 观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件 的区间:
(1) sinx>0;
(2) sinx<0;
(3) cosx>0;
(4) cosx<0.
y=sinx
y
1
-3
5
2
-2
3
2
o 21
3 2 5 3 x
2
2
2
(1) sinx>0 x(2k, 2k+). (2) sinx<0 x(2k, 2k).
2
时,
sinx 取得最小值 1,
则 y = 2sinx 取得最小值 2.
即 函数取得最大值 2 时, x 的取值集合为
{x| x = 2k
+
2
,
kZ};
函数取得最小值 2 时, x 的取值集合为
{x| x = 2k
2
,
kZ}.
3. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的
集合, 并写出最大值、最小值各是多少?
(4) sin( 574 )= sin(8
+ (274))s=ins(in52774, )与sin( 683 ).
sin(
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二学案含解析新人教A版必修
学习资料1．4。
2 正弦函数、余弦函数的性质(二）内 容 标 准学 科 素 养 1。
掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2。
掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ）及y ＝A cos （ωx ＋φ)的单调区间。
应用直观想象 提升数学运算 发展逻辑推理授课提示:对应学生用书第26页[基础认识］知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 阅读教材P 37～38，思考并完成以下问题正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ,x ∈R ,有最值吗？值域如何？ （1)y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图象的最高点坐标、最低点坐标是多少？ 提示：错误!、错误!.（2)y ＝cos x ，x ∈[0，2π］图象的最高点、最低点坐标是多少？ 提示：（0，1）、(2π，1），(π,－1)．(3）如果sin x ＝1，cos x ＝1，(x ∈R )，x 的值是多少？sin x ＝－1,cos x ＝－1呢?提示：x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，x ＝2k π，k ∈Z 。
x ＝错误!π＋2k π，k ∈Z ，x ＝π＋2k π，k ∈Z .知识梳理 可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是R ． 对于正弦函数y ＝sin x ,x ∈R ，有：当且仅当x ＝2k π＋错误!（k ∈Z ）时,取得最大值1； 当且仅当x ＝2k π＋错误!π(k ∈Z ）时,取得最小值－1。
对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有:当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝2k π＋π,k ∈Z 时，取得最小值－1. y ＝sin x ,x ∈R 的值域为[－1，1］． y ＝cos x ，x ∈R 的值域为［－1，1]． 知识点二 正弦、余弦函数的单调性 思考并完成以下问题y ＝sin x ，y ＝cos x 都有单调变化,单调区间如何表示？(1)观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈错误!的图象,正弦函数在错误!上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：错误!单调递增―→错误!，k ∈Z 单调递增， 错误!单调递减―→错误!，k ∈Z 单调递减．（2）观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π,π]的图象．余弦函数在[－π，π］上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：[－π，0］单调递增―→［－π，＋2k π，2k π］，k ∈Z 单调递增［0，π]单调递减―→［2kπ，2kπ＋π］，k∈Z单调递减．知识梳理正弦函数余弦函数图象单调性在错误!，（k∈Z)上递增,在错误!，（k∈Z)上递减在［－π＋2kπ,2kπ］，k∈Z上递增，在［2kπ，2kπ＋π],k∈Z上递减1．在下列区间中,使y＝sin x为增函数的是（）A．［0，π]B。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二).docx
精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π−x)都是减函数，则x的集合是A.B.C.D.2．函数的单调递增区间是A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z) 3．(2013·山东省实验中学检测)函数f(x)=sin2x-cos x的值域是A.[-1,1]B.[1,]C.[0,2]D.[-1,]精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧4．已知函数，的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是____.5．如果函数是定义在，上的奇函数，当时，函数的图像如图所示，那么不等式的解集是______．6．函数的值域是 .7．求函数的值域.8．已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)当时，求函数f(x)的最大值及最小值.能力提升1．函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 2．已知a＞0，函数，当时，−5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间.精心制作仅供参考唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二) 详细答案 【基础过关】1．A【解析】∵y ＝sin(π+x)＝−sinx ，∴其单调减区间为2,222k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ππππ，k ∈Z . ∵y ＝cos(2π−x)＝cosx ，∴其单调减区间为[2k π，2k π+π]，k ∈Z .∴y ＝sin(π+x)与y ＝cos(2π−x)都是减函数时的x 的集合为|222x k x k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭πππ+,k Z . 2．D3．D【解析】∵f (x )=y=sin 2x-cos x=1-cos 2x-cos x=-(cos x+ )2+ ,且cos x ∈[-1,1],∴y max =,y min =-1,故函数f (x )的值域为[-1,]. 4．,36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦πππ-π，k ∈Z 【解析】()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，由题意知f(x)的周期为T ＝π，∴ω＝2.由222262k x k ≤+≤ππππ-π+，得36k x k ≤≤+πππ-π，k ∈Z . 5．， ， ，【解析】本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式.由图像可知：时， ；当 时， ．再由 是奇函数，知：当 时， ；当 时， ． 又∵当 ，或 时， ； 当时， ．∴当， ， ， 时，精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧6． 【解析】本题考查三角函数的值域问题.且 ，∴， . 7．解： ，令t=cosx ，则−1≤t≤1.故()224521y t t t =-+=-+，当t=−1时，函数取最大值，为10，当t=1时，函数取最小值，为2.所以函数的值域为[2，10].8．解：(1)()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2,ω=∴最小正周期2T ππω==. 由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得()388k x kx k Z πππ-≤≤+∈， 故函数()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 有最大值2， 当244x ππ+=-，即4π=-时，()f x 有最小值−1. 【能力提升】1．令y=f(x),t=sin x,t ∈[-1,1],则y=-t 2+t+a=-(t- )2+a+ ,当t= 时,y 有最大值a+ ,当t=-1时,y 有最小值a-2.故函数的值域为[a-2,a+ ],从而 ,解得3≤a≤4. 2．解：∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， . ∴ｆ(x)∈[b,3a +b]，又∵−5≤f(x)≤1，∴可得b=−5，3a +b=l ，∴a =2，b=−5.精心制作仅供参考唐玲出品(2)由(1)知a =2，b=−5，∴()4sin 216f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ∴7421421266()g x f x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又由lgg(x)＞0得g(x)＞l ，∴42116sin x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭， ∴1262sin x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴5222666k x k πππππ+<+<+，k ∈Z . 由()222662k x k k Z πππππ+<+≤+∈，得g(x)的单调增区间为(),6k k k Z πππ+∈； 由5222266k x k πππππ+≤+<+，得g(x)的单调减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。
高一数学人教A版必修四教案：正弦、余弦函数的性质(二) Word版含答案
正弦、余弦函數的性質(二)教學目標：1、知識與技能掌握正弦函數和余弦函數的性質．2、過程與能力目標通過引導學生觀察正、余弦函數的圖像，從而發現正、余弦函數的性質，加深對性質的理解．並會求簡單函數的定義域、值域、最小正週期和單調區間．3、情感與態度目標滲透數形結合思想，培養學生辯證唯物主義觀點．教學重點：正、余弦函數的週期性；正、余弦函數的奇、偶性和單調性。
教學難點：正、余弦函數週期性的理解與應用；正、余弦函數奇、偶性和單調性的理解與應用。
教學過程：一、復習引入：偶函數、奇函數的定義，反映在圖象上，說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？二、講解新課：1. 奇偶性請同學們觀察正、余弦函數的圖形，說出函數圖象有怎樣的對稱性？其特點是什麼？(1)余弦函數的圖形當引數取一對相反數時，函數y 取同一值。
例如：f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3π)；…… 由於cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x).以上情況反映在圖象上就是：如果點（x,y ）是函數y=cosx 的圖象上的任一點,那麼,與它關於y 軸的對稱點(-x,y)也在函數y=cosx 的圖象上，這時，我們說函數y=cosx 是偶函數。
