2020-2021学年高二数学新教材苏教版选修2-1课件：第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义

即点M的坐标为5
3
5，2.
故MB＋54MA的最小值为147，此时点M的坐标为5
3
5，2.
[规律方法] 1．解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地 选取定义． 2．圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距 离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程．
[跟踪训练]
3．已知双曲线
2．在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？ [提示] 在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点 是左焦点，则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准 线．而抛物线只有一个焦点对应一条准线．也就是说，定点F和定 直线是“相对应”的．
3．利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？
[答案] 5
5．过双曲线x2－
y2 3
＝1的左焦点F1作倾斜角为
π 4
的弦AB，求

△ABF2的周长(F2为双曲线的右焦点)．
[解] 根据题意，得F1(－2,0)，F2(2,0)， ∴直线AB的方程为y＝x＋2.
y＝x＋2， 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2－y32＝1， 得2x2－4x－7＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－72.
[解] 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0， y0)，由题知M0，－p2.
∵|AF|＝3，∴y0＋2p＝3， ∵|AM|＝ 17， ∴x20＋y0＋p22＝17，
∴x20＝8，代入方程x20＝2py0得， 8＝2p3－p2，解得p＝2或p＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
x2 4
－
y2 12
＝1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P
是双曲线上任意一点，求PA＋12PF的最小值．
[解] 由双曲线的方程，知a＝2，b＝2 3 ，∴c＝4，离心率e＝
c a
＝2，右准线的方程为x＝1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲
线的定义，有
PF d
＝2，即
1 2
PF＝d，如图所示，过P作右准线的垂
[答案] 双曲线
圆锥曲线统一定义的应用
已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆
x2 25
＋
y2 9
＝1内的两个点，M是
椭圆上的动点．
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
(2)求MB＋54MA的最小值及此时点M的坐标．
[思路探究] (1)利用椭圆的定义进行转化求解． (2)注意e＝54，则54MA＝MeA＝d(d为点M到右准线的距离)，然后 利用数形结合思想求解．
∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.
b2＝18，其方程为2y72 ＋1x82＝1.
法二：由题意得
x2|＋9－yy－| 32＝
3 3.
整理得2y72 ＋1x82＝1.
P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．
[规律方法] 解决此类题目有两种方法： (1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程. (2)是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从 而得出方程.
3．焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x＝±
5 2
的椭圆
的标准方程为______．
[解析]
由题意知c＝2，则
a2 c
＝
a2 2
＝
5 2
，故a2＝5，所以b2＝a2－
c2＝1，则椭圆的方程为x52＋y2＝1.
[答案] x52＋y2＝1
4．双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝
由圆锥曲线的统一定义，知AF＝e·d＝e
x1－ac2
＝
c a
x1－a，同理
BF＝acx2－a，
∴AB＝AF＋BF＝acx1＋x2－2a＝54×1760－8＝1744. 即AB的长为1744.
当堂达标 固双基
1．若椭圆C：
x2 9
＋
y2 2
＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且
|PF2|＝4，则∠F1PF2等于(
用圆锥曲线的统一定义求轨迹
已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比 为 33，求动点P的轨迹．
[思路探究] 此题解法有两种：一是定义法，二是直译法．
[解] 法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c ＝3，ac2＝9，则a2＝27，a＝3 3，
∴e＝3 3
＝ 3
33，与已知条件相符．
双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为_x_＝__±_ac_2_， 双曲线ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为_y_＝__±_a_c2_.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点
的轨迹是双曲线．
()
(2)椭圆x42＋y2＝1的准线方程是x＝±4
12，则右焦点的坐标为________．
[解析]
据题意知
ac＝2， ac2＝12，
解得a＝1，c＝2，则右焦点的坐
标为(2,0)．
[答案] (2,0)
合作探究 提素养
已知焦点和准线求圆锥曲线的方程 已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各 值时，求圆锥曲线的标准方程： (1)e＝12； (2)e＝1； (3)e＝32.
[跟踪训练]
2．方程
1＋x2＋y2
________．
＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为
[解析] 由 1＋x2＋y2＝|x＋y－1|， 得 [x－|x＋－y－1]12|＋y2＝ 2.
2 可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0 的距离比为 2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双 曲线．
曲线，且c＝2，
a2 c
＝
1 2
，即a2＝1，故b2＝3，则双曲线的方程为x2－
y32＝1. [答案]
x2－y32＝1
4．椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左
准线的距离为________．
[解析] 由2x52＋1y62 ＝1，得a＝5，b＝4，c＝3， ∴e＝53.根据椭圆的第二定义得PdF1＝e. 又∵PF1＝3， ∴d＝PeF1＝3×53＝5， ∴点P到左准线的距离为5.
