2019年新版上海市空间图形题型经典题目汇总含答案

高中数学空间图形解答题
1、在空间四边形ABCD中,各边长和对角线长均为a,点E、F分别是BD、AC的中点,求异
面直线AE和BF所成的角.
2、如图，空间四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=DC=1，AD和BC成角60o，E、F分别
是AB、DC的中点。

求：
（1）AB和DC成角的度数；（2）EF的长。

3、已知棱长为a的正方体ABCD—A
B1C1D1，E是AB的中点，求BD与CE所成的角。

1
4、过锐角三角形ABC的垂心H作平面ABC的垂线,P为垂线上一点,∠APB=90o,那么△BPC和△APC的形状如何?又若∠APB≠90o,PA与BC是否垂直?为什么?
5、夹在两个平行平面α和β间的异面直线AB和CD所成的角为45o,它们在平面β内的射影长分别为12cm和2cm.若AC=6cm,BD=8cm,AB,CD与平面β所成的角的差是45o.求异面直线AC和BD间的距离和它们所成角的度数.
6、已知：矩形ABCD中,AB=45,直线EF//BC,交AB于E,交CD于F,且EB=28,将矩形AEFD 沿直线EF折起,使AD和平面EBCF间的距离为15,求此时AD与BC间的距离.
7、a、b是异面直线,它们所成角是60°.AB是a、b的公垂线,A∈a,B∈b,AB=1,另有C、D 两点,C∈a,D∈b,且DB=AC=10,求C、D两点间距离.
8、平行四边形ABCD的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成
直二面角;求AC 、BD 所成的角.
9、在边长a 为的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中(如图所示),
(1)异面直线AB 与CC 1间的距离为 ;
(2)异面直线A 1D 1与BC 1所成角的度数为 ;
(3)若E,F 分别为AA 1,AB 的中点,则异面直线EF 与BC 1所成角的大小
为 ;
(4)把两两都为异面直线的三条直线称为一组,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线中,满足条件的直线有 组.
10、已知空间四边形ABCD.
(1)求证：对角线AC 与BD 是异面直线;
(2)若AC ⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形EFGH 的形状;
(3)若AB ＝BC ＝CD ＝DA,作出异面直线AC 与BD 的公垂线段.
11、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角;(2)AC 与BD 1所成角. 12、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求AC 1与B 1D 1所成的角。

13、已知AB ，BC ，CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点，P ，Q ，R 满足PQ=2，5
QR ，PR=3，求AC 与BD 所成的角。

14、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，A 1A=4，求A 1B 和B 1C 所成角的余弦值。

15、若E是正方体ABCD－A
B1C1D1的棱BC的中点，求A1C与DE所成角的余弦值。

1
16、在长方体ABCD－A
B1C1D1中，若AB=a，BC=BB1=b，求AC1与B1C所成的角。

1
17、已知E，F，G，H顺次是空间四边形ABCD各边的中点。

（1）求证：EFGH为平行四边形；
（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？
（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？
（4）如果AC=BD，且AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？
（5）若对角线BD=2，AC=4，求EG2＋HF2的值。

1B 1C 1D 11C 所成角的余弦值。

19、在空间四边形ABCD 中，已知AD=1，3=
BC ，且AD ⊥BC ，对角线2
13=BD ，23=AC ，求AC 和BD 所成的角。

20、在正四面体ABCD 中，若E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，求AF 与CE 所成的角的正切值。

21、完成下列证明，已知直线a 、b 、c 不共面，它们相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c 求证：BD 和AE 是异面直线。

证明：假设__共面于γ，则点A 、E 、B 、D 都在平面__内。

A ∈a ，D ∈a ，∴__⊂γ. P ∈a ，∴P ∈__. P ∈b ，
B ∈b ，P ∈c ，E ∈c
∴__⊂γ，__⊂γ，这与____矛盾。

∴BD 、AE__________。

22、在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，已知AB=a ，BC=b ，AA ′=c(a ＞b)，求异面直线D ′B 与AC 所成角的余弦值。

23、已知a 、b 为异面直线,A 、B ∈a.AA 1⊥b,BB 1⊥b,A 1、B 1为垂足,若AB=2,A 1B 1=1,求异面直线a 、b 所成的角.
段AB 两端分别在a ，b 上滑动，求AB 中点M 的轨迹。

25、已知两个全等的正方形ABCD 和CDEF 所在平面互相垂直。

（1）求BD 与EC 所成的角；
（2）若P ，Q 分别为两个正方形的中心，求BQ 与EP 所成角的余弦值。

26、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD ⊥平面CDE.
（1）求证：DE 是AD 与BE 的公垂线；
（2）若AD=DE=AB 2
1，求AD 和BE 所成角的大小。

27、完成下列证明：已知a ∥b ∥c ，a ∩d=A ，b ∩d=B ，c ∩d=C ，求证：a 、b 、c 、d 共面。

证明：∵a//b ，∴___确定一个平面α，∵A ∈a ，B ∈b.
∴A__α，B__α，又∵A ∈d ，B ∈d ，∴___⊂α.同理d ⊂(b 、c 确定的平面)β. ∵b 、d ⊂___，且b 、d ⊂__，b d=B ，∴__与__重合，∴____共面。