(2)正弦函數的圖形觀察函數y=sinx 的圖象，當引數取一對相反數時，它們對應的函數值有什麼關係？ 這個事實反映在圖象上，說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？函數的圖象關於原點對稱。
也就是說，如果點（x,y ）是函數y=sinx 的圖象上任一點，那麼與它關於原點對稱的點（-x,-y ）也在函數y=sinx 的圖象上，這時，我們說函數y=sinx 是奇函數。
2.單調性從y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的圖象上可看出： 當x ∈［－2π，2π］時，曲線逐漸上升，sin x 的值由－1增大到1. 當x ∈［2π，23π］時，曲線逐漸下降，sin x 的值由1減小到－1.結合上述週期性可知： 正弦函數在每一個閉區間［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函數，其值從－1增大到1；在每一個閉區間［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是減函數，其值從1減小到－1.余弦函數在每一個閉區間［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函數，其值從－1增加到1；在每一個閉區間［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是減函數，其值從1減小到－1.3.有關對稱軸觀察正、余弦函數的圖形，可知y=sinx 的對稱軸為x=2ππ+k k ∈Z y=cosx 的對稱軸為x=πk k ∈Z練習1。
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
12/9/2021
第二十一页，共三十三页。
已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
12/9/2021
第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求 单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
12/9/2021
第六页，共三十三页。
3 ． (2018 年 内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 二 模 ) 若 函 数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的 最 大 值 为 3 ， 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ________．
求最值．
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第二十七页，共三十三页。
1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在
人教A版2020高中数学必修四导学案第一章三角函数142正弦函数余弦函数的性质二 含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)yxyx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和，1.掌握cos ＝sin ＝学习目标yxyxy＝会求函数的单调性，并能利用单调性比较大小，cos ＝最值.2.掌握.3.＝sin AxyAx＋φ)的单调区间cos(ωsin(ω.＋φ)及＝知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1，1].yxx∈R有：，对于正弦函数＝sinπxkk∈Z时，取得最大值1＋2；π，当且仅当＝2πxkk∈Z时，取得最小值－21.π，当且仅当＋＝－2yxx∈R cos 有：，对于余弦函数＝xkk∈Z时，取得最大值1＝2；π，当且仅当xkk∈Z时，取得最小值－1)π，当且仅当1. ＝(2＋知识点二正弦、余弦函数的单调性π3πyxx∈[－，]sin 观察正弦函数＝，的图象.22．π3π思考1 正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？22答案观察图象可知：ππ????xx，－的值由－1增大到1；当时，曲线逐渐上升，是增函数，∈sin ??22π3π????xx，1.当减小到－∈的值由时，曲线逐渐下降，是减函数，sin 1??22推广到整个定义域可得ππ??kk??kxyxπ2π，－＋2＋是增函数，函数值由－1sin 当)∈时，正弦函数增大(＝∈Z ??22到1；π3π??kk??xkxyπ22＋π，＋减小到是减函数，函数值由＝sin (当∈∈Z)时，正弦函数1 ??221.－xxy.的图象π]观察余弦函数＝cos ，，∈[－π思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：xx的值由－1增大到1；π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos 当∈[－xx的值由1cos 减小到－当1. ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，推广到整个定义域可得xkkkyx是增函数，函数值由－1增大到1＝cos ，2；π]，∈Z当时，余弦函数∈[2π－πxkkkyx是减函数，函数值由1减小到－＝cos 1)π]，1. ∈当Z∈[2时，余弦函数π，(2＋思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？ππ??kk??kyx＋22π－∈Z，减间为，区间为案答＝sin 增的区??22π3π??kk??k ππ2＋2＋，.∈Z，??22yxkkkkkk.Z∈，]π2＋π，π[2，减区间为Z∈，]π2，π2＋π－[的增区间为cos ＝梳理1]1，[－[－1，1]值域kk，2]2－π＋ππ，在[ππ??kk??kπ，＋－＋22π，Z上递增，在∈??22k Z上递增，∈单调性kkk∈Z]π＋2，在π3π[2ππ，??kk??kπ，＋＋22π上递减∈Z，在??22上递减πykxk时，∈π，Z当＝2xkkyx；当＝∈Z＝＋2时，π，1当maxmax2kxk最值Z；当＝π＋2∈π，＝1πkky 1＝－∈Z＝－＋2时，π，y1时，＝－min2min类型一求正弦、余弦函数的单调区间π??x??y－的单调递增区间2sin例1 求函数. ＝??4ππ????xx????y－－，＝－解 2sin ＝2sin????44πzx－，＝令4yz.2sin ＝－则zxyzz的单调递减区sin 的一次函数，所以要求的单调递增区间，即求＝－因为2sin 是π3πkzkk∈Z).π＋间，即2π＋≤(≤222ππ3πkxkk∈Z)(≤，－≤2 π∴2＋π＋2423π7πkxkk∈Z)，π＋(即2＋π≤≤244π??x??y－＝2sin的单调递增区间为∴函数??43π7π??kk??k＋，2＋π2π).Z(∈??44yAxyAx的单调区间时，)φ＋ωcos(＝或)φ＋ωsin(＝用整体替换法求函数反思与感悟xx的系数变为正数再求其单调区间.如果式子中求单调区的系数为负数，先利用诱导公式将间时，需将最终结果写成区间形式.πππ????x????xy，＋3－的单调递减区间为∈跟踪训练1 函数，＝sin________________.????3362ππππ????????，－，－，答案????3939ππ3πkxkk ∈Z)，＋2π由＋2(π≤3 ＋≤解析262kkπ24π2ππxk∈Z(＋≤). ≤＋得9393ππ????x，－，∈又??33π2ππππππ????????x????????xy，－，－＋－，3.的单调递减区间为∈，所以函数，＝sin????????3399336类型二正、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196°与cos 156°；2317????????ππ－－.cos与(2)cos????45解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.yx在[0°，90°]上是增函数，＝∵0°<16°<66°<90°，且sin∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.233323????π－＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，(2)cos ??5555π17π17????????＋π4－π＝π＝coscoscos .＝cos ????4444π3yx在[0，π]上是减函数，<π<π，且＝cos ∵0< 452317π3????????π－π－. <cos，即π∴cos <cos cos????4545反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小..比较下列各组数的大小2 跟踪训练．3749????????π－π；与sin(1)sin ????36(2)cos 870°与sin 980°.π37π????????????－π－π－－6，sin sin＝＝解 (1)sin??????666π49π????????＋π16π＝＝sinsinsin .????333ππ????xy，－上是增函数，＝sin 在∵??22π3749π????????π－－<sin <sin ，即∴sinsinπ. ????6633(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°.yx在[0°，180°]上是减函数，＝∵0°<150°<170°<180°，且cos∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围ππfxx在区间[－，]上是增函数，求(ω)＝2sin ω的取值范例3 已知ω是正数，函数34围.ππkxkk∈Z)(ω，得≤＋2 解由－＋2ππ≤22kkπ22πππx≤＋≤，－＋ωωωω22kkπ2πππ2kfx)的单调递增区间是[Z. ∴－，＋＋]，(∈ωωω22ωkkπππππ22πk∈Z)](，＋，]?[－＋，－根据题意，得[ω2ωωω342ππ?，≤－－?32ω3?ππ解得0<ω从而有≤.2，≥4ω2??，ω>03故ω的取值范围是(0，].2fx)此类问题可先解出的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后(反思与感悟列不等式组求出参数范围.ππ????x????xfπω＋，上单调递减，则＝>0已知跟踪训练3 ω，函数()sinω的取值范在????24．)围是(3115????????，， A. B.????42421????，02]D.(0 C.，??2A答案π55??x??xf＋＝ω＝，sin(，)解析取??4448π8??kk??kππ＋π＋，，，其减区间为∈Z??5558ππ8????kk????kπ＋π＋，π，πC.，排除B，?显然，∈Z????5255π??x??xf＋2 ，()＝sin取ω＝2，??45π??kk??kππ，＋π＋，，∈其减区间为Z??88π5π????kk????kπππ，π＋，＋D. 显然∈Z，，排除?????288 类型三正、余弦函数的值域或最值πππxyx )的值域；∈(－例4 (1)求函数2cos(2＝，＋)，63652xxyx的集合，并求出函数(2)求使函数3sin ＝－sin取得最大值和最小值的自变量＋＋ 4.的最大值和最小值π2πππxx，＋解 (1)∵－<<，∴0<2<3366π1x )<1<cos(2∴－，＋32πππxyx2).，∈(－，)的值域为(∴函数＝2cos(2－＋)，1636ttx≤1，＝sin (2)令，则－1≤3522tytt2.)∴－＝－3＋＋＋＝－(243yt，当＝＝2时，max2π3π2xkkkxx＝sin 此时＝2＋π(∈Z). 或＋，即＝2π3321ty＝－3.1当＝－时，min4．π3kxxk).