数学思想方法选讲 高三数学复习课件 (共29张PPT)
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1本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情 况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.
2题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.
练习：由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m
四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法
转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关 数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通 过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转 化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化 为已解决的问题.
＝－a－1； ②当 1<a2<e，即 2<a<2e 时，g(x)在1，a2上为减函数，
在a2，e上为增函数， h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；
③当a2≥e，即 a≥2e 时，g(x)在[1，e]上为减函数， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
－a－1，a≤2， 综上，h(a)＝alna2－14a2－a，2<a<2e，
转化与化归思想在解题中的应用
在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复
1
杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的 作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角
度的转化、函数的转化等.
2
在函数，不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、 不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等.
则①g′(x)≥0 在(1,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(1,3)上恒成立．(正反转化)
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(1,3)时恒成立， ∴由m②＋得4≥3x2x2－＋3(mx ＋恒4成)x立－，2≤则0，m＋即4m≥＋－4≤1，2x－即3mx，≥－5；
解法二：若 g(x)在区间(1,3)上不为单调函数， 则 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2=0 在(1,3)上有极值．(正反转化) 即 m=2x－3x-4 在 x∈(1,3)有解 因为 y=2x－3x-4 在 x∈(1,3)单调递减，
所以2x－3x-4∈－337，－5,即 m∈－337，－5
[小结]
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线 kx
kx－y＋1≥0
－y＋1＝0 与直线 x＝0 或 y＝2x 垂直时才满足．
结合图形可知斜率 k 的值为 0 或－12.
应用三
由参数变化引起的分类讨论
【典例】（2018 全国理Ⅰ卷改编）已知函数 f (x) 1 x a ln x ． x
讨论 f (x) 的单调性；
∴ba＝ 3， ∴离心率 e＝ac＝ 1＋ab22＝2
[小结]
1本题把F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0 几何化，巧妙利用图形特 征，达到以形解数，以简驭繁的目的。反之，按常规利用方 程思想代点计算，运算量较大，自然浪费时间且准确率不高.
2在数学的学习过程中，要充分利用数形结合思想，关 注数与形的转化。
∵方程
x2 m2
n
y2 3m2
n
1 表示双曲线，
∴m2+n＞0 且 3m2﹣n＞0，可得：n+1＞0 且 3﹣n＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n）， 解得：m2＝﹣1 无解 故选：A．
[小结] 1本题中焦点的位置不定，影响 m 及 n 的取值，故 需按焦点不同的位置进行讨论. 2涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变 化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论.
当 x∈(1,3)时恒成立，则 m＋4≤23－9，即 m≤－337.
∴函数 g(x)在区间(1,3)上总不为单调函数的 m 的取值
范围为－337，－5.
[答案] －337，－5
[典例] 若函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(1,3)上不为单调函 数，则实数 m 的取值范围是_______．
解答：由 f (x) 1 x a ln x 得 f '(x) x2 ax 1（x 0)
x
x2
①当 2 a 2 时， 0 ， f '(x) 0 ，
∴此时 f (x) 在 (0, ) 上为单调递减.
②∵ 0，即 a 2 或 a 2 ，此时方程
x2 ax 1 0两根为 x1 a
应用四
空间与平面的转化
【典例】(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面 周长为 16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上， 从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 17 B．2 5 C．3 D．2
数学思想方法选讲2
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想
三、分类讨论思想——求解数学问题最全面的策略
分类讨论思想的含义 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或 分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来 实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合， 分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将 大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优 化了解题思路，降低了问题难度.
a2 4
a
2
, x2
a2 4（x1 x2） 2
当 a 2时，此时两根均为负，∴ f '(x) 在 (0, ) 上单调递减.
当 a 2 时，此时两根均为正，此时 f (x) 在（0，x1）上单调递减， f (x) 在（x1，x2）上单调递增， f (x) 在（x2，+）上单调递减. ∴综上 a 2 时， f (x) 在 (0, ) 上单调递减；
在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇 3 题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语
言进行转化.
