数学湘教版八年级下册第1章直角三角形 教案

1.1.1 直角三角形的性质
教学目标
知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。

2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析
问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与
交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。

教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程
一、教学引入
1、三角形的内角和是多少度。

学生回答。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、 等腰三角形有哪些性质？ 二、探究新知
1、探究直角三角形的判定定理：
⑴ 观察小黑板上的三角形，由∠A +∠B 的度数，能说明什么？ ——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形的性质：
⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。

⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

3、 共同探究：
例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线。

求证：CD =1
2
AB 。

[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]
三、应用迁移 巩固提高
练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。

即已知CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD =1
2
AB 。

求证：△ABC 是直角三角形。

提示：倒推法，要证明△ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。

现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。

还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。

通过提示，请同学们自己写出证明过程。

四、课堂小结
1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

反过来讲也正确。

五、作业布置 练习 教学反思：
1.1.2 直角三角形的性质的推论
重难点
重点：直角三角形的性质推论：
（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点：
1.性质定理的证明方法.
2.性质定理及其推论在解题中的运用. 讲一讲
例1 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =8 cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ， ∠A =30°，求BC ，CD 和DE 的长.
分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，得BC 的长.由直角三角形斜边中线的性质可求CD 的长.在Rt △ADE 中，由∠A =30°，即可求DE 的长.
解：∵∠ACB =90，∠A =30°，∴AB BC 21
=
.
∵AB =8，∴BC =4.
∵D 为AB 的中点，CD 为中线， ∴
421
==
AB CD .
∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°. ∵在Rt △ADE 中，AD DE 21=
，而AB AD 21
=，
∴
241
==
AB DE .
例2 在△ABC 中，AB =AC =BC （△ABC 为等边三角形），D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于点E .求证：
AC CE 41
=
.
分析：CE 在Rt △DEC 中，由△ABC 为等边三角形得出∠EDC =30°，进而得出CE 是CD 的一半.又由D 为BC 的中点，得CD 为BC 的一半，因此得证. 证明：∵DE ⊥AC 于点E ，∴∠DEC =90°(垂直的定义). ∵△ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠C =60°.
∵在Rt △EDC 中，∠C =60°，∴∠EDC =90°-60°=30°，
∴CD
EC 21
=.
∵D 为BC 的中点， ∴BC
DC 21
=
， ∴AC DC 21=.
∴
AC CE 41
=
.
例3 如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD =CD ，AC =BC . 求证：AB =BO .
分析：证AB =BO 只需证明∠BAO =∠BOA .由等腰直角三角形的性质可知，BC DF 21
=
.由此，
建立起AE 与AC 之间的关系，故可利用角相等得证.
证明：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵在△BDC 中，BD ⊥CD ，BD =CD ， ∴
BC DF 21
=
.
∵BC =AC ， ∴
AC DF 21
=
.
∵DF=AE，∴
AC AE
2
1
，
∴∠ACB=30°.
∵∠CAB=∠ABC，∴∠BAO=∠ABC=75°.
∴∠OBA=30°.
∴∠AOB=75°.
∴∠BAO=∠AOB，∴AB=BO.
练一练
1.在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB.求证：AE=2CE.
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA.
求证：DE=DC.
3.如图，已知AB=AC，AD⊥BC于点D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于点E，若AD=9，BC=12，求BE的长.
5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长.
教学反思：
1.2.1 勾股定理的推导及应用
教学目标
知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

2、在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理
能力。

过程与方法：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在探究活动中，学会与人合作，并在与他人的交流中获取探究结
果。

情感、态度与价值观：
1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作
交流意识和探索精神。

教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程。

教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。

教学过程：
1、课前探究知识储备
请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。

《勾股定理证明方法探究报告》
2、设置悬念引出课题
提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？
为什么把这个图案作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会徽？
引出课题《勾股定理》
3、画图实践大胆猜想
沿着先人的足迹，开始勾股定理的探索之旅。

活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。

相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。

（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现什么？
地面 图18.1-1
（2）你能找出图18.1-1中正方形A ，B ，C 面积之间的关系吗？
（3）图中由正方形A ，B ，C 所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系? 由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这个性质呢？学生们展开活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边在三角形外作正方形（四人小组每组成员所画图形相同，派小组代表前边投影展示）。

a.可以怎样求以斜边为边的正方形面积？
b.三个正方形的面积有何关系？
c.直角三角形的三边长有何关系？
d.请大胆提出你的猜想。

学生在网格纸上按要求画图，然后回答给出的问题。

进一步追问：
是否任意直角三角形的三边都满足此关系？由学生归纳，得出命题：如果直角三角形的
两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么2
22c b a =+。