此时sin Z＝－1，即2＝∈π＋(2π52xxxxyxkx或的集合为{π|＋3sin ＝＋取得最大值时自变量综上，使函数＝－sin2＋34π2kk2.Z＝2}π＋，，且最大值为∈3π532kxxyxkxx，|∈＝2Z的集合为{使函数＝－sinπ＋＋3sin ，＋取得最小值时自变量}2413.且最小值为－4三角一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.反思与感悟. 函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：ttxxyx的取＝ω的取值范围，求出＋φ)的三角函数，令φ(1)形如＝sin(ω，根据题中＋ty值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出)＝sin ；的最值(值域22xxbxcaxatyya＋＋，将函数sin ＝＋sin((2)形如＝＝sin≠0)的三角函数，可先设sin2abxcatyatcbt≠0)，根据二次函数的单调性求值sin ＝＋((≠0)化为关于＋的二次函数＋). 域(最值ayaxyax.的函数的最值还要注意对(3)对于形如＝＝cos sin 的讨论(或)ππ2????bfxax，－，最小sin ，函数的最大值为2＋已知函数跟踪训练4 1(的定义域为)＝??33ba.，求的值和值为－53ππ2xx，∴－≤sin 解∵－≤≤1.≤233ba，2＝＋1?a，3－＝126???a，则解得若＞0?ba?，5＝－－3＋b3.＋＝－2312ba，5＝－2＋?a，3＝－126＋???a解得若＜0，则?ba?，－3＋＝1b3.＝1912－π??x??xf＋的一个单调递减区间是sin( 1.函数())＝??6ππ????，－ B.[－A.π，0]??22π222????????π，，π－π C.D.????3233．D答案3ππx由≤，＋≤π解析2624πx D.解得≤故选≤π.33)2.下列不等式中成立的是(ππ????????－－B.sin 3>sin 2 A.sin>sin ????10827????π－D.sin 2>cos 1 >sinC.sin π??55D答案ππ????????－22－，＝ 2 ∵sin＝coscos解析????22ππ????－2 且0<2－<1<π，∴cos>cos 1，??22D.故选即sin 2>cos 1.ππ????x????xy，＋0)3.函数( ＝cos，∈的值域是????26????1133???? A. B.，，－－????22221??3??????1， D.C.1，??2??2B答案2πππxx，≤，∴≤π解析∵0≤＋≤3626ππ2??x??＋≤cos ，∴cos π≤cos??6631 3y≤.故选∴－≤B.221yxx的集合.的最值及取到最值时的自变量求函数2sin ＝3－4.21x≤1，∵－1≤sin 解211πxxkk∈Z，，1＝－，＝2－∴当sin π222xkky＝5，Z，即＝4－ππ，∈max xxxkk；}Z∈，π－π4＝|{的集合为此时自变量11πxxkk∈Z，，＝2 π＋当sin ＝1，222xkky＝1时，，＋π，即∈＝4Zπmin xxxkk∈Zπ，＝4此时自变量}.的集合为{π|＋πyxx∈(0，π)2－的单调递增区间)，5.求函数.＝2sin(6ππ????xx????y－－22 ＝－2sin解∵函数2sin＝，????66πππ????xx????yy－2－2＋∴函数由＝2sin的单调递减区间＝2sin.的单调递增区间为????662π3πkxkk∈Z，π，π≤2＋－≤22 62π5πkxkk∈Z.ππ＋≤＋≤得，36π5πxkx≤.0，得∈(0，π)，∴由≤∵＝36ππ5π????x????xy，2－.∈(0，π)∴函数＝2sin的单调递增区间为，????663yAxA>0，ω)(>0)求函数＝的单调区间的方法sin(ω＋φ1.ππxkxkkx的范围，所得区解出∈≤2Zπ＋ (把ωφ＋看成一个整体，由2)π－≤ω＋φ22π3πkxkkx的范围，所得区间即为减区)(解出∈＋≤ω≤2＋φZπ＋间即为增区间，由2π22间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法yxx)cos sin 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数(或将表示成以y的范围.的单调性等来确定课时作业一、选择题πyx的最小值，最大值分别是( 2cos 11.函数＝－ )2．A.－1，3B.－1，1D.0，3 1C.0，A答案ππxx∈[－2，2cos 2]，∵cos ∈[－1，1]，∴－解析22πyxyy＝，3.＝－1－2cos ，∴∈[－1，∴3]＝1maxmin2ππ????，上为减函数的是( ) 2.下列函数中，周期为π，且在??24ππ????xx????yy＋＋22 ＝B.A. ＝sincos????22ππ????xx????yy＋＋ cos＝sin ＝D.C.????22A答案) 3.下列关系式中正确的是(A.sin 11°<cos 10°<sin 168°B.sin 168°<sin 11°<cos 10°C.sin 11°<sin 168°<cos 10°D.sin 168°<cos 10°<sin 11°C答案解析∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.yx|的一个单调递增区间是( 4.函数) ＝|sinπ3πA.(，π) B.(π，2π) C.(π，) D.(0，π)22答案 Cyx|的图象，如图，观察图象知C|sin 正确，故选C.解析作出函数＝π2π2yxxx∈[，]的最小值是( 5.函数＝3cos4cos －，＋1)331151A.－ B. C.0 D.－344D答案．π2π11txxt∈[－，]，，∈[，解析令]＝cos ，∴33222122ttyt.)1＝＝33(－－4－＋3311212tyt，＝3(]－)－在上单调递减，∈[－∵233211112yt.∴当1＝时，＝－＝3×()－4×＋min4222πππ????????xxf，0，上单调递减，(ω＞ω0)6.若函数在区间(上单调递增，在区间)＝sin ????233则ω的值可为( ) 32B. A.32D.3C.2A答案Tπ4π4π2πT＝，＝，解析由题意知，＝，即4333ω3∴ω＝.2二、填空题7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________.答案 sin 3<sin 1<sin 2π解析∵1<<2<3<π，2sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.ππ????xy，0 ，－2<上递增，且0<π＝sin －在3<1<π??22∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.πππyxx≤)的值域是________.＋)(－≤8.函数＝2sin(2366答案 [0，2]πππ2πxx＋≤，∴0≤2，≤解析∵－≤6633πxy∈[0，)≤1，∴2]. ∴0≤sin(2＋3π1??x??xy－∈[0，π])函数9.＝sin的单调递增区间为(________. ??63．2π????π，答案??3π1??x??y－，解析＝－sin??63ππ5πxx－≤≤.∈[0，π]，∴－∵666要求函数的单调递增区间，ππ5πx－≤，则≤266π2π1π2????x????xyxπ－，sin.的单调递增区间为π(即])≤∈[0，≤π.∴＝????36331????baxaby，－1的最大值与最小值之和为－，，则10.函数＝sin ]的定义域为[，值域为??2________.答案 2π解析由图可知，13π5π4πab－＝，的最大值为－6633π5π2πab－的最小值为－＝.2634π2π＋＝2π. 所以最大值与最小值之和为33三、解答题11.求下列函数的单调增区间.xxπ??log??yy－.＝(1)sin＝1－sin ；(2)??32122x3πkkk∈Z，≤2＋ππ2解 (1)由，π＋≤222kxkk∈Z.＋3ππ＋≤π≤4，π4得xkkky). ∈π＋3] (Z的单调增区间为∴＝1－sin [4＋ππ，4π2xπ??log??y－的单调增区间， sin要求函数(2)＝??3212．xπ????y－. >0sin即求使且单调递减的区间＝??32xππkkk Zπ，，π＋≤－<2∈π∴2＋322ππ85kxkk.∈π＋π＋≤，<4Z整理得433xπ??log??y－∴函数sin＝的单调增区间为??3212ππ85??kk??k＋π，44π＋. ∈Z，??33. 12.求下列函数的最大值和最小值ππ????x????xfx，－02 )＝sin∈(1)；(，????26π5π??2??xxxfx，.＋(2)3(，)＝－2cos∈＋2sin ??66π????x，0 当时，∈解(1)??2π5ππ????x，－，由函数图象知，－∈2??666π1ππ??????????x????－??xf1－－，2sin sin，. sin∈＝()＝??????626??2π1????xf，0.(1)在，－上的最大值和最小值分别为所以，??222xxfx3 2sin ＋＝－2(1－sin(2)＋())11??22x??xx＋sin .＝2＝2sin＋2sin ＋＋1??22ππ51????xx，≤1.，所以因为≤sin ∈??662yx时，1；＝当sin 5＝max51yx.＝时，＝当sin min225ππ5xf.上的最大值和最小值分别为5，()在[，所以，]266ππ????x????xxxfaafb，02－，最小值)＝sin)时，3(＋13.已知函数((0).＞当的最大值为∈????23ba.2是－，求的值和π2πππxx≤，≤2∵0≤解≤，∴－－3332．π3??x??bxfa－2 ，＝＋≤1，∴≤sin(∴－3)＝max??323xfab＝－()＝－2. ＋min2?ba，＋＝3?a，＝2???由得3?b3.2＝－＋ba，＋＝－－2??2 四、探究与拓展fx)在[－1，0]上单调递减，14.已知奇函数α(，β为锐角三角形两内角，则( )ffff(sin β) (sin α)>A.α(cos )>B.(cos β)ffff(cos β)(sin αC.)<(sin α)>D.(cos β)D答案πππ，>αα＋β>－β>0，∴>解析由题意，得222π????β－，即1>sin αα>sin>cos β>0，∴sin ??2∴－1<－sin α<－cos β<0.fx)在[－1∵奇函数，(0]上单调递减，ff(－cos β)－sin α)>，∴ (ffff(cos β)<)，∴).(sin ∴－α(sin α)>－(cos β1fxfABC的内角，△＝，＋∞)上单调递增，且0上的奇函数15.已知定义在R(())在区间(02AfAA的取值范围满足)≤0，求角(cos .πAA>0.时，①当0<cos <解21fAffx)在(0，＋∞)上单调递增，)≤0＝()，由 (cos (21A≤，得0<cos 2ππA<.解得≤32πAA<0.时，<cos <π②当2fxfx)在(0，＋∞)上单调递增，)为R上的奇函数，∵((fx)在(－∞，(0)上单调递增，∴11????????ff－，＝－＝0????22．11????AfAf－≤－)≤0＝，，得cos ∴由 (cos ??222πA<π∴≤. 3πAAfx)为R(cos ＝时，上的奇函数，＝0，∵③当2f(0)＝0，∴f(0)≤0成立∴.ππ2π????????Aπ，，.∪综上所述，角的取值范围是????323。