4
在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求 解.
5
在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、 切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解.
a2＝m，故 a＝14，m＝116，检验知符合题意．[答案]
1 4
[小结] 1由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)中a的范围没有确定，故应 对a进行分类讨论，即a＞1或0＜a＜1. 2应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行 讨论，这是由它的性质决定的.在处理分段函数问题时，首 先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对 应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.
x≥0， 练习：已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x， 表示的是一个直角三角形围成的平面区
kx－y＋1≥0
域，则实数 k＝( )
A．－12
B.12
C．0
D．－12或 0
解析：选 D.不等式组xy≥≥20x，，
，表示的可行域如图(阴影部分)所示．
kx－y＋1≥0
由图可知，若要使不等式组xy≥≥20x，，
练习：已知函数 f(x)＝aln x＋x2－ax(a∈R)
求 g(x)＝f(x)－2x 在区间[1，e]上的最小值 h(a)．
2x2－ax＋a
2x－ax－1
解：g′(x)＝
x
－2＝
x
，
① 令当g′a2≤(x1)＝ ，0即，得 a≤x21＝时a2， ，gx(2x＝)在1. [1，e]上为增函数，h(a)＝g(1)
应用一
由概念、法则、公式引起的分类讨论
[典例] 若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值 为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增 函数，则a＝________.
[解析] 若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m，此时 a＝2，m＝12，
此时 g(x)＝－ x为减函数，不合题意，若 0<a<1，有 a－1＝4，
解析：选 B 先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置 如图①所示．
圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图②所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，
应用二
主元与次元的转化
[典例] 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2
＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________． [解析] 设 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当 x＝1 时，f(p)＝0.所以 x≠1.
f(p)在 0≤p≤4 上恒为正，等价于ff04>>00， ， 即xx2－－13>0x，－1>0， 解得 x>3 或 x<－1. [答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
应用三
数量与图形的转化
【典例】 (2019·全国卷Ⅰ理 16)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0， b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条
渐近线分别交于 A，B 两点．若F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0，则 C 的离心率为________．
AOF1 AOB BOF2 60o
的取值范围是(－∞，a)，则实数 a 的取值是 ( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，2)
C．1
D．2
解析：命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题， 可知它的否定形式“任意 x∈R，使 e|x－1|－m>0”是真命 题，可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞， 1)为同一区间，故 a＝1. 答案：C
分类讨论思想在解题中的应用
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定 义、二次函数的定义、直线的斜率等.
由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，
2
偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算 中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函
数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.
[小结]
1本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这 样会很繁琐，若以p为主元，即将原问题化归为在区间[0，4] 上，一次函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3＞0成立的x的取值范 围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决.
2在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常 数或参数，将其看做是“主元”，实现主与次的转化，即常量 与变量的转化，从而达到减元的目的.
3
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调 性、基本不等式等.
4
由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数 函数图象、对数函数图象等.
由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由 5 于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的
参数值要运用不同的求解或证明方法等.
应用二
由图形位置或形状引起的分类讨论
【典例】（2016
年全国
1
卷）已知方程
x2 m2
n
y2 3m2
n
1
表示双曲线，且
该双曲线两焦点间的距离为， ） C．（0，3） D．（0， ）
【解析】∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴c＝2， 当焦点在 x 轴上时，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
1－ea＋e2－2e，a≥2e.
[归纳总结] 1．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准统一． (3)迫不得已． 2．分类讨论的思维流程 明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨 论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集 为空集，并集为全集)． 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.
6
在解决解析几何常常在数与形之间进行转化.；在立体几何问题常 将空间问题平面化。
应用一
正面与反面的转化
[典例] 若函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(1,3)上不为单调函数，则实数 m 的取 值范围是_______．
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(1,3)上总为单调函数，
a > 2时， f (x) 在（0，x1），（x2，+）上单调递减， 在（x1，x2）上单调递增.
[小结] 1本题在研究函数时，对参数 a 进行了分类讨论. 2若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及 对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面 分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还 要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明 确，不重不漏.
