江苏省江阴市山观高级中学高中数学 弧度制期末复习学案(无答案)新人教版必修4

山观中学一体化教[学]案（高一年级数学）
一、课题：弧度制
二、教学目标
1. 理解弧度制的意义，并能正确的进行弧度与角度的换算；
2．了解角的集合与实数集R 之间可以建起一一对应的关系；
3．记住公式r l =||α（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径），会利用弧度制解决某些简单的实际问题。

三、教学重点与难点
重点：弧度与角度之间的换算
难点：弧度的概念的理解
四、教学过程
埃及著名的法老胡夫用人的前臂作为长度单位叫”腕尺”．公元9世纪撒克逊王朝亨利一世规定，他的手臂向前平伸，从鼻尖到指尖的距离定为”1码”．10世纪英国国王埃德加，把他的拇指关节之间的长度定为”1寸”
1、情境设置：
初中时我们学过角的度量，当时是用度作单位来度量角的大小的，并规定把一个周角的360
1记为1°。

这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。

但在数学和其他科学中还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。

2、基础知识：
1．1弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为rad 1．
练习：圆的半径为r ，圆弧长为r 2、r 3、2
r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 思考：一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度制的定义：
一般地：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是r
l =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。

这种以弧度为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。

说明：（1）我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：
当弧长r l π4=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是ππα44||-=-=-=-r
r r l ； （2）一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

3．角度与弧度的换算：
360°=2πrad 180°=πrad
1801π=︒rad 01745.0≈rad 1rad =︒)180(π
8157'≈o
课堂笔记：
3、例题讲解
例1． 将下列各角从弧度化为度．
（1）π5
3 （2）3.5
例2． 把下列各角从度化为弧度
（1）252º （2）11º15ˊ
说明：（1）在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住180°=πrad ；
（2）用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去，而且用“弧度”为单位度量角时常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，
例如45°=4π，不必写成45°≈0.875。

例3．将下列各角化为),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，并判断其所在象限。

⑴
π319 ⑵o 315- ⑶o 1485-．
说明：在表示与角α终边相同的角时，要注意单位的统一，避免出现如
︒⋅+3603k π或πk 260+︒等不规范的
写法
4．一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
5．弧度制下的弧长计算公式及扇形面积计算公式：
（1）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？ 圆的半径为r ，圆心角为n o 所对弧长为180||360||2r n n r l o o ππ=⨯=； 扇形面积为22||||360360
n r n S r ππ=⨯=o o 360||360||22n r n r S o o ππ=⨯= （2）在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？
∵r
l =||α（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为r l ⋅=||α； 扇形面积公式为：22||1222
l
r S r r lr αππππ=⋅== 说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．
例4．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积。

6．引入弧度制的意义：
角的概念推广后，在弧度制下，就可以在角的集合与实数集R 之间建立一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数都对应唯一的一个角。

五、课堂练习：
1.(口答)把下列各角从度化为弧度
(1)180º (2)90º （3）45º （4）30º （5）120º （6）270º
2．（口答）把下列各角从弧度化为度
（1）2π （2）2π （3）6π （4）π3
2
3.把下列各角从度化为弧度：
（1）75º （2）—210º （3）135º （4）22º30ˊ
4.把下列各角从弧度化为度：
（1）12π （2）π52 （3）—π3
4 （4）—π12
5.若6-=α，则角α的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
α
B A O l
6.已知半径为240mm 的圆上，有一段弧的长是500mm ，求此弧所对的圆心角的弧度数。

六、课堂小结
1．弧度制的定义；
2．弧度制与角度制的转换与区别。

3．弧度制下的弧长计算公式及扇形面积
弧度制 学案
1. 把—400º化为),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式为
2. 弧度数为5的角所在的象限是
3. 已知,,323Z k k ∈+=π
πα
则2
α的终边所在是 4. 下列四组角中终边相同的角是第 组 ① 32ππ±
k 与3ππ+k ，Z k ∈ ② 42ππ+k 与,24ππ+k Z k ∈ ③ 2πk 与2ππ+k ，Z k ∈ ④ 4)1(ππ⋅-+k k 与42ππ+k 或ππ4
32+k ，Z k ∈ 5. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是
6. 用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角的集合（包括边界）
7.把下列各角从弧度化为度
O 45º 120º 210º O
(1)π125- (2)π38 (3)3
2 (4) 1.4
8.把下列各角从度化为弧度:
(1)⋅3012ο (2)ο200- (3)ο355 (4)⋅-45186ο
9.把下列各角化成()Z k k ∈<≤+,202παπα的形式,并指出它们是第几象限角:
(1)
π623 (2)ο1500- (3)π718- (4)ο672
10.若扇形的面积是21cm ,它的周长是4cm,求扇形圆心角的弧度数.
11.已知扇形的半径为10 cm,圆心角为ο60,求扇形的弧长和面积.
12.已知半径为200 mm 的轮子以45 s rad
的速度旋转,求轮周上一点5s 内所经过的路程.
13.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧
∈+<<=Z k k k A ,41ππαπα,{}
2≤=ααB 求B A ⋂
14.在扇形AOB 中,ο
90=∠AOB ,弧AB 的长为l ,求此内切圆的面积.
15.已知扇形的周长为30cm,当它的圆心角和半径各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大是多少?
16.有人说,钟的时针和分针一天会重复24次,你认为这种说法是否正确?请说明理由.。