人教版数学高一课时作业1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( ) A.－1,3B.－1,1C.0,3D.0,12.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 3.下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.(π2，π) B.(π，2π) C.(π，3π2) D.(0，π) 5.函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈[π3，2π3]的最小值是( ) A.－13B.154C.0D.－146.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23C.2D.3二、填空题7.sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________.8.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________.9.函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________. 10.函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和为________.三、解答题11.求下列函数的单调增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.12.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.13.已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.四、探究与拓展14.已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )A.f (cos α)>f (cos β)B.f (sin α)>f (sin β)C.f (sin α)>f (cos β)D.f (sin α)<f (cos β)15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (12)＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围.答案精析1.A2.A3.C4.C5.D6.A7.sin3<sin1<sin2 8.[0,2]9.⎣⎡⎦⎤2π3，π 10.2π11.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调增区间， 即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间.∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ， 整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 12.解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈ ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以，f (x )在[π6，5π6]上的最大值和最小值分别为5，52. 13.a ＝2，b ＝－2＋ 314.D [由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0，∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)， ∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β).]15.解 ①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f (12)， f (x )在(0，＋∞)上单调递增，得0<cos A ≤12， 解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴由f (cos A )≤0＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π. ③当A ＝π2时，cos A ＝0， ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.。
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学案 新
第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性和单调性． 2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性． 3．利用正弦函数、余弦函数的单调性与函数有关的单调区间．基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数，而对于周期函数，只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质，便可以推知它在整个定义域内所具有的性质．对于正弦函数，结合图象知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减．根据函数的周期性，我们推知：正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.同样，余弦函数在每个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.思考应用1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦函数在第一象限是增函数”？ 解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．二、正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．从正弦函数y ＝sin x 的图象和余弦函数y ＝cos x 的图象上也可以看出，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考应用2．从正、余弦函数的奇偶性可知正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称，正、余弦函数的图象还有其他对称轴和对称中心吗？解析： 利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出：正弦曲线y ＝sin x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(k π，0)(k ∈Z)，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)；同理，余弦曲线y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．自测自评1．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①③④是奇函数．故选C.2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，π 解析：由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知：y ＝sin x 和y ＝cos x 的均为减函数的一个区间是：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故选B. 3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π4．有下列命题：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z)；②y ＝sin x 在第一象限是增函数；③y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确的个数是(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．②函数的单调性是相对于某一区间来说的，与所在象限无关．③正确．故选A.基础提升 1．下列命题正确的是(D )A ．y ＝sin x 在[0，π]内是单调函数B ．在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数C ．y ＝cos x 的增区间是[0，π]D ．y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是 (D )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R)可以得到函数f (x )是偶函数，选择D.3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在下列区间是增函数的是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4C ．[－π，0]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 解析：由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4.令k ＝0，得B 正确．故选B.4．若α，β均为锐角且α＋β＞π2，则(A )A ．sin α＞cos βB ．sin α＜cos βC ．sin α＞sin βD ．cos α＜c os β解析：由题意0＜π2－β＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＜sin α，即sin α＞cos β.故选A.5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )(A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，并将图象在x 轴下方的部分对折到x 轴的上方，观察图象可知答案选A.6．判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．解析：∵x ∈R，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，∴f (－x )＝－cos 3（－x ）4＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2为偶函数． 巩固提高7．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最小值是(D )A ．－13 B.154C ．0D ．－14解析：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， ∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.当cos x ＝12时，y 取到最小值为y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232－13＝－14.故选D.8．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时，满足已知．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]9．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的单调区间．解析：由2k π－π≤2x ＋π3≤2kx (k ∈Z)得k π－23x ≤x ≤k π－π6(k ∈Z)．∴函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z)． 由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)得∴函数的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．10．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx的最值和最小正周期．解析：当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得a ＝12，b ＝1.∴g (x )＝－2sin x ．此时函数g (x )的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得a ＝12，b ＝－1.∴g (x )＝2sin x ．此时函数g (x )最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应变量的取值范围．2．判断函数的奇偶性时，必须先检查函数的定义域是否关于原点的对称区间，再验证f (－x )与f (x )的关系，进而判断函数的奇偶性．。