2题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很 少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.
练习：由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m
四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法
转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关 数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通 过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转 化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化 为已解决的问题.
＝－a－1； ②当 1<a2<e，即 2<a<2e 时，g(x)在1，a2上为减函数，
在a2，e上为增函数， h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；
③当a2≥e，即 a≥2e 时，g(x)在[1，e]上为减函数， h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
－a－1，a≤2， 综上，h(a)＝alna2－14a2－a，2<a<2e，
转化与化归思想在解题中的应用
在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复
1
杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的 作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角
度的转化、函数的转化等.
2
在函数，不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、 不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等.
则①g′(x)≥0 在(1,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(1,3)上恒成立．(正反转化)
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(1,3)时恒成立， ∴由m②＋得4≥3x2x2－＋3(mx ＋恒4成)x立－，2≤则0，m＋即4m≥＋－4≤1，2x－即3mx，≥－5；
解法二：若 g(x)在区间(1,3)上不为单调函数， 则 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2=0 在(1,3)上有极值．(正反转化) 即 m=2x－3x-4 在 x∈(1,3)有解 因为 y=2x－3x-4 在 x∈(1,3)单调递减，
所以2x－3x-4∈－337，－5,即 m∈－337，－5
[小结]
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线 kx
kx－y＋1≥0
－y＋1＝0 与直线 x＝0 或 y＝2x 垂直时才满足．
结合图形可知斜率 k 的值为 0 或－12.
应用三
由参数变化引起的分类讨论
【典例】（2018 全国理Ⅰ卷改编）已知函数 f (x) 1 x a ln x ． x
讨论 f (x) 的单调性；
∴ba＝ 3， ∴离心率 e＝ac＝ 1＋ab22＝2
[小结]
1本题把F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0 几何化，巧妙利用图形特 征，达到以形解数，以简驭繁的目的。反之，按常规利用方 程思想代点计算，运算量较大，自然浪费时间且准确率不高.
2在数学的学习过程中，要充分利用数形结合思想，关 注数与形的转化。
∵方程
x2 m2
n
y2 3m2
n
1 表示双曲线，
∴m2+n＞0 且 3m2﹣n＞0，可得：n+1＞0 且 3﹣n＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n）， 解得：m2＝﹣1 无解 故选：A．
[小结] 1本题中焦点的位置不定，影响 m 及 n 的取值，故 需按焦点不同的位置进行讨论. 2涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变 化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论.
当 x∈(1,3)时恒成立，则 m＋4≤23－9，即 m≤－337.
∴函数 g(x)在区间(1,3)上总不为单调函数的 m 的取值
范围为－337，－5.
[答案] －337，－5
[典例] 若函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(1,3)上不为单调函 数，则实数 m 的取值范围是_______．
解答：由 f (x) 1 x a ln x 得 f '(x) x2 ax 1（x 0)
x
x2
①当 2 a 2 时， 0 ， f '(x) 0 ，
∴此时 f (x) 在 (0, ) 上为单调递减.
②∵ 0，即 a 2 或 a 2 ，此时方程
x2 ax 1 0两根为 x1 a
应用四
空间与平面的转化
【典例】(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面 周长为 16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上， 从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 17 B．2 5 C．3 D．2
数学思想方法选讲2
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想
三、分类讨论思想——求解数学问题最全面的策略
分类讨论思想的含义 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或 分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来 实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合， 分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将 大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优 化了解题思路，降低了问题难度.
a2 4
a
2
, x2
a2 4（x1 x2） 2
当 a 2时，此时两根均为负，∴ f '(x) 在 (0, ) 上单调递减.
当 a 2 时，此时两根均为正，此时 f (x) 在（0，x1）上单调递减， f (x) 在（x1，x2）上单调递增， f (x) 在（x2，+）上单调递减. ∴综上 a 2 时， f (x) 在 (0, ) 上单调递减；
在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇 3 题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语
言进行转化.
4
在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求 解.
