人教版八年级下册数学17章《勾股定理》解答题专项训练(带答案)

人教版八年级下册数学17章勾股定理解答题专题训练1．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，求∠ABD的度数．
2．如图，在∠ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，AD∠BC，垂足为D．求AD的长．
3．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）
4．如图所示，在∠ABC中，AB∠BC∠CA＝3∠4∠5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)经过3秒时，∠BPQ的面积为多少？
(2)当t为何值时，BP＝1
BQ？
2
(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
5．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90ABC ∠=︒．求阴影部分的面积．
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
(1)画出ABC 关于直线MN 对称的A 1B 1C 1；
(2)求AB 1C 的面积；
(3)试判断ABC 的形状并说明理由．
7．如图，在∠ABC 和∠CDE 中，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，且AC ∠CE ，AC ＝CE ．
(1)求证：ABC CDE △≌△
(2)若AC ＝13，DE ＝5，求DB 的长．
8．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＞AC ，CD ∠AB 于点D ，点E 是AB 的中点，连接CE ．
(1)若AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长；
(2)求证：BC 2﹣AC 2＝2DE •AB ；
(3)求证：CE ＝1
2AB ．
9．如图，ABC 中，3AB AC ==，4BC =．
(1)求高AD 的长；
(2)求ABC 的面积．
10．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何？”大意是：已知甲、乙二人从同一地点出发，甲的速度与乙的速度之比为7：3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇．这时甲、乙各走了多远？
11．如图，△ABC中，△ABC=45°，△BAC=60°，D为BC上一点，△ADC=60°，
AE∠BC于点E，CF∠AD于点F，AE、CF相交于点G．
(1)求△DAC的度数；
(2)求证：DF=FG；
(3)若DC=2，求线段EG的长．
12．如图，点C在线段BD上，AC∠BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．
(1)求证：DE∠AB；
(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．
(1)若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．
14．如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，DE AB ⊥，7DE =，ABE ∆的面积为35．
(1)求AB 的长；
(2)求ACB ∆的面积．
15．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4和()3,0，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上．
(1)求出AB 的长．
(2)求出ABC 的周长的最小值？
16．如图，CD 是∠ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是∠ACD 和∠BCD 的高．
(1)求证CD ∠EF ；
(2)若AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，∠ACB ＝60°，求CG 的长．
17．如图，在∠ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．
(1)求线段DP的最小值；
(2)当DP最小时，求CDP的面积．
18．如图，∠ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若BC2＝56，AD∠BD＝3∠4，求AC的长．
于D．
19．已知∠ABC中，AB＝AC，CD AB
(1)若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
(2)若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．
参考答案：
1．
解：在直角∠BCD 中，∠C ＝90°，BC ＝3，CD ＝4，
∠BD ＝5，
在∠ABD 中，AD 2＝132=169，AB 2+BD 2＝122+52=144+25=169，
∠AD 2＝AB 2+BD 2，
∠∠ABD 是直角三角形，
∠∠ABD ＝90°．
2．
解：在ABC ∆中，
8AB =，6AC =，10BC =，
2222228610010AB AC BC ∴+=+===，