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时提升
正弦函数、余弦函数的性质(二)（45分钟 100分）1.符合以下三个条件：①在上单调递减；②以2π为周期；③是奇函数.这样的函数是( )A.y=sinxB.y=-sinxC.y=cos2xD.y=cos2.(2013·广州高一检测)函数f(x)=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间是( ) A. B.C. D.3.若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π-x)都是减函数，则x的集合是( )A.B.C.D.4.(2012·山东高考)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-5.(2013·南充高一检测)已知函数f(x)=πsi n x，如果存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值为( )A.4πB.πC.8πD.2π二、填空题(每小题8分，共24分)6.函数y=的定义域是.7.将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为.8.f(x)=2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω= .三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.求下列函数的最大值和最小值：(1)y=.(2)y=3+2cos.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间.11.(能力挑战题)已知ω是正数，函数f(x)=2sinωx在区间上是增函数，求ω的取值范围.答案解析1.【解析】选B.在上单调递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.2.【解析】选D.由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，又x∈[-π，0]，所以此函数的单调递增区间为.3.【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx，其单调递减区间为(k∈Z)；y=cos(2π-x)=cosx，其单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z.所以y=sin(π+x)与y=cos(2π-x)都是减函数时的x的集合为.【变式备选】函数y=sinπ的单调递增区间是( )A.[4kπ，(4k+1)π](k∈Z)B.[4k，4k+2](k∈Z)C.[2kπ，(2k+2)π](k∈Z)D.[2k，2k+2](k∈Z)【解析】选B.y=sinπ=sin，由-+2kπ≤-≤+2kπ(k∈Z)，得2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z)，所以4k≤x≤2+4k(k∈Z).4.【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.【解析】选A.因为0≤x≤9，所以0≤x≤9×，所以-≤x-≤，所以-≤sin≤1，所以-≤2sin≤2.所以函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.5.【解析】选A.因为正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1-x2|的最小值为半周期，因为T==8π，所以选A.6.【解析】由题意得，2cosx+1≥0，即cosx≥-.在x∈[-π，π]上需使x∈，故该函数的定义域为(k∈Z).答案：(k∈Z)7.【解析】cos150°<0，sin470°=sin110°=cos20°>0，cos760°=cos40°>0且cos20°>cos40°，所以cos150°<cos760°<sin470°.答案：cos150°<cos760°<sin470°8.【解析】因为0≤x≤，所以0≤ωx≤ω<.所以f(x)在上是增函数，所以f=，即2sin=，所以ω=，所以ω=.答案：9.【解析】(1)因为所以≤1-cosx≤.所以当cosx=-1时，y max=.当cosx=1时，y min=.(2)因为-1≤cos≤1，所以当cos=1时，y max=5；当cos=-1时，y min=1.10.【解题指南】由f(x)≤对x∈R恒成立知，f(x)在x=处取得最大值或最小值，从而得到φ的两组取值，再利用f>f(π)排除一组，从而得到φ的取值，利用整体代换思想求出f(x)的单调递增区间. 【解析】由f(x)≤对x∈R恒成立知，2×+φ=2kπ±(k∈Z)，得到φ=2kπ+或φ=2kπ-，代入f(x)并由f>f(π)检验得，φ的取值为-，所以由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z).【拓展提升】求三角函数最值的常见类型(1)y=asin2x+bsinx+c(a≠0)，利用换元思想设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.(2)y=Asin(ωx+φ)+b，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)的范围，最后得最值.(3)y=log a(Asin(ωx+φ))，设t=Asin(ωx+φ)，由定义域求t的范围，然后求值域.11.【解析】由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得-+≤x≤+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).据题意，⊆(k∈Z).从而当k=0时有ω>0，解得0<ω≤.故ω的取值范围是.。
数学必修4：第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 Word版含解析
第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间． 2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( ) A ．2k π－π3，k ∈Z B ．k π－π6，k ∈ZC ．k π－π3，k ∈ZD ．k π＋π6，k ∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x＝k π－π6，k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图．由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减，∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z .11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1，由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a ≤2，当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2.②若a2＞1，即a ＞2，当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去． 综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二训练含解析新人教A版必修
学习资料第一章三角函数1．4三角函数的图象与性质1．4.2正弦函数、余弦函数的性质（二)［A组学业达标]1．函数y＝sin错误!的图象的一个对称中心是（）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!解析：正弦曲线的对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有错误!符合要求，故选B。
答案：B2．函数y＝cos x错误!的最小值，最大值分别为（）A．0，1 B．－1,1C．－错误!,1 D．－1，错误!解析：由y＝cos x错误!的图象（如图）可知，当x＝错误!时，y＝cos x有最大值错误!;当x＝π时，y＝cos x有最小值－1。
故选D.答案：D3．函数y＝－x cos x的部分图象是(）解析：∵y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称,∴排除A ，C 项；当x ∈错误!时，y ＝－x cos x 〈0，∴排除B 项，故选D 。
答案：D4．函数y ＝2sin 错误!的一个单调递减区间是（ ）A.错误!B 。
错误! C.错误! D 。
错误! 解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是错误!（k ∈Z )．由错误!＋2k π≤2x －错误!≤错误!＋2k π，k ∈Z ,得错误!＋k π≤x ≤错误!＋k π，k ∈Z 。
令k ＝0，得错误!≤x ≤错误!。
答案：A5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ）的图象关于直线x ＝错误!对称,则φ的值可能是( )A.错误!B ．－错误! C.错误! D 。
错误!解析:由题意，当x ＝错误!时，f (x ）＝sin 错误!＝±1，故错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝错误!，故φ的值可能是错误!. 答案：D6．函数y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数，在［0，π]上是减函数,∴只有－π〈a ≤0时，满足条件．故a 的取值范围是(－π，0］．答案：（－π，0]7．已知f （x ）＝sin 2x ＋cos x ，x ∈错误!，则f （x ）的值域为________．解析：f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ＝－错误!错误!＋错误!。
