(完整版)线性规划高考题及答案

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22
x y +的最小值是 .
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0
24
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线2
2
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)
003x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件14
22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大
值，则a 的取值范围为 。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例６在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积是（）
(A)
(B)4 (C) (D)2
七、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80
(B) 85 (C) 90 (D)95
• • • • • •
C
• 八、设不等式组
所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整
数，总有成立，求实数的取值范围；
（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，
求出正整数
；若不存在，说明理由。

1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18
2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而2
2
x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。

2
2
x y +的最小值是为5。

3 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即
max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D;
4 解析：双曲线2
2
4x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域（如图4所示）时有
003x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
5 解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目
标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。

则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线
4,3x y x +==（不含界线）之间。

即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。

6 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的三个顶
点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：1
1||||42 4.2
2
S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

7 解析：如图７，作出可行域，由101010z z x y y x =+⇒=-+
，它表示为斜率为1-，纵截距为10
z
的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。

当直线1010z x y =+通过119
(,)22
A z 取得最大值。

因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优
整数解。

于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =
8、解：⑴
------------------2分
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
∴- ------------------4分
（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范
围；
解：由
则
图1
图2
-------------------5分
当时，
当时，-------------------6分
∴时，
时，
时，
∴中的最大值为-------------------8分
要使对于一切的正整数恒成立，
只需
∴-------------------9分
（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

解：--------------10分
将代入，化简得，（﹡）-------------------11分
若时，显然-------------------12分
若时（﹡）式
化简为不可能成立-------------------13分
综上，存在正整数使成立. - --------------14分。