90CAB ∴∠=︒，
AD BC ⊥，
1122ABC S AC AB BC AD ∆∴==， 4.8AC AB AD BC ∴==． 3．
如图，由题意可知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠=︒，
∠10AB =米，
∠10 2.812.8AB BC +=+=米．
故这根旗杆被吹断裂前有12.8米高．
4
(1)
设AB 、BC 、CA 分别为3x 、4x 、5x ， 由题意得：3x ＋4x ＋5x ＝36，
解得：x ＝3，
则AB ＝3x ＝9，BC ＝4x ＝12，AC ＝5x ＝15，
∠AB 2＋BC 2＝92＋122＝225，AC 2＝152＝225，
∠AB 2＋BC 2＝AC 2，
∠∠B ＝90°，
当t ＝3时，AP ＝3cm ，BQ ＝6cm ，
则BP ＝9﹣3＝6cm ，
∠S △BPQ ＝1
2×6×6＝18（cm 2）；
(2)
由题意得：AP ＝t ，BQ ＝2t ，
则BP ＝6﹣t ，
当BP ＝12BQ 时，6﹣t ＝12×2t ，
解得：t ＝3；
(3)
当点B 在PQ 的垂直平分线上时，BP ＝BQ ，即6﹣t ＝2t ，
解得：t ＝2．
5．
解：如图，连结AC ．
∠90B ∠=︒，3AB =，4BC =，
5AC ∴=． 12CD =，13AD =，5AC =，
222AC CD AD ∴+=，
ACD ∴∆是直角三角形且∠ACD =90°，
11512343062422
ACD ABC S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影．
6．
解：∠A1B1C1如图所示；
，(2)
解：∠AB1C的面积=4×4-1
2
×1×4-
1
2
×2×3-
1
2
×2×4
=16-2-3-4
=16-9
=7；
，
(3)
解：由勾股定理得，AB
BC，AC，
∠AB2+AC2=2+）2=25=52，∠AB2+AC2=BC2，
∠∠ABC是直角三角形．
7．
(1)
证明：∠AC∠CE，∠ABC=∠CDE=90°，∠∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°
∠∠DCE=∠A．
∠在∠ABC 和∠CDE 中，90ABC D A DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠ABC ∠∠CDE (AAS)．
(2)
∠∠ABC ∠∠CDE ，DE ＝5，AC ＝13
∠BC ＝DE ＝5，CE ＝13
∠在Rt CDE △
中，12CD ==
∠1257DB CD BC =-=-=．
8．
解：在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，
由勾股定理得：AB
5，
∠∠ACB ＝90°，CD ∠AB ，
∠S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •DE ，即12×3×4＝12×5×CD ，
解得：CD ＝
125
； (2)
证明：∠点E 是AB 的中点，
∠AE ＝BE ，
∠BD ﹣AD ＝（BE +DE ）﹣（AE ﹣DE ）＝BE ﹣AE +2DE ＝2DE ，
∠CD ∠AB ，
∠BC 2＝BD 2+CD 2，AC 2＝AD 2+CD 2，
∠BC 2﹣AC 2＝（BD 2+CD 2）﹣（AD 2+CD 2）＝BD 2﹣AD 2＝（BD +AD ）（BD ﹣AD ）＝AB •2DE ＝2DE •AB ；
(3)证明：延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连结AF ，
在∠AEF 和∠BEC 中，
AE BE AEF BEC EF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠AEF ∠∠BEC （SAS ），
∠∠B ＝∠EAF ，AF ＝BC ，
∠∠ACB ＝90°，
∠∠B +∠CAB ＝∠EAF +∠CAB ＝90°，
∠∠CAF ＝∠ACB ＝90°，
∠AC ＝CA ，
∠∠ACF ∠∠CAB （SAS ），
∠CF ＝AB ，
∠CF ＝2CE ，
∠CE ＝1
2AB ．
9．
解：∠ ABC 中，3AB AC ==，4BC =，AD 是ABC 的高， ∠2BD DC ==，AD BC ⊥，
∠AD ==
(2)
解：∠4BC =
，AD =
∠114522S ABC BC AD =
=⨯⨯= 10．
解：如图
设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行AB =3x ， 甲共行AC +BC =7x ，
∠AC =10，
∠BC =7x -10，
又∠∠A =90°，
∠BC 2=AC 2+AB 2，
∠（7x -10）2=102+（3x ）2，
解得：x 1=0（舍去），x 2=3.5，
∠AB =3x =10.5，
AC +BC =7x =24.5．
答：甲行24.5步，乙行10.5步．
11．
(1)
∠60ADC ∠=︒，
∠604515DAB ADC B ∠=∠-∠=︒=-︒︒， ∠601545DAC BAC DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
(2)
∠45DAC ∠=︒，且CF AD ⊥，
∠90AFC CFD ∠=∠=︒，45ACF DAC ∠=∠=︒， ∠AF CF =．