高中数学必修四课时作业11：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1．函数y ＝sin 2x 的单调减区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，32π＋2k π(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z ) C ．[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z )D ．⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) [解析] 令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 则y ＝sin 2x 的单减区间是[π4＋k π，3π4＋k π](k ∈Z )． [答案] B2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 [解析] 因为函数周期为π，所以排除C ，D ．又因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A ．[答案] A3．函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1 C.35 D.15[解析] cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，函数的最大值为65. [答案] A4．函数y ＝sin(x 2－π3)取最大值时自变量的取值集合是________． [解析] 当x 2－π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π3＋4k π，k ∈Z 时，函数取最大值． [答案] {x |x ＝5π3＋4k π，k ∈Z } 5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________．[解析] ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3．y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2．[答案] sin 3<sin 1<sin 26．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4． (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )．解 (1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π， 可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π， 故f (x )的单调递增区间是[－5π12＋23k π，－π12＋23k π](k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝－π＋2k π， 即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2． 7．求函数y ＝cos 2x －sin x 的值域．解 y ＝cos 2x －sin x＝－sin 2x －sin x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋54． ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54； 当sin x ＝1时，y min ＝－1．∴函数y ＝cos 2x －sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－1，54． 能力提升8．若函数y ＝sin(π＋x )，y ＝cos(2π－x )都是减函数，则x 的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z [解析] y ＝sin(π＋x )＝－sin x ，y ＝cos(2π－x )＝cos x ，对y ＝－sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上单调递减． 对y ＝cos x 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上单调递减．取两集合的交集，故选A ．[答案] A9．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A ．4π3B ．8π3C ．2πD ．4π[解析] 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为[－1，12]，且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3， 故可得，最大值与最小值之和为2π．[答案] C10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α与sin β的大小关系是________．[解析] 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故α＋β>π2，∴α>π2－β，α∈(0，π2)，π2－β∈(0，π2)， 所以cos α<cos(π2－β)＝sin β． [答案] cos α<sin β11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________． [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3． ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34． [答案] 3412．求下列函数的单调增区间：(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12cos(π3－x 2)． 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z ．∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)要求函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的增区间，即求使y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．为此，x 满足：2k π≤x 2－π3<2k π＋π2，k ∈Z ． 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3，k ∈Z ． ∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的增区间为 ⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3，k ∈Z ． 13．(选做题)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f (x )≤|f ⎝⎛⎭⎫π6|对x ∈R恒成立．且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解 由f (x )≤|f ⎝⎛⎭⎫π6|对x ∈R 恒成立知，2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )． ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－5π6， 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴φ＝－5π6，故f (x )=2sin(2x －5π6) 由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
高中数学必修四课时作业2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定[答案] D3．函数y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 [答案] C[解析] 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.[答案] 34[解析] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )． 所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π [答案] C[解析] 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间．9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 [答案] B[解析] 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋asin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． [答案] sin 3<sin 1<sin 2 [解析] ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b ∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ， ∴{b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π； 当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π. 12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的[解析]式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π)故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1.∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
新人教A版高中数学【必修4】 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时作业练习含答案解析
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质：一、选择题1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是____________．8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x≤π6)的值域是________．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 10．设|x|≤π4，函数f(x)＝cos2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos 2x)．12．已知函数f(x)＝2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则( )A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．31．求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2kπ－π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋π2 (k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋32π (k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 答案 知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k ∈Z) [π2＋2kπ，3π2＋2kπ] (k ∈Z) [－π＋2kπ，2kπ] (k ∈Z) [2kπ，π＋2kπ] (k ∈Z) x ＝π2＋2kπ (k ∈Z)x ＝－π2＋2kπ (k ∈Z) x ＝2kπ (k ∈Z) x ＝π＋2kπ (k ∈Z) 作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54 当sin x ＝－12时，ymin ＝－54； 当sin x ＝1时，ymax ＝1.]4．C [由y ＝|sin x|图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，kπ＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x|的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b<c<a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b<c<a. 10.1－22解析 f(x)＝cos2x ＋sin x ＝1－sin2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x|≤π4，∴－22≤sin x≤22.