说明：立几中证n 条直线共面，一般可根据条件先确定一个平面(根据公理三及三推论)，然后再证其它直线也在这个平面内；也可先确定n 个平面，再证这些平面重合。

28、在底半径为r 的圆柱中,O 、O ′分别为上下底面圆的圆心，OM 和O ′N ′分别为上下底面圆的两条半径，若异面直线OM 和O ′N ′的成角为60o .求：异面直线MN ′和OO ′的距离。

空间直线解答题(参考答案)
1、 arccos 3
2 2、 (1)60o ；(2)2
3. 3、 提示：在面ABCD 中作BP ∥CE 交DC 的延长线于P ，连D 1P ，在∆BD 1P 中用余弦定理求得∠D 1BP=arccos 1515
. 4、 如图,H 是垂心,PH 是垂线,AH ⊥BC,由三垂线定理得AP ⊥BC,又AP ⊥PB,故AP ⊥平面PBC,从而AP ⊥PC,△APC 是直角三角形,同理△BPC 也是直角三角形.由分析过程知PA ⊥BC 与否,与∠APB 的大小无关,即PA ⊥BC 成立
5、 90o ,4或6.
6、 25或39
7、 提示：利用异面直线上两点间距离公式分类讨论：当∠DBE=60°时,CD=101.
当∠DBE=120°时,CD=301. 8、 如图,
折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a. 由余弦定理得BD 2=a 2＋4a 2－a ·2a=3a 2,∴BD=a 3.
∵AD 2＋BD 2=AB 2, ∴△ABD 是直角三角形.
即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°.折起后∠ADB=∠CBD=90°.
如图,
过A 作AE BD,连结AC 、CE 、BE,四边形AEBD 是矩形,BD ⊥BE,DB ⊥BC.
∴∠CBE 是二面角A —BD —C 的平面角.
∴∠CBE=90°,EC 2=2a 2.∵DB ⊥平面EBC,∴DB ⊥EC.
∵AE ⊥EC,AC 2=AE 2＋EC 2=5a 2,
由AE ‖BD 得∠CAE 即为AC 与BD 所成的角.
在Rt △AEC 中,cos ∠CAE=5
1553==AC AE . 于是AC 与BD 所成角为arccos 5
15. 9、 (1)a (2)45o (3)60o (4)8
10、 (1)∵ABCD 是空间四边形,
∴A 点不在平面BCD 上,而C ∈平面BCD,∴AC 过平面BCD 外一点A 与平面BCD 内一点C,又∵BD ⊂平面BCD,且C ∉BD.∴AC 与BD 是异面直线.
(2)解如图,∵E,F 分别为AB,BC 的中点,∴EF//AC,且EF=21AC.同理HG//AC,且HG=21AC.∴EF 平行且相等HG,∴EFGH 是平行四边形.又∵F,G 分别为BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线AC 与BD 所成的角.∵AC ⊥BD,∴∠EFG=90o .∴EFGH 是矩形.
(3)作法取BD 中点E,AC 中点F,连EF,则EF 即为所求.
11、
解(1)如图,连结BD,A 1D,∵ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,∴DD 1平行且相等BB 1.∴DBB 1D 1为平
行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.
(2)连BD交AC于O,取DD1中点E,连EO,EA,EC.
∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.
又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.
12、90°
13、90°
16
14、
25
15
15、
15
16、90°
17、（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）10
10
18、
5
19、90°
2
20、
3
21、假设BD、AE共面于γ，则点A、E、B、D都在平面γ内。

∵A∈a，D∈a，∴a⊂γ.∵P∈a，P∈γ.∵P∈b，B∈b，P∈c，E∈c.∴b⊂γ，c⊂γ，这与a、b、c不共面矛盾。

∴BD、AE 是异面直线。

22、
解：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则BE ≠AC ，∠D ′BE （或其补角）即D ′B 和CD 所的角。

∵222c b a B D ++='，22b a BE +=，224c a E D +='，
∴BE B D E D BE B D BE D ⋅'⋅'-+'='∠2cos 222＝0)
)((222222
2<++++-c b a b a b a ∴D ′B 与AC 所成角的余弦值为))((222222
2c b a b a b a +++-.
23、
解(如图)
过A 作直线b ′‖b, 在b ′上取一点C,使AC=A 1B 1,则AA 1B 1C 为平行四边形,∵A 1B 1⊥AA 1,∴AA 1B 1C 为矩形,∴AC ⊥B 1C,又∵AC ⊥A 1B 1,A 1B 1⊥BB 1,∴AC ⊥BB 1,∴AC ⊥平面BB 1C,∴AC ⊥BC.∴cos ∠CAB=2
1,∴∠CAB=60°,即a 、b 成60°角. 24、 M 点的轨迹是以PQ 为中点T 为圆心、半径为2221
h m -，并位于PQ 的垂直平分面上的圆。

25、 （1）60°；（2）6
5. 26、 （1）∵BC ⊥面DEC ，CE 是BE 在面DEC 上的射影，而CE ⊥DE ， ∴BE ⊥DE.又AD ⊥面DEC ，∴AD ⊥DE ，
故DE 是AD 与BE 的公垂线；
（2）60°.
27、
∵a //b ，∴a 、b 确定一个平面α，∵A ∈a ，B ∈b.∴A ∈α，B ∈α.
又∵A ∈d ，B ∈d ，∴d ⊂α.同理d ⊂(b 、c 确定的平面)β.
∵b 、d ⊂α，且b 、d ⊂β，b ∩d=B ，∴α与β重合，∴a 、b 、c 、d 共面。

28、 d=
23r。