又∠90FAG AGF ∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒ ∠ADC AGF ∠=∠，
∠()AFG CFD AAS ≌△△，
∠DF FG =；
(3)
在Rt CFD △中，90CFD ∠=︒，60CDF ∠=︒， ∠112
DF CD ==， ∠1FG DF ==．
在Rt CFD △中，CF
∠1CG CF FG =-=．
在Rt CGE △中，90GEC ∠=︒，9030GCE ADC ∠=︒-∠=︒，
∠12EG CG == 12．
证明：∠AC ∠BD ，
∠∠ABC 和∠DCE 都是直角三角形， ∠CA ＝CD ，DE ＝AB ，
∠()Rt ABC Rt DCE HL ≅ ，
∠∠BAC =∠CDE ，
∠∠BAC +∠ABC =90°，
∠∠CDE +∠ABC =90°，
∠∠BFD =90°，
∠DE ∠AB ；
(2)
解：∠Rt ABC Rt DCE ≅，
∠DE =AB =c ，CE =BC =a ，
设EF =x ，则DF =c +x ，
∠DE ∠AB ， ∠()1122ABD S
AB DF c c x =⋅=+ ，1122ABE S AB EF cx =⋅=， ∠ABD ACD BCE ABE S S S S =++， ∠()2211112222
c c x cx a b +=++ ， ∠222+=a b c ．
13．
解：∠AB ＝AC ，AC =8，
∠AB =8，
∠AD =17，BD =15，
∠22281517+=，即222AB BD AD +=， ∠∠ABD =90°，即AB ∠BD ；
(2)
∠∠D =28°，∠DBC =121°，
∠∠C =180°-28°-121°=31°，
∠AB =AC ，
∠∠ABC =∠C =31°，
∠∠DAB =∠C +∠ABC =62°．
14
(1) 解：由题意知17352
ABE S
AB =⨯= 解得10AB =
∠AB 的长为10．
(2)
解：在ABC 中，2210100AB ==，222268100AC BC +=+= ∠222AB AC BC =+
∠90C ∠=︒ ∠11682422ABC S AC BC ∆=⨯=⨯⨯=
∠ABC 的面积为24．
15
作AD OB ⊥于D ，如图1所示：
则90,1,4,3ADB OD AD OB ∠====︒， ∠312BD =-=，
∠AB =
(2)
解：要使ABC 的周长最小，AB 一定，则AC BC +最小， 作A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点C ，
点C 即为使AC BC +最小的点，
作A E x '⊥轴于E ，
由对称的性质得：AC A C '=，
,4,1AC BC A B A E OE ''+===，OB =3， ∠=4BE OE OB +=，
由勾股定理得：A B =='
∠ABC 的周长的最小值为 16.
(1)
∠CD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC ，DF ∠BC ， ∠DE =DF ，∠CDE 和∠CDF 是直角三角形， ∠CD =CD ，
∠()Rt CDE Rt CDF HL ≅，
∠CE =CF ，
∠CD 垂直平分EF ，即CD ∠EF△
(2)
∠CE =CF ，∠ACB ＝60°，
∠∠CEF 是等边三角形，
∠EF =CE ，∠ACD =30°，
∠CD ∠EF ， ∠1122
EG EF CE ==， ∠AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，DE =DF ，ABC ACD BCD S S S =+△△△， ∠ ()11110222
DE AC DF BC DE AC BC ⨯+⨯=⨯+=， 解得：DE =2，
在Rt CDE △ 中，∠ACD =30°，
∠CD =2DE =4，
∠
CE
∠1122
EG EF CE ===
∠3CG ．
17
解：当DP ∠BC 时，线段DP 的值最小，
∠BD 平分∠ABC ，∠A =90°，
当DP ∠BC 时，DP =AD ，
∠AD =3，
∠DP 的最小值是3；
(2)
解：∠∠A =90°，
∠BD ，
当DP 最小时，DP =3，DP ∠BC ，
则∠DPB =∠DPC =90°，
∠PB =4，
∠CP =BC -PB =12-4=8，
∠∠CDP 的面积=12CP ×DP =12
×8×3=12， 即当DP 最小时，∠CDP 的面积为12． 18
解：连接CD ．∠ DE 垂直平分BC ∠CD ＝BD ．
∠ BD2－DA2＝AC2 ，
∠ CD2－DA2＝AC2 ．
∠∠A＝90°．
(2)
解：∠ AD∠BD＝3∠4，
∠设AD＝3x，BD＝4x．
7,
AB x
BD2－DA2＝AC2 ，
∠∠A＝90°，∠AC2＝7x2．
∠BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，∠x＝1．（负根舍去）
∠AC=
19
(1)
∠AB＝AC，
∠∠B＝∠ACB
∠∠A＝42°
∠
11
(180)(18042)69 22
ACB A
∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒
∠CD∠AB，
∠∠ACD＝90°-42°=48°
∠∠DCB＝69°-48°＝21°；
(2)
设AC＝AB＝x，
∠BD＝1，CD＝3
∠AD＝x-1，
∠CD∠AB
∠222 DC AD CA
+=
∠222 3(1)
x x
+-=
∠5
x=
∠M为AC的中点
∠
15
22 MD AC
==。