∴当sin x ＝－22时，f(x)min ＝1－22.11．解 (1)由2kπ＋π2≤x 2≤2kπ＋32π，k ∈Z ， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k ∈Z.∴y ＝1－sin x2的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k ∈Z)． (2)由题意得cos 2x>0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只须满足：2kπ<2x<2kπ＋π2，k ∈Z. ∴kπ<x<kπ＋π4，k ∈Z.∴y ＝log 12(cos 2x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ，kπ＋π4，k ∈Z.12．解 ∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a≠0. 当a>0时，f(x)max ＝2a ＋b ＝1， f(x)min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a<0时，f(x)max ＝－3a ＋b ＝1， f(x)min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴π－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β.∵y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)练习(含解析)新人教A版必修
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1.4.2 正弦、余弦函数的性质（二）一、选择题1。
下列函数，在错误!上是增函数的是（）A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 2x D．y＝cos 2x【答案】C【解析】因为y＝sin x与y＝cos x在错误!上都是减函数，所以排除A，B．因为错误!≤x ≤π，所以π≤2x≤2π。
因为y＝sin 2x在2x∈［π，2π]内不具有单调性，所以排除C．故选D。
2.函数f(x)＝sin错误!的一个递减区间是（)A．错误!B．［－π，0］C．错误!D．错误!【答案】D【解析】令x＋错误!∈错误!，k∈Z，得x∈错误!，k∈Z,k＝0时，区间错误!是函数f（x）的一个单调递减区间,而错误!⊆错误!.故选D．3. 下列关系式中正确的是（）A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°〈sin 11°〈cos 10°C．sin 11°<sin 168°〈cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11°【答案】C【解析】由诱导公式,得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°）＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°］上是单调递增的,所以sin 11°<sin 12°〈sin 80°，即sin 11°<sin 168°〈cos 10°.故选C．4．函数f（x)＝2sin错误!，x∈[－π，0]的单调递增区间是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】令2kπ－错误!≤x－错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，解得2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!π,k∈Z，又－π≤x≤0，∴－错误!≤x≤0，故选D．二、填空题：5.函数y＝cos x在区间［－π，a］上为增函数，则a的取值范围是________．【答案】(－π，0］【解析】因为y＝cos x在［－π，0]上是增函数，在［0，π］上是减函数，所以只有－π〈a≤0时满足条件，故a∈（－π，0]．6。
1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二)——课时作业(答案版)
§1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质（二）参考答案1．【答案】D【解析】由题意，当x ＝π8时，f (x )＝sin(2×π8＋φ)＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )． 当k ＝0时，φ＝π4，故φ可能是π4. 2．【答案】B【解析】由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos )6(π+x ≤32，故选B. 3．【答案】C【解析】如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最 大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π. 4．【答案】C【解析】周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴y ＝2sin )42(π+x . 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 5．【答案】D【解析】本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.6．【答案】C【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数， 所以π2ω＝π3，所以ω＝32.7．【答案】cos0>cos 12>cos30°>cos1>cos π 【解析】∵0<12<π6<1<π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∴cos0>cos 12>cos30°>cos1>cos π. 8．【答案】782 【解析】x ∈]67,6[ππ，－12≤sin x ≤1，y ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2)41(sin -x 2＋78， 当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时，y max ＝2. 9．【答案】43【解析】由已知，得2sin ωπ4＝3，且0<ωπ4<π2，解得ω＝43. 10．【解析】(1)根据题意cos(π3－2x )＝12，因为π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )，而x ∈]4,6[ππ-，故x ＝0. (2)令2n π≤π3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )，解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π6(其中n ∈Z )， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．11．【解析】(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为]1232,12532[ππππ--k k (k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 12．【解析】由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6， 代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
数学人教A版必修4教学设计：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 Word版含解析
教学设计1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质．正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．重点难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深入研究函数性质的思想方法．教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律．这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sin x又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上，来理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗？如果是，又是怎样周期性变化的？问题②阅读教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢？从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．对问题①，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．图1问题②，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，k ∈Z .这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k >0时)或减少(k <0时)一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f (x )对于其定义域内的每一个值，都有：f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数；f (－x )＝f (x )，那么f (x )叫做偶函数；f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是非零常数，那么f (x )叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．讨论结果：①正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2π就重复一次．②略．定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义？并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期？活动：对问题①，学生一时可能难以理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )，那么T 就不是f (x )的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k ∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)≠sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f (x ＋120°)＝f (x )，所以120°不是f (x )的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2π，4π，6π，8π，……都是它的周期，有无穷多个，即2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f (x )的周期，那么对于任意的k ∈Z ，k ≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．讨论结果：①略．②定义法、公式法和图象法．应用示例思路1例1求下列函数的周期：(1)y＝3cos x，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(3)y＝2sin(x2－π6)，x∈R.活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x＋2π)＝3cos x，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x＋π)＝－3cos x≠3cos x，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么cos u的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u＋2π时，函数cos u的值重复出现，而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x 增加到x＋π且必须增加到x＋π时函数值重复出现．因为sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[12(x＋4π)－π6]＝2sin[(x2－π6)＋2π]＝2sin(x2－π6)．所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到，f (x ＋T )＝f (x )中，T 是相对于自变量x 而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.可以按照如下的方法求它的周期： y ＝A sin(ωx ＋φ＋2π)＝A sin[ω(x ＋2πω)＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)． 于是有f (x ＋2πω)＝f (x )， 所以其周期为2πω.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y ＝sin x 的周期为2π. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如例1中的第(3)小题：T ＝2πω＝4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法.例1判断函数f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f (x ＋T )＝f (x )成立的T 的值．学生可能会很容易找出4π，2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cos x|＝f(x)．所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代等都代入试一试．实际上，在f(x)＝2sin2x＋|cos x|，x∈R 替后看看函数值变不变．为此需将π，π2中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期.知能训练课本本节练习解答：1．成立．但不能说12°是正弦函数的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立． 例如sin(20°＋120°)≠sin20°.点评：理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义．2．(1)8π3；(2)π2；(3)2π；(4)6π. 点评：利用周期函数的图象和定义求周期，体会周期与自变量x 的系数有关．3．可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域．点评：了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质．可让学生课堂讨论，然后归纳总结．课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些？〔周期函数的概念，最小正周期的定义，正弦、余弦函数的周期性，y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期〕．并思考总结本节都用了哪些数学方法？(观察与归纳，特殊到一般，定义法，数形结合，辩证的观点)作业1．课本习题 A 组3，B 组3.2．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么，以后有些题就会很难做．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律．让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势． 对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]． 当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }， 由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }． 同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }． 函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数， 所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数， 所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)． 点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间． 活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]． 由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z . 由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]， 因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]． 点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )． 点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( )A ．[π2，π]B ．[0，π4]C ．[－π，0]D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的． 解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]． 取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]， 故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]． 点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函。
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1.4.2正弦、余弦函数的性质（2）
一、三维目标:
知识与技能: 1、掌握正、余弦函数的奇偶性和单调性；
2、理解正、余弦函数的奇偶性和单调性。
过程与方法: 掌握正、余弦函数的奇偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
情感态度价值观: 激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
二、学习重、难点：
重点: 正、余弦函数的奇偶性和单调性。
难点: 正、余弦函数奇偶性和单调性的理解与应用。
三、学法指导: 认真阅读教材,对教材的内容进行分析。
四、知识链接：
A问题1：奇、偶函数的定义；
A问题2：奇、偶函数的图像性质；
五、学习过程：
奇偶性：
问题3：观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数
∵cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x)。
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
(2)正弦函数
B问题4：观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
B问题5：这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？
也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
单调性
问题6：从y ＝sin x ，x ∈［－23,2π
π］的图象上可看出：
当x ∈［－2π，2
π］时，曲线逐渐 ，sin x 的值由－1 到1。
当x ∈［2π，2
3π］时，曲线逐渐 ，sin x 的值由1 到－1。
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［ ， ］(k ∈Z)上都是增函数，
其值从
－1增大到1；在每一个闭区间［ ， ］(k ∈Z)上都是减函数，
其值从1减小到－1。
余弦函数在每一个闭区间［ ， ］(k ∈Z)上都是增函数，其值从
－1增加到1；在每一个闭区间［ ， ］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。
例题讲解
B 例1.判断下列函数的奇偶性
(1)1cos ();1cos x f x x
-=+ (2) ()lg(sin f x x =
B 例2.不通过求值，比较大小： ①sin()_____sin()1810ππ-
-； ②2317cos()_____cos()54ππ--
B 变式训练：比较3sin ,2sin ,1sin 大小 。
C 例3.求函数)43sin(2π+
=x y 的单调递增区间。
六、达标检测：
A1.判断函数奇偶性：
（1）|sin |||sin )(x x x f +=;（2）1sin cos ()1sin cos x x f x x x +-=
++
B2.已知()()()31()57,5f x ax bsin x a b f f =++=-、为常数，且求。
B3.根据正、余弦函数的图象探究：
（1）函数()sin f x x ＝图象的对称轴是 ；对称中心是 。
(2) 函数()cos f x x ＝图象的对称轴是 ；对称中心是 。
(3)函数()2sin()3f x x π=+图象的对称轴是 ；对称中心是 。
B4.求函数)43sin(2π+
=x y 的单调递减区间。
七、学习小结：本节课学习了以下内容：
1．正、余弦函数的奇偶性；2．正、余弦函数的单调性。
八、课后反思:
1.4.2正弦、余弦函数的性质（2）
例1、判断下列函数的奇偶性
(1)函数()f x 定义域为{}2x x k ππ≠+关于原点对称 1cos()()();1cos()x f x f x x ---=
=+-Q ()f x ∴为偶函数。
(2) 奇函数
例2、①sin()sin()1810ππ->-；②2317cos()cos()54ππ-<- 变式训练：sin 2sin1sin3>>
例3、2
2,,43123k k k Z ππππ⎡
⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
达标检测：
1、（1）()f x 为偶函数;（2）()f x 为非奇非偶函数
2、()5f x =-
3、（1）,2x k k Z π
π=+∈；(),0,k k Z π∈
(2) ,x k k Z π=∈；(,0),2k k Z π
π+∈ (3) ,6x k k Z π
π=+∈；(,0),3k k Z π
π-∈
4、22
5
[,],312312k k k Z ππππ++∈。