设问：这是个真命题吗？
活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，请同学们动手拼一拼。

a.请用尽可能多的方法拼成一个正方形；
b.请从你拼出的图形中验证：2
22c b a =+。

4、动手拼图定理证明
继续追问：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起分享）
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
222c b a =+。

5、学以致用体会美境 课件展示练习：
（1）求下图中字母所代表的正方形的面积。

（2）求下列图中表示边的未知数x 、y 的值。

（3）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__ cm 2。

（4）几何画板演示运动的勾股树。

6、总结升华
总结收获：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续探索的问题？
结束寄语：
牛顿——从苹果落地最终确立了万有引力定律 我们——从朝夕相处的三角板发现了勾股定理 虽然两者尚不可同日而语 但是探索和发现终有价值 也许就在身边 也许就在眼前
还隐藏着无穷的“万有引力定律”和“勾股定理”…… 祝愿同学们——
修得一个用数学思维思考世界的头脑 练就一双用数学视角观察世界的眼睛 开启新的探索——
发现平凡中的不平凡之谜……
教学反思：
1.2.2 勾股定理的逆定理
教学目标
知识与技能：1、体会勾股定理的逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

过程与方法：（1）通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过程；
（2）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法
的运用。

情感、态度与价值观：
（1）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数
与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；
（2）通过对勾股定理的逆定理的探索，培养学生的交流、合作的
意识和严谨的学习态度。

同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

教学重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。

教学难点：理解勾股定理的逆定理的推导。

教学过程
（1）复习
1、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是__。

2．在一个直角三角形中，量得其中两边的长分别为5㎝，3㎝，则第三边的长是__。

3．要登上8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，问：至少需要多长的梯子？
（2）情境导入
1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？
【实验观察】
用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第1个结上，再钉在第
4个结上，再钉在第8个结上，最后将第13个结与第1个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形。

（这是古埃及人画直角的方法）
2、 用圆规、刻度尺作△ABC ，使AB =5㎝，AC =4㎝，BC =3㎝，量一量∠C 。

再画一个三角形，使它的三边长分别是5㎝，12㎝，13㎝，这个三角形有什么特征？
3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导）
学生猜想：如果一个三角形的三边长c b a ,,满足2
22c b a =+，那么这个三角形是直
角三角形。

4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。

（3）探究新知
1、探究：在下图中，△ABC 的三边长a ，b ，c 满足2
22c b a =+。

如果△ABC 是直角
三角形，它应该与直角边是a ，b 的直角三角形全等。

实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A B C '''， 使∠C '=90°，A C '' =b ，B C '' =a 。

把画好的△A B C ''' 剪下，放到△ABC 上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指导）
2、用三角形全等的方法证明这个命题。

（难度较大，由教师示范证明过程）
已知：在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，AC =b ，并且2
22c b a =+，如上图（1）。

求证：∠C =90°。

证明 : 作△A B C '''，使∠C '=90°，A C ''=b ， B C ''=a ，如上图（2），
那么A B ''2
=22b a +（勾股定理）。

又∵2
22c b a =+（已知）,
∴A B ''2=2
c ，即A B ''=c (A B ''＞0)。

在△ABC 和△A B C '''中,
,,,BC a B C CA b C A AB c A B ''==⎧⎪
''==⎨⎪''==⎩
∴△ABC ≌△A B C ''' (SSS)，∴∠C =∠C '=90°， ∴△ABC 是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

【强调说明】（1）勾股定理及其逆定理的区别。

（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

如果原命题成立，那么逆命题也成立吗？你能举出互为逆定理的例子吗？ （4）应用举例
1、判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形: （1）15=a ，8=b ，17=c ； （2）13=a ，14=b ，15=c 。

2、像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

你还能举出其他勾股数吗？
（5）练习巩固
1. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形: （1）7=a ，24=b ，25=c ； （2）5.1=a ，2=b ，5.2=c ；
（3）
45=
a ，1=
b ，43
=
c ；
（4）40=a ，50=b ，60=c 。

2．如果三条线段长a ，b ，c 满足2
22b c a -=，那么这三条线段组成的三角形是不
是直角三角形?为什么?
3.说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（6）课堂总结
这节课我们学习了：
1、勾股定理的逆定理。