A．30°
B．60°
) C．120°
D．150°
C [由题意得a＝3，c＝ 7，所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中， 由余弦定理可得cos∠F2PF1＝42＋22×2－4×22 72＝－21，
所以∠F2PF1＝120°.]
2．已知椭圆
x2 4
＋y2＝1，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方
程为________．
[解] (1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得
＝12， 两边同时平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2， 化简得1x62＋1y22 ＝1.
x－22＋y2 |8－x|
(2)设椭圆的另一个焦点为F2(－2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线 方程为y＝x＋2，
与椭圆1x62＋1y22 ＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0. 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－176， AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2 ＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋21(x1＋x2)＝478.
3
3 .
()
(3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．
()
(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．双曲线1x52 －y2＝1的准线方程为________．
[解析] 易知a2＝15，b2＝1， ∴c2＝a2＋b2＝16， 即c＝4， 则双曲线的准线方程为x＝±145. [答案] x＝±145
(2)由题意得，椭圆的右准线l的方程为x＝
25 4
.由(1)图可知，点M
到右准线的距离为MM′，
由圆锥曲线的统一定义，得MMMA′＝e＝54，所以54MA＝MM′.
所以MB＋54MA＝MB＋MM′.
由(1)图可知，当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′最小，
即BM′＝245－2＝147.
当y＝2时，有2x52 ＋292＝1，解得x＝5 3 5(舍去负值)，
[跟踪训练]
4．过双曲线
x2 16
－
y2 9
＝1的右焦点F，且倾斜角为45°的直线与双
曲线交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] 易知F(5,0)，则直线的方程为y＝x－5.
y＝x－5， 由1x62－y92＝1， 得7x2－160x＋544＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1760.
[解] (1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x
轴上，由ac2＝1，ac
＝21，解得c＝14，a＝
1 2
，b2＝136
，所求方程为x12＋
4
y2 3
＝1.
16
(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴
负半轴上，p2＝1，可得y2＝－4x.
(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴
[解析] 由椭圆的方程，知a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，即c＝
3 ，故椭圆的左准线方程为x＝－ 433 ，故所求抛物线的方程为y2＝
16 3 3 x.
[答案]
y2＝163
3 x
3．到点F(2,0)与直线x＝
1 2
的距离的比等于2的曲线方程为
________．
[解析] 由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双
上，ac2＝1，ac＝32，解得c＝94，a＝32，b2＝4156. 所求方程为x92－4y52 ＝1. 4 16
[规律方法] 本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程， 其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式.
[跟踪训练] 1．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与 y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ 17 ，|AF|＝3，求此抛物 线的标准方程．
选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程
2.5 圆锥曲线的统一定义
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的 标准方程求准线方程的方法．(重点)2.理解并会运用圆锥曲线的共同 性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难 点)
自主预习 探新知
1．平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的 比等于 常数e 的点的轨迹．
当 0<e<1 时，它表示椭圆； 当 e>1 时，它表示双曲线； 当 e＝1 时，它表示抛物线． 其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的 焦点 ，定直 线 l 是圆锥曲线的 准线．
2．椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的准线方程为_x_＝__±_ac_2_，ay22＋xb22＝1(a ＞b＞0)的准线方程为_y_＝__±_ac_2_.
线，垂足为D，则PA＋
1 2
PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以当P，A，D三
点共线时，PA＋PD的值最小，为4－1＝3.
圆锥曲线的统一定义 [探究问题] 1．圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二 定义有哪些区别？
[提示] 椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离 关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比 的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选 择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距 离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于 抛物线，第一定义与第二定义是一致的．
[解]
(1)如图所示，由
x2 25
＋
y2 9
＝1，得a＝5，b
＝3，c＝4.
所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭
圆的左焦点．
因为MA＋MF＝2a＝10，
所以MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF＝ －4－22＋0－22＝2 10， 所以－2 10≤MB－MF≤2 10. 故10－2 10≤MA＋MB≤10＋2 10， 即MA＋MB的最大值为10＋2 10，最小值为10－2 10.
点，F2是右焦点，则PF1＝|ex0＋a|，PF2＝|ex0－a|. (3)抛物线的焦半径
设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px的一点，F是焦点，则PF＝x0＋2p.
椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x＝8，离心率e ＝12.
(1)求椭圆的方程； (2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长． [思路探究] (1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求 解．
[提示] 根据定义PdF＝e，则PF＝ed(e为离心率)．
(1)椭圆的焦半径
设P(x0，y0)是椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的一点，且F1是左焦点，F2
是右焦点，则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.
(2)双曲线的焦半径
设P(x0，y0)是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的一点，且F1是左焦