5
在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、 切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解.
a2＝m，故 a＝14，m＝116，检验知符合题意．[答案]
1 4
[小结] 1由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)中a的范围没有确定，故应 对a进行分类讨论，即a＞1或0＜a＜1. 2应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行 讨论，这是由它的性质决定的.在处理分段函数问题时，首 先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对 应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.
x≥0， 练习：已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x， 表示的是一个直角三角形围成的平面区
kx－y＋1≥0
域，则实数 k＝( )
A．－12
B.12
C．0
D．－12或 0
解析：选 D.不等式组xy≥≥20x，，
，表示的可行域如图(阴影部分)所示．
kx－y＋1≥0
由图可知，若要使不等式组xy≥≥20x，，
练习：已知函数 f(x)＝aln x＋x2－ax(a∈R)
求 g(x)＝f(x)－2x 在区间[1，e]上的最小值 h(a)．
2x2－ax＋a
2x－ax－1
解：g′(x)＝
x
－2＝
x
，
① 令当g′a2≤(x1)＝ ，0即，得 a≤x21＝时a2， ，gx(2x＝)在1. [1，e]上为增函数，h(a)＝g(1)
应用一
由概念、法则、公式引起的分类讨论
[典例] 若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值 为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增 函数，则a＝________.
[解析] 若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m，此时 a＝2，m＝12，
此时 g(x)＝－ x为减函数，不合题意，若 0<a<1，有 a－1＝4，
解析：选 B 先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置 如图①所示．
圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图②所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，
应用二
主元与次元的转化
[典例] 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2
＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________． [解析] 设 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当 x＝1 时，f(p)＝0.所以 x≠1.
f(p)在 0≤p≤4 上恒为正，等价于ff04>>00， ， 即xx2－－13>0x，－1>0， 解得 x>3 或 x<－1. [答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
应用三
数量与图形的转化
【典例】 (2019·全国卷Ⅰ理 16)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0， b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条
渐近线分别交于 A，B 两点．若F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0，则 C 的离心率为________．
AOF1 AOB BOF2 60o
的取值范围是(－∞，a)，则实数 a 的取值是 ( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，2)
C．1
D．2
解析：命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题， 可知它的否定形式“任意 x∈R，使 e|x－1|－m>0”是真命 题，可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞， 1)为同一区间，故 a＝1. 答案：C
分类讨论思想在解题中的应用
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定 义、二次函数的定义、直线的斜率等.
由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，
2
偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算 中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函
数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.
[小结]
1本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这 样会很繁琐，若以p为主元，即将原问题化归为在区间[0，4] 上，一次函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3＞0成立的x的取值范 围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决.
2在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常 数或参数，将其看做是“主元”，实现主与次的转化，即常量 与变量的转化，从而达到减元的目的.
3
由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调 性、基本不等式等.
4
由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数 函数图象、对数函数图象等.
由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由 5 于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的
参数值要运用不同的求解或证明方法等.
应用二
由图形位置或形状引起的分类讨论
【典例】（2016
年全国
1
卷）已知方程
x2 m2
n
y2 3m2
n
1
表示双曲线，且
该双曲线两焦点间的距离为， ） C．（0，3） D．（0， ）
【解析】∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴c＝2， 当焦点在 x 轴上时，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
1－ea＋e2－2e，a≥2e.
[归纳总结] 1．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准统一． (3)迫不得已． 2．分类讨论的思维流程 明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨 论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集 为空集，并集为全集)． 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.
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在解决解析几何常常在数与形之间进行转化.；在立体几何问题常 将空间问题平面化。
应用一
正面与反面的转化
[典例] 若函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(1,3)上不为单调函数，则实数 m 的取 值范围是_______．
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(1,3)上总为单调函数，
a > 2时， f (x) 在（0，x1），（x2，+）上单调递减， 在（x1，x2）上单调递增.
[小结] 1本题在研究函数时，对参数 a 进行了分类讨论. 2若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及 对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面 分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还 要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明 确，不重不漏.