2、如何证明勾股定理的逆定理。

3、互逆命题和互逆定理。

4、利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。

（7）作业布置
教学反思：
1.3 直角三角形全等的判定
教学目标
1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形的判定方法来判定．
2．使学生掌握“斜边、直角边定理，并能熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．
教学重点：“斜边、直角边”定理的掌握．
难点：“斜边、直角边”定理的灵活运用．
教学手段：剪好的三角形硬纸片若干个.
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.
教学过程
(一)复习提问
1．三角形全等的判定方法有哪几种？
2．三角形按角的分类．
(二)引入新课
前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？
我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.
提问：如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否全等呢？
1．可作为预习内容
如图，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠C=∠C＇=90°，这时Rt△ABC 与Rt△A＇B＇C＇是否全等？
研究这个问题，我们先做一个实验：
把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，进而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．3．两位同学比较一下，看看两人剪下的直角三角形是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等的判定定理——“HL”定理．
(三)讲解新课
斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
这是直角三角形全等的一个特殊的判定定理，其他判定定理同于任意三角形全等的判定定理．
练习
1、具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=90°)是否全等？如果全等在( )里填写理由，如果不全等在( )里打“×”．
(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇ ( )
(2)AC=A＇C＇，BC=B＇C＇ ( )
(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇ ( )
(4) AB=A＇B＇，∠B=∠B＇ ( )
(5) AC=A＇C＇，AB=A＇B＇ ( )
2、如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．
例题讲解
例 1 已知BD,CE分别是△ABC的高，且BE=CD. 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
练习
3、已知：在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别是高，并且AC=A＇C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．
分析：要证明△ABC≌△A＇B＇C＇，还缺条件，或证出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，或再证明边BC=B＇C＇，观察图形，再看已知中还有哪些条件可以利用，容易发现高CD和C＇D＇可以利用，利用它可以证明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD≌△B＇C＇D＇，进而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出书写顺序．
证明：(略)．
例2 已知一直角边和斜边，求作直角三角形。

已知：
求作：
作法：（1）
（2）
（3）
则△ABC为所求作的直角三角形。

小结：由于直角三角形是特殊三角形，因此不仅可以运用判定一般三角形全等的四种方法，还可以运用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形全等．“HL”定理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”
(四)练习练习1、2．
(五)作业
习题A组 1、2、3、4
（七）课后反思
1.4 角平分线的性质（1）
教学目标
了解并掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；及其逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上及其简单应用。

教学重点：角平分线的性质
教学难点：直角三角形的判定方法“HL”的说理过程
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.
教学过程
一、教学引入
已知AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？
问题1：图中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？
由于学生对等腰三角形有初步的了解，因此在教学中，学生根据图形直观地认为这两个直角三角形全等的条件可能的情况有四个:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。

问题2：你能说出上述四个判定的依据吗？
说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，同时由于有一个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。

2．当“AB＝AC”时，从图形直观地可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形
对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？
二、新授
探究1
把两个直角三角形按如图摆放，
已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，∠BOP=∠AOP，请说明PD=PE。

思路：证明Rt△PDO≌Rt△PEO, 得到PD=PE。

归纳结论：角平分线上的点到角两边的距离相等
探究2
把两个直角三角形按如图摆放，
已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，
PD=PE，请说明∠BOP=∠AOP。

请学生自行思考解决证明过程。

归纳结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

（板书）
三、例题讲解
例1 如图1-28，∠BAD=∠BCD=900, ∠1=∠2.
(1) 求证：点B在∠ADC的平分线上；
(2) 求证：BD是∠ABC的平分线。

图1-28
四、巩固练习
练习1、2
五、课堂小结
1、角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

六、布置作业
习题1.4 A组1、2、3
七、课后反思:
1.4 角平分线的性质（2）
教学目标
角平分线定理的简单应用
教学重点：角平分线定理的理解。

难点：角平分线定理的简单应用。

教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.
教学过程
一、知识回顾
1、角平分线的性质：
2、角平分线的判定：
二、动脑筋
如图1-29，已知EF⊥CD, EF⊥AB, MN⊥AC, M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
图1-29
理由：∵ NE⊥CD, MN⊥CA
∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线。

同理可得AM是∠CAB的平分线。

三、例题讲解
例2 如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系。

图1-30
四、练习练习1、2
动脑筋
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
图1-31
五、小结
1、角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

六、布置作业
习题1.4 B组4、5
